Geometrizace
hmoty a antihmoty prostřednictvím
koadjungované
akce grupy na jejím momentovém prostoru. 1 :
Náboje
jako dodatečné skalární složky momentu grupy působící na
10d-prostor.
Geometrická definice
antihmoty. (p2)
- Třetí složka:
(14)
sestavená ze složky Lt Lorentzovy
grupy.
- a čtvrtá:
(15)
sestavená ze složky Lst Lorentzovy
grupy.
Grupa působí na svém momentovém prostoru [1]. Označme Jp
momentový prostor přiřazený Poincarého grupě.
...Každý jednotlivý moment Jp 
Jp je jednotlivý pohyb relativistického hmotného bodu, popsaný
touto grupou. Lze vypočítat koadjungovanou akci grupy na moment
[1].
Moment je soubor 10 složek (rovnajících se dimenzi
grupy). Tyto složky jsou:
(16)
Jp= { E , px , py
, pz , fx , fy , fz , sx
, sy , sz } = { E , p , f , s }
E je energie.
p je vektor impulsu:
(17)
f je vektor posunu [1].
(18)
s je antisymetrická matice (3,3), jejíž nezávislé
složky jsou
(19)
{ sx , sy , sz
}
Moment lze uspořádat do maticové formy [1], s:
(20)
a:
(21)
Zaveďme čtyřvektor impuls-energie:
(22)
(23)
nebo:
(24)
Pak lze koadjungovanou akci Poincarého grupy
zapsat v maticové formě:
(25) )
Explicitněji:
(26)
...Je zajímavé studovat
vliv různých složek úplné Poincarého grupy
na složky jejího momentu. Můžeme se soustředit na jednotlivé matice:
(27)
A je příslušná Lorentzova matice.
Koadjungovaná akce dává:
(28)
(29)
a je neutrální složkou úplné Poincarého
grupy.
Odpovídající koadjungovaná akce je:
E --> E ; p --> p ; f ---> f
; s ----> s
která obrací prostor. Odpovídající koadjungovaná akce
je:
E --> E ; p --> - p ; f ---> -
f ; s ----> s
která obrací čas. Odpovídající koadjungovaná akce
je:
E --> - E ; p --> p ; f ---> - f
; s ----> s
která obrací jak prostor, tak čas. Odpovídající koadjungovaná
akce je:
E --> - E ; p --> - p ; f ---> f
; s ----> s
Jak upozornil J.M.Souriau [1], obě složky
souvisí s inverzí energie E ----> - E, takže
implikuje inverzi hmotnosti m ---> - m
Definujme následující soubory matic:
(30)
.
