skupiny a fyzikální koadjointní akce hybnosti
| 14 |
|---|
Centrální rozšíření Poincarého grupy.
Takové rozšíření je zmíněno v knize J.M. Souriaua, Struktura dynamických systémů. Jeho metoda geometrické kvantizace mu umožňuje z dané grupy odvodit rovnice kvantové mechaniky. Například grupa Bargmanna, která popisuje nerelativistickou částici, vede k Schrödingerově rovnici, která je také nerelativistická.
Základem je Galileiho grupa. Jedná se o matici typu (5,5), která je sestavena následovně:
(152)
Rotace je závislá na třech parametrech, Eulerových úhlech. Proto má grupa dimenzi deset.
Použijeme označení:
(153)
(154)
přidružené k prostoročasu:
(155)
Přestože to může znít zvláštně, při konstrukci koadjointní akce grupy na jejím prostoru hybností se hmotnost m jako geometrický objekt neobjevuje. To lze provést pouze prostřednictvím netriviálního rozšíření této grupy, grupy Bargmanna (1960).
(156)
Přítomnost skaláru f zvyšuje dimenzi této grupy o jednu: celkem jedenáct.
Tato grupa působí na prostoru pěti dimenzí, prostoročasu, plus jedna další dimenze z, prostřednictvím akce:
(157)
Koadjointní akce grupy Bargmanna na její hybnost byla již uvedena výše. Vidíme, že přidání skaláru f, které zvýší dimenzi grupy o jednu, přidá novou složku hybnosti, která se pak identifikuje s hmotností m (která je zároveň zachována: m' = m).
Začneme-li od grupy Bargmanna a použijeme-li její metodu geometrické kvantizace, může Souriau takto odvodit nerelativistickou Schrödingerovu rovnici.
Relativistická kvantová rovnice je Klein-Gordonova rovnice. Bylo tedy logické hledat, z jaké grupy by mohla vycházet. Jedná se o centrální rozšíření:
(158)
"pe" pro "rozšířený Poincaré". Zde jsme skonstruovali Poincarého grupu z ortochronní podgrupy Lorentzovy grupy Lo.
Prostor přidružený k této grupě je také pětidimenzionální:
(159) ( t , x , y , z , z ).
Toto rozšíření je jednodušší než Bargmannovo, ale ve skutečnosti jsou věci v relativistickém případě vždy jednodušší. Dále se ukazuje, že mezi prvním a f v prvním řádku může být pouze řádková matice 0 = ( 0 0 0): tedy samé nuly.
Metoda geometrické kvantizace pak vede k Klein-Gordonově rovnici. Pokud jde o akci grupy na její prostor hybností, dostaneme:
(160)
Jpe = { c , M , P } = { c , Jp }
Výpočet není složitý. Ve skutečnosti přesně odpovídá výpočtu koadjointní akce Poincarého grupy na její hybnost.
Spočítáme antiakci:
(160 b )
a vyjádříme invarianci skalárního součinu (duálnosti):
(160 c)
Pokud se z tohoto výpočtu vytrhnete, bude to skvělý znak. Znamená to, že začínáte pronikat do této záplavy.
Vzniká tedy skalár c, jehož jedinou funkcí je zachování. Co to znamená? Žádné vysvětlení. Jedná se prostě o „něco, co se zachovává“. Můžeme mu například přisoudit stav elektrického náboje.
První myšlenka je provést takovéto rozšíření několikrát:
(161)
Ukážeme později, že lze tuto operaci provádět neomezeně a každým krokem přidáme další skalár:
(162) Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P } Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp }
s koadjointní akcí:
(163)
Budeme považovat určité diskrétní hodnoty složek hybnosti za náboje částice.
No, řekne čtenář, vskutku bychom mohli přidat například šest dalších řádků. Dostali bychom tak invarianci skalárů, které bychom mohli identifikovat s:
(164)
c 1 = e (elektrický náboj)
c 2 = cB (baryonový náboj)
c 3 = cL (leptonový náboj)
c 4 = cm (mionový náboj)
c 5 = ct (tauonový náboj)
c 6 = v (gyromagnetický faktor)
Stačilo by zvážit grupu s příslušnou akcí, přidruženou k desetidimenzionálnímu prostoru:
(165) ( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 )
(166)
Znovu konstruujeme grupu kolem ortochronní podgrupy Lo Lorentzovy grupy:
Lo = Ln (neutrální komponenta) » Ln (prostorová inverze).
Tato dvoukomponentní grupa pak jednoduše vytváří šest skalárů, které doprovázejí částici bez interakce s čímkoliv. Hybnost se stane:
(167) Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jp je „Poincarého část“. Nicméně to má omezený význam.