skupiny a fyzikální koadjungovaná akce hybnosti
| 12 |
|---|
Částice s nenulovou hmotností.
Není už přímý vztah mezi energií a hybností, jako u fotonů a neutrino, částic s nulovou hmotností.
(131)
m je klidová hmotnost, která se pak shoduje s hmotností vzniklou z Bargmannovy skupiny, máme:
(132a)
(132b)
Omezme se na:
Proton, elektron, neutron a jejich antipartikuly.
Částice mají různé náboje, vlastnosti, které také nevznikají z Poincaréovy skupiny:
- Elektrický náboj e = ± 1
- Baryonový náboj cB = ± 1 - Leptonový náboj cL = ± 1 - Mionový náboj cm = ± 1 - Tauonový náboj ct = ± 1 - Gyromagnetický koeficient v
Inverze všech těchto veličin odpovídá C-symetrii. Můžeme tedy vše shrnout podle následující tabulky:
(133)
která může mít libovolný směr, stejně jako spin.
Magnetický moment je roven gyromagnetickému koeficientu v vynásobenému spinem s.
(134)
Zde jsme použili tučné písmeno **s **pro spin. To znamená, že směr spinu částic může být libovolný. Naopak jejich velikost je jednou z jejich vlastností a je základní invariant (geometrická kvantizace otáčení částic).
C-symetrie, konjugace nábojů, obrací gyromagnetický koeficient v, a tím i magnetický moment.
Trvalé magnety.
Pokud umístíme kousek měkkého železa do dostatečně silného magnetického pole, a pak pole zmenšíme, kov bude mít trvalou magnetizaci. Co se stalo?
Magnetické pole zarovnává spin elektronů, kteří se chovají jako malé magnety, jako malé magnetické dipóly.
Proč však udržují směr, který jim byl přisuzován? Kvůli mimetismu. Každý elektron se zarovná podle magnetického pole vytvořeného jeho sousedy. A protože ostatní dělají totéž, všechny tyto momenty udržují svou rovnoběžnost. To je "Panurge ve vesmíru". Dokud nezahřejeme kousek kovu nebo ho nezabijeme, nakonec způsobíme porušení této krásné elektronové uspořádanosti.
Magnetický moment antihmoty.
Konjugace náboje, spojená s transformací hmoty a antihmoty ve smyslu Diraca (později uvidíme, co to znamená), způsobí obrácení magnetického momentu kvůli obrácení gyromagnetického koeficientu, zatímco spin zůstává nezměněn.
Samozřejmě tato C-symetrie neovlivňuje ani energii, ani hybnost částice.
Čtyři složky Lorentzovy skupiny.
Jak bylo uvedeno, prvek L z Lorentzovy skupiny L je definován axiomaticky. Musí splňovat:
(135)
(136)
Každá matice L splňující tuto definici patří do skupiny L. Jedná se o matici formátu (4,4), která může například působit na:
(137)
jinými slovy na prostoročas. Pak je oprávněné se ptát, zda tyto matice nejsou schopny provádět symetrie v tomto prostoru. Můžeme například změnit x na -x? Můžou matice být tříděny do různých podmnožin, ty, které provádějí tuto operaci a ty, které ji nevykonávají.
Dávno, (anglicky mnoho krásných svíček zpět), to bylo prozkoumáno a ukázalo se, že Lorentzova skupina se skládá ve skutečnosti ze čtyř typů matic.
Ln - Ty, které neinvertovaly ani prostor, ani čas.
Ls - Ty, které invertovaly prostor Lt - Ty, které invertovaly čas Lst - Ty, které invertovaly oba.
Tyto množiny se nazývají složky skupiny. Lorentzova skupina tedy je skupina s čtyřmi složkami.
Okamžitě můžeme vytvořit čtyři matice, každá z nich patří do uvedeného podmnožiny:
(138)
An = 1 (neutrální prvek), patří do Ln: neinvertoval ani prostor ani čas.
As patří do Ls: invertoval prostor At patří do Lt: invertoval čas Ast patří do Lst: invertoval jak prostor, tak čas.
Aby maticová množina tvořila skupinu (v tomto případě podskupinu Lorentzovy skupiny), musí obsahovat neutrální prvek 1 ve formátu (n,n), zde: (4,4). Pouze matice z množiny Ln splňují tento kritérium. Tvoří podskupinu Lorentzovy skupiny. Protože tato množina obsahuje neutrální prvek skupiny, nazývá se také neutrální složkou skupiny. Ostatní množiny matic nejsou podskupinami (nemožné: neobsahují neutrální prvek).
**Poznámka **:
(139) At = - As Ast = - An
Můžeme tedy zvážit množinu Lo = Ln » Ls, která je podskupinou Lorentzovy skupiny a nazveme ji orthochronní [1]. Matice Lac = Lt » Lst nevytvářejí skupinu, ale množinu složek spojených s inverzí času, kterou nazveme antichronní [12]. Celá Lorentzova skupina je:
(140) L = Lo » Lac
Ale můžeme také poznamenat, že prvek:
(141) m Lo , kde m = ± 1
- pokrývá celou skupinu.*