Matematika geometrie plocha topologie

Jak přeměnit plochu Cross Cap
na plochu Boya (pravá nebo levá, podle výběru)
procházející románskou plochou Steinerovou.

Italština: Andrea Sambusetti, univerzita v Římě

../../Crosscap_Boy1.htm

27. září – 25. října 2003

Stránka 2

Zde je „plocha Cross Cap“ (tak, jak byste ji objevili ve virtuální realitě). Má dvě špičaté body, které jsou vrcholy čáry sebe-překryvu. Lze ji vytvořit stlačením balónku špendlíky. Ale můžete si také vytvořit její polyedrické reprezentace. Ta níže nás bude zvláště zajímat.

Na tabulce 4 je to nejvíce obtížné pochopit. Myslím si, že je nemožné, aby někdo tyto objekty dobře pochopil jen podle obrázků. Vytvořte si modely. Řekněme stručně, že taháme špičatý bod C2 „dovnitř plochy“ (což, mezi závorkami, nemá žádný smysl, protože, jak jste si jistě okamžitě všimli, plocha Cross Cap je jednostranná: nemá vnější ani vnitřní stranu). Pokud pokračujeme, plocha se „prostředním překrývá“ a množina sebe-překryvu se dokončí, trochu zaoblením, křivkou ve tvaru osmičky. Vznikl tak, mezi jiným, trojný bod T.

Plocha je lépe pochopitelná ve své polyedrické podobě a níže jsme zvětšili některé prvky, aby bylo vidět, co nás vedlo k přeměně tohoto objektu na románskou plochu Steinerovu (viz simulace virtuální reality), jejíž nejjednodušší polyedrická podoba spočívá v sestavení čtyř krychlí (zde vidíme jen tři).

Tabulka 5: vlevo polyedrická verze, vpravo kruhová. Šipka prochází bodem, který chceme „stisknout“. Níže začátek operace stisknutí.

Tabulka 6: stisknutí je provedeno a vytvořilo singulární bod B. Ve skutečnosti, protože stiskneme z obou stran (aby se ušetřil čas), vzniknou dva singulární body S1 a S1, pak dva špičaté body. V tomto okamžiku bez kartonu, nůžek a lepidla jste v nepříznivé situaci.

Tabulka 7: jednoduše jsme přesunuli různé špičaté body. Pokud je bod C2 „zřejmý“, budete mít větší potíže s identifikací bodů C3 a C4 jako špičatých. Přesto jsou tam, na koncích čáry sebe-překryvu. Nad bodem C3 se nachází jen to, co jsem nazval „pozikon“, tedy bod, kde se soustředí kladná křivost (bod, kde se soustředí záporná křivost, nazývám „negakon“). Trochu deformací tohoto objektu se dostaneme k polyedrické podobě románské plochy Steinerovy (vynalezl ji Steiner v Římě; viz jeho ilustrace v virtuální realitě).

Takže hra je hotová. Existuje několik druhů ploch podle pravidel, která si stanovíme. Plochy, které se nepřekrývají, se nazývají „vložení“ (koule nebo torus v R3). Pokud se však překrývají, ale tečný rovině se nepřetržitě mění bez degenerace, nazývají se vložení. Například: Kleinova láhev ve své klasické reprezentaci. V R3 neexistuje reprezentace Kleinovy láhve jako vložení: nutně se překrývá. Vložení mají množiny sebe-překryvu bez špičatých bodů. Tyto množiny jsou spojité křivky, ale mohou se protínat v dvojných nebo trojných bodech. Poznámka: kouli lze realizovat jako vložení (které není vložení), když ji překrýváme. Je to vlastně způsob, jak ji obrátit (viz metoda A. Phillipsa, 1967, jejíž klíčovým krokem je dvojité pokrytí plochy Boya; viz také B. Morin a J. P. Petit, 1979, kde jako centrální model slouží Morinův model „s čtyřmi ušima“, jehož polyedrickou reprezentaci jsem vymyslel před deseti lety).

Návod na sestavení tohoto objektu z papíru a nůžek

Pokud rozšíříme pravidla hry a připustíme, že tyto objekty mohou mít i špičaté body, dostaneme sumerze (Cross Cap, románská plocha Steinerova). Nevím, jestli je slovo „sumerze“ správné, ale protože jsem nenašel žádného matematika, který by mi to vysvětlil, našel jsem zábavné vymyslet si ho dočasně, až se objeví nějaký odborník. Takže plocha Cross Cap a románská plocha Steinerova jsou obě sumerze „projektivní roviny“.

Řeknu vám upřímně, po dvaceti pěti letech činnosti a svých zklamání v oblasti magnetohydrodynamiky jsem tyto práce začal, protože mi připadaly nejvzdálenější od jakéhokoli vojenského použití. Ale, jak mi upozornil můj starý přítel Mihn, slovo „sumerze“ by mohlo vést k nedorozumění a vzbudit dojem, že z těchto výzkumů hledám způsob, jak skrýt pokroky v ponorné plavbě.

Pravidlo „tvorby-rozkladu“ párů špičatých bodů umožňuje přejít z jedné sumerze objektu na jinou, což právě právě provedli, ukazujíc, že Cross Cap a románská plocha Steinerova jsou dvě sumerze stejného objektu, známého jako projektivní rovina. Nezkoušejte si představovat „projektivní rovinu“. Tento objekt lze pochopit jen prostřednictvím různých reprezentací. Co se týče slova „projektivní“, není to nic jiného než jeden z tisíců vynalezených matematiky, aby zamezil proniknutí do jejich uzavřeného kruhu. Zanichelli vám v matematice nebude žádnou pomocí.

Zbývá nám ukázat, jak přejít k ploše Boya, což je vložení projektivní roviny

Předchozí stránka Další stránka

Zpět na obsah „Přeměna Cross Cap na Boy“

Zpět na sekci Novinky Zpět na sekci Průvodce Zpět na hlavní stránku

Počet návštěv od 25. října 2003 :

Obrázky