Soustava uspořádaná podle zlatého řezu. Zlatá zákona Souriau Výzva k práci Jean-Marie Souriau
na dynamiku sluneční soustavy.
...Tato práce byla představena autorem na konferenci v Ženevském pozorovatelně v roce 1989, jejíž tématem bylo: "Rezonance a nerezonance ve sluneční soustavě"
...Souriau začíná analýzou oběžných dob jednotlivých planet. Poté si vybere oběžnou dobu Země: 365 dní a Venuše: 225 dní a vypočítá příslušnou posloupnost Fibonacci (nebo typ Fibonacci, kde každý člen je součtem dvou předcházejících). V těchto podmínkách se poměr dvou po sobě jdoucích čísel této posloupnosti blíží zlatému řezu.
...Souriau tak získává následující výsledky:
30 Slunce (29 dní)
55 Nic
85 Merkur (88 dní)
140 Nic
225 Venuše
365 Země
590 (1 rok a 7 měsíců) Mars (1 rok a 10 měsíců)
955 Nic
1545 (4 roky a 3 měsíce) Ceres-Pallas (pás asteroidů)
2500 Nic
4045 (11 let) Jupiter (11 let a 10 měsíců)
6545 Nic
10590 (29 let) Saturn (29 let a 5 měsíců)
17135 Nic
27725 (76 let) Uranus (84 roky)
44860 Nic
72585 (199 let) Neptun (165 let), Pluto (248 let)
...Docela úžasná shoda, musíme přiznat. Poté Souriau zkoumá rezonance mezi planetami. K tomu potřebuje test, který měří, zda poměr x dvou oběžných dob (v rozmezí 0 až 1) je „blízký“ nějakému zlomku v základním tvaru:
...Takový test byl již dávno vyvinut matematiky (Liouville, Hurwitz, Borel atd.). Jedná se o číslo:
q(x, q) = (jmenovatel)² × |x – q|
...Označíme-li q(x) jeho dolní mez, když q probíhá celé množiny racionálních čísel, pak q je nulové, pokud x je racionální, malé, pokud x je blízko racionálního čísla; tedy měří iracionálnost x. Nejiracionálnější čísla jsou pak zlatý řez:
a jeho druhá mocnina: w² = 1 – w = 0,3820...
Toto lze pozorovat na grafu funkce q
Obr. 1: Graf funkce q s dvěma vrcholy odpovídajícími číslům „nejméně rezonujícím“: zlatému řezu a jeho druhé mocnině.
...Tato funkce q (která nemá nic společného s pozorovacími daty) je čistý „matematický objekt“, vlastnost vyplývající z posloupnosti reálných čísel. Tato spojitá posloupnost pak vytváří tento zvláštní spektrum plné „mezí“ (tam, kde jsou poměry celých čísel, racionálních čísel, kde q = 0).
...Níže jsou uvedeny oběžné doby hlavních planet sluneční soustavy v letech:
Merkur: 0,2408425
Venuše: 0,6151866
Země: 1,0000000
Mars: 1,8808155
Ceres-Pallas: 4,604
Jupiter: 11,86178
Saturn: 29,45665
Uranus: 84,0189
Neptun: 164,765
Pluto: 247,68
Všimněte si poměru mezi oběžnými dobami Pluta a Neptunu:
...Poměr mezi jedním členem a následujícím zůstává v rozmezí 1/3 až 2/3. Pět z těchto devíti poměrů leží mezi 0,35 a 0,40. Souriau pak začne zkoumat poměry mezi oběžnými dobami různých planet. Dvě planety v dokonalé rezonanci by vedly k poměru jejich oběžných dob, který by byl racionální číslo – podíl dvou celých čísel.
...Souriau rozhodne analyzovat různé rezonance ve sluneční soustavě v jejím současném stavu. K tomu bere poměry oběžných dob hlavních planet po dvojicích a aplikuje výše zmíněný test.
... Jednoduchý výpočet mu umožňuje sestavit seznam rezonancí mezi velkými planetami (Ceres a Pallas jsou největšími „malými planetami“, jejich oběžné doby se liší jen o 3 dny a nacházejí se v pásu asteroidů), u kterých je test q menší než 0,1 (jmenovatel ? 6):
Neptun-Pluto: x = 2/3 × 0,9980 q = 0,01
Uranus-Neptun: x = 1/2 × 1,0199 q = 0,04
Uranus-Pluto: x = 1/3 × 1,0176 q = 0,05
Venuše-Mars: x = 1/3 × 0,9812 q = 0,06
Jupiter-Saturn: x = 2/5 × 1,0067 q = 0,07
...Tato tabulka ukazuje, že dvě nejvzdálenější planety, Neptun a Pluto, vykazují zvláštní rezonanci. Tvoří tedy „výjimku“ ve srovnání s ostatními a Souriau rozhodne je v následující analýze zanedbat, prováděje Fourierovu analýzu oběžných dob:
...Pj jsou oběžné doby planet od Merkuru po Uranus. Poměry po sobě jdoucích oběžných dob leží mezi 1/3 a 2/3. Následující obrázek ukazuje průběh funkce |F(a)| pro a v rozmezí 1/3 až 2/3. Pro lepší přehlednost byl na grafu znázorněn |F(a)|⁴.
Obr. 2: Funkce F(a)
...Pro hodnoty 0,615 a 0,380 se objevují dva významné vrcholy, přesně odpovídající vrcholům na obrázku 1 (w = 0,618 a w² = 0,380). Souriau pak tento spektrum překládá s funkcí q:
Obr. 3.
a konstatuje globální efekt nerezonance s výjimkou rezonující dvojice Neptun-Pluto. Fázový posun F mezi dvěma vrcholy lze interpretovat jako inverzní Fourierovu transformaci: z určitého počtu vybraných čar ak ve spektru F se konstruuje funkce F:
...Hodnoty Pj jsou pak blízké některým maximům reálné části funkce F. Souriau nyní omezuje tento spektrum na dvě čáry a1 = w a a2 = w² a získává graf na následujícím obrázku, kde jsou zároveň znázorněny skutečné oběžné doby planet.
Obr. 4: Pravděpodobné polohy P planet na základě spektra sestaveného z dvou čar w a w²
../../bons_commande/bon-commande1.htm
