Matematika geometrie plochy topologie

Jak přeměnit plochu Cross Cap
na plochu Boya (vpravo nebo vlevo, podle výběru)
procházející románskou plochou Steinerovou.

Italština: Andrea Sambusetti, univerzita v Římě

../../Crosscap_Boy1.htm

27. září – 25. října 2003

Stránka 2

Zde je „plocha Cross Cap“ (tak, jak byste ji objevili ve virtuální realitě). Má dvě špičaté body, které jsou vrcholy čáry sebe-překryvu. Lze ji vytvořit stlačením balónku s kousky kovových držáků na vlasy. Ale můžete si také vytvořit její polyedrické reprezentace. Ta níže nás bude zvláště zajímat.

Na obrázku 4 najdete to nejtěžší, co se musí naučit. Myslím si, že je nemožné, aby někdo pochopil tyto objekty dobře jen podle obrázků. Vytvořte si modely. Jednoduše řečeno, taháme špičatý bod C2 „dovnitř plochy“ (což, mezi závorkami, nemá žádný smysl, protože jistě jste si všimli, že plocha Cross Cap je jednostranná: nemá vnější ani vnitřní stranu). Pokud pokračujeme, plocha se „prostředním“ překrývá a množina sebe-překryvu se dokončí, zaoblením několika částí, křivkou ve tvaru osmičky. Vznikl tak, kromě toho, trojný bod T.

Plocha je lépe pochopitelná ve své polyedrické formě a níže jsme zvětšili některé prvky, aby bylo vidět, co nás vedlo k přeměně tohoto objektu na románskou plochu Steinerovu (viz simulace virtuální reality), jejíž nejjednodušší polyedrická forma spočívá v sestavení čtyř krychlí (zde vidíme pouze tři).

Obrázek 5: vlevo polyedrická verze, vpravo kruhová. Šipka prochází bodem, který chceme „stlačit“. Níže začátek operace stlačení.

Obrázek 6: stlačení je provedeno a vytváří singulární bod B. Ve skutečnosti, protože stlačujeme z obou stran (aby to šlo rychleji), vzniknou dva singulární body S1 a S1, pak dva špičaté body. V tomto okamžiku bez kartonu, nůžek a lepicí pásky budete mít problém.

Obrázek 7: jednoduše jsme přesunuli různé špičaté body. Pokud je bod C2 „zřejmý“, budete mít určitě větší potíže s identifikací bodů C3 a C4 jako špičatých. A přesto jsou tam, na koncích čáry sebe-překryvu. Nad bodem C3 se nachází jen to, co jsem nazval „pozikon“, tedy bod, kde se soustředí kladná křivost (bod, kde se soustředí záporná křivost nazývám „negakon“). Trochu deformací tohoto objektu se dostaneme k polyedrické formě románské plochy Steinerovy (vynalezl ji Steiner v Římě; viz jeho ilustraci ve virtuální realitě).

Takže hra je hotová. Existuje několik druhů ploch podle pravidel, která si určíme. Plochy, které se nepřekrývají, se nazývají „vložení“ (koule nebo torus v R3). Pokud se však překrývají, ale tečný rovině se nepřeruší a nepřechází do degenerovaného stavu, nazývají se pohledy. Například: Kleinova láhev ve své klasické reprezentaci. V R3 neexistuje reprezentace Kleinovy láhve jako vložení: nutně se překrývá. Pohledy mají množiny sebe-překryvu bez špičatých bodů. Tyto množiny jsou spojité křivky, ale mohou se protínat v dvojných nebo trojných bodech. Poznámka: kouli lze realizovat jako pohled (který není vložením) tak, že ji překrýváme. Vlastně je to způsob, jak ji obrátit (viz metoda A. Phillipsa, 1967, jejíž klíčovým krokem je dvojité pokrytí plochy Boya; viz také B. Morin a J. P. Petit, 1979, kde jako centrální model slouží „čtyřoušní“ model Morinův, jehož polyedrickou reprezentaci jsem vymyslel před deseti lety).

Návod na sestavení tohoto objektu z papíru a nůžek

Pokud rozšíříme pravidla hry a připustíme, že tyto objekty mohou mít i špičaté body, získáme sumerze (Cross Cap, románská plocha Steinerova). Nevím, jestli je „sumerze“ správný termín, ale protože jsem nenašel žádného matematika, který by mi to vysvětlil, našel jsem zábavné vymyslet si ho, alespoň do doby, než se objeví nějaký odborník. Takže plocha Cross Cap a románská plocha Steinerova jsou obě sumerze „projektivní roviny“.

Upřímně řečeno, po dvaceti pěti letech činnosti a mých zklamání v oblasti magnetohydrodynamiky jsem začal tyto práce, protože mi připadaly nejvzdálenější od jakéhokoli vojenského použití. Ale, jak mi upozornil můj starý přítel Mihn, termín „sumerze“ by mohl vést k záměně a dát námořnímu vojsku dojmy, že těmito výzkumy zkouším skrývat pokroky v oblasti ponorného pohonu.

Pravidlo „tvorby-odstranění“ párů špičatých bodů umožňuje přechod z jedné sumerze objektu na jinou, a právě to jsme právě provedli, ukazujíc, že Cross Cap a románská plocha Steinerova jsou dvě sumerze stejného objektu, známého jako projektivní rovina. Nepokoušejte se představit „projektivní rovinu“. Tento objekt lze pochopit pouze prostřednictvím různých reprezentací. Co se týče termínu „projektivní“, není to nic jiného než jeden z tisíců vynalezených matematiky, aby zamezil proniknutí do jejich uzavřeného kruhu. Zanichelli vám v matematice nebude žádnou pomocí.

Zbývá nám tedy ukázat, jak přejít k ploše Boya, která je pohledem projektivní roviny

Předchozí stránka Další stránka

Zpět na obsah „Přeměna Cross Cap na Boya“

Zpět na sekci Novinky Zpět na sekci Průvodce Zpět na hlavní stránku

Počet návštěv od 25. října 2003 :

Obrázky