skupiny a fyzikální koadjointní akce hybnosti
| 9 |
|---|
Částice se spinem.
Poincarého grupa popisuje relativistický pohyb bodového objektu. Podobně grupa Bargmanna, jejíž vyjádření bude uvedeno později, popisuje ne-relativistický pohyb bodového objektu, který se pak nazývá „hmotný bod“.
Z toho vyplývá, že tato metoda, výpočet koadjointní akce grupy na prostoru hybnosti, umožnila odhalit skryté prvky, vlastnosti objektu: složky hybnosti.
Zajímavé je, že tato metoda, založená na práci Souriaua, převádí klíčové objekty fyziky výhradně do geometrické podoby. Tím dosáhl nevídaného úspěchu geometrizace fyziky.
Kromě energie a hybnosti jsou ostatní složky, „otáčení“ a „přechod“, pro fyzika značně záhadné. Co to vlastně znamená?
Vyjádření složek hybnosti zřejmě závisí na zvolené soustavě souřadnic.
Nejjednodušší je pravděpodobně krátké vrácení se k ne-relativistickému případu, jinými slovy k vyjádření koadjointní akce, jak by vyplynulo z analýzy grupy Bargmanna.
(111)
Záhadný vzorec. Na co to slouží? Jak to funguje?
Ve výše uvedeném rámečku fyzik rozezná některé známé objekty:
(112)
jsou pouze dvě různá vyjádření vektoru rychlosti { vx , vy , vz }, první ve formě sloupcové matice a druhá ve formě řádkové matice. Součin těchto matic je skalár:
(113)
něco, co začíná připomínat kinetickou energii.
m v je hybnost.
Tradiční fyzik, zabývající se dynamikou hmotného bodu, zná pouze tři věci:
- Hmotnost m
- Hybnost m v
- Kinetickou energii 1/2 mv²
Ano, ale rychlost vzhledem ke komu?
Skupina je také pohled na věci. Můžeme tedy buď představovat, že skupina přenáší objekty (jako u Eukleidovy grupy), vzhledem k předpokládaně pevnému pozorovateli, nebo, pokud je objekt pevný, představit si, že se pozorovatel pohybuje jinak.
Pokud zvolíme tento pohyb, přenos objektů, v případě dynamických grup, tedy fyzikálních grup (v rozporu s Eukleidovou grupou, kde čas nevystupuje), musíme říct, že objekty animujeme, přidáváme jim rychlost v a energii E.
Pokud zvolíme opačný pohled: představíme si, že objekt je pevný a my se pohybujeme, jaký smysl dáme skupinám?
Eukleidova grupa by pak znamenala:
„Pohled z jiného místa a pod jiným úhlem“.
„Z jiného místa“ je vektor posunu:
(114)
„Pod jiným úhlem“ je matice rotace a, rotace ve prostoru (kterou bychom mohli rozepsat pomocí Eulerových úhlů, což však nebudeme dělat).
Při dynamických grupách musí tento pohled, tento pohled na „věci“, být rozšířen. Zůstáváme-li v kontextu grupy Bargmanna, znamená zavedení této rychlosti v, že pozorovatel, který pozoruje tento hmotný bod z jiného místa (vektor posunu c), pod jiným úhlem (matice rotace a), je také pohybující se vzhledem k předpokládaně klidnému hmotnému bodu rychlostí v.
A pro kompletnost, pro zvýšení složitosti, nevystupuje pozorovatel ve stejném čase jako částice, pozorovaný hmotný bod. Je o časový úsek Dt posunut. Jinými slovy: pozoruje ho z jiného místa, ale jde o prostorově-časové jiné místo, odpovídající prostorově-časovému posunu:
(115)
Když si tedy vytvořím takový „odstup“ vzhledem k tomuto hmotnému bodu, co pozoruji? Za prvé: m' = m
To nemění jeho hmotnost.
Můžu si zjednodušit život a vyloučit rotaci. Už je dost složité pozorovat hmotný bod z jiného místa, z jiného času, posunutý, sedící na skateboardu pohybujícím se rychlostí v. Je nutné ještě přidat, že se musím zatočit hlavou?
Ne. Učinme a = 1.
Obvykle se tento detail výpočtech přehlíží. Koadjointní akce, takto zvláštně vyjádřená, se stane:
(117)
Zde slovo „přemýšlet“ použijeme v jeho etymologickém významu. Co dělám, když přemýšlím o situaci, o obloze, o bojišti, o filmu pořízeném špionážním letadlem?
Soudce napíše:
- Přihlížeje k stavu místa.....
Statický pohled, odpovídající Eukleidově grupě. Soudce pozoruje objekty ve vzdálenosti c, ve stejný okamžik (Dt = 0), v principu nepohybující se (v = 0). V případě potřeby pod určitým úhlem, „pod určitým úhlem“.
Generál, procházející v letadle pro zjišťování, je druhým soudcem, který se pohybuje (v ≠ 0).
Ale velitel štábu, který sleduje film pořízený špionážním letounem, „drónem“, se potýká s časově posunutou situací. Musí si říct:
- Přihlížeje k cíli, viděnému z určitého místa, při nakloněném zatáčení, rychlostí určitou a navíc tak, jak vypadal před dvěma hodinami...
Cíl nemá žádnou vlastní rychlost. Nelze jej považovat za pevný, i když je „pevná instalace“. I Země se pohybuje, i Slunce, i galaxie atd.