skupiny a fyzikální koadjungovaná akce hybnosti
| 13 |
|---|
Čtyři složky Poincarého grupy.
Z grupy Lorentzu vytváříme Poincarého grupu, již zmíněnou:
(142)
C je vektor "prostorově-časového posunutí".
(143)
Tato Poincarého grupa bude mít také čtyři složky, každá spojená s příslušnou složkou grupy Lorentzu.
Výše uvedená akce grupy na jejím prostoru pohybu. Ale to, co je zajímavé, jsou akce čtyř složek na hybnost. Viz: Souriau, Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod 1973 (a Birkhauser 1997, anglicky), kapitola III, strana 197, sekce nazvaná: Inversions d'espace et de temps.
Připomeňme složky hybnosti spojené s Poincarého grupou:
E: energie
p: hybnost
f: procházení
**l **: otáčení
Pro blízkost notacím Souriau označme:
- Ln složku neutrální Poincarého grupy.
- Ls tu, která obrací prostor.
- Lt tu, která obrací čas - Lst tu, která obrací oba.
C je prostorově-časový posun, čtyři složky Poincarého grupy jsou:
gp ( Ln , C) neutrální složka
gp ( Ls , C) obrací prostor
gp ( Lt , C) obrací čas
gp ( Lst , C) obrací prostor i čas.
Hledejme účinky na složky hybnosti. Musíme zvážit vzorce udávající akci grupy na jejím prostoru hybnosti:
(144)
P je čtyřvektor:
(145)
Můžeme napsat matice k analýze:
(146)
s **l **= ± 1 a m = ± 1 .
Ln = **L **( l = 1 ; m = 1)
Ls = **L **( l = - 1 ; m = 1)
Lt = **L **( l = 1 ; m = - 1)
Lst = **L **( l = - 1 ; m = - 1)
(147)
(148)
Přejděme k analýze akce na otáčení a procházení.
(149)
Ale, co nás zajímá C = 0
(150)
odkud l' = l a f' = l m f
Z toho vyplývá:
(151) gp ( Ln , C) : I E --> E ; **p **--> p ; f ---> f ; l ----> l gp ( Ls , C) : I E --> E ; **p **--> - p ; f ---> - f ; l ----> l gp ( Lt , C) : I E --> - E ; **p **--> p ; f ---> - f ; l ----> l gp ( Lst , C) : I E --> - E ; **p **--> - p ; f ---> f ; l ----> l
Inverze nikdy nezmění otáčení **l **.
*Naopak, časová inverze a inverze energie, *E ---> -E , jsou synonyma.
Otáčení je synonymum spinu, když je kvantováno. Žádná inverze to neovlivní.
Spin (jako velikost vektoru otáčení částice) je jen číslo.
Energie částice v klidu je mc2.
Časová inverze je synonymem inverze hmotnosti m.
Prostorová inverze neinverzuje hmotnost.
První dvě složky grupy jsou podle Souriau pojmenovány orthochronní, a poslední dvě antichronní.
Poznamenává, že toto vzbuzuje problém se zápornými hmotnostmi, které fyzici nemají rádi. Skutečně, co se stane výsledkem setkání dvou částic s energiemi + mc2 a - mc2
Je úplná anihilace. Nejedná se o jednoduchou anihilaci hmoty a antihmoty, která dává fotony. Jde o jev, který by vytvořil nic z čistého stavu.
Aby se vyhnul tomuto problému se zápornými hmotnostmi, Souriau uvažuje dvě řešení. První spočívá v jednoduchém rozhodnutí, že částice se zápornou hmotností neexistují. Druhé spočívá ve vyřazení antichronních transformací.
Přeformulujeme-li, mohli bychom říct:
- Bůh, ve své nekonečné moudrosti...
Pokračujme v zavádění prvků, které budou sloužit jako základ pro naši práci.