Italiano
: Andrea Sambusetti, univerzita v Římě
Klikněte zde, aby se
zobrazil nákres modelu v měřítku 1:1, který lze vytisknout a vystřihnout.
Okopírujete-li čtyři exempláře na bristolový karton dvou různých
barev, budete si moci model sestavit sami
podle pokynů k montáži.
Určitě jste viděli podivný objekt, jak neúnavně rotuje
na levé části úvodní stránky tohoto webu. O co se jedná?
Jednoho dne, až najdu čas, umístím
na tento web popis obracení sféry, tak jak
jsem jej ilustroval v čísle Pour la Science z ledna 1979, tedy...
před 22 lety! To vše bude vyžadovat mnoho podrobností a úvod.
Co znamená „obrátit sféru“? Sféra nemá stejný
význam pro obyčejného člověka a pro matematika-geometra. Pro obyčejného člověka
to není nic jiného než množina bodů v prostoru nacházejících se ve vzdálenosti
R od pevně daného bodu O. Geometr bude naproti tomu nazývat „sférou“
i objekt, který odpovídá „deformované sféře“,
jako je například brambora. Abyste tyto pojmy pochopili přesněji,
sežeňte si CD od Lanturlu obsahující komiks „Topologikon“.
Ale matematik jde také trochu dál. Povrch se
nazývá „regulární“, když v každém jeho bodě lze definovat
tečnou rovinu. To už umožňuje myslet na nekonečně
mnoho možných regulárních deformací sféry do nekonečně mnoha možných tvarů
brambory, přičemž navíc lze libovolně měnit obsah takového povrchu.
Po tomto konstatování se v našem fyzickém vesmíru člověk, který se pokusí obrátit
sféru (tedy dostat její vnitřní povrch ven), ocitne
tváří v tvář nemožnosti dosáhnout toho, aby její
povrch prošel sám sebou. Když se přijme tento předpoklad, tedy zakáže se, aby povrch
procházel sám sebou nebo se dokonce jen „dotýkal“, matematik mluví
o vnoření sféry S2. Ale matematik si vždy dovolí vše. Sféra
je pro něj „virtuální“, nikoli materiální objekt,
u něhož je prostup jedné vrstvy považován za možný. Následující
sled nákresů ukazuje sféru, která prochází sama sebou. Takové zobrazení,
které tedy připouští sebeprostupy, se nazývá
imerze.
Imerze tedy má množinu sebeprotínání
(zde se jedná o jednoduchou kruhovou křivku). Tečná rovina však
musí měnit spojitě. Za tohoto předpokladu, když se podíváte na nákres
výše, jasně vidíte, že operace přivádí část vnitřního povrchu
(znázorněného zeleně) ven. K dokončení obrácení by bylo třeba
tuto jakousi rovníkovou střevovitou část zploštit. Zde se zdá být problém:
toto zploštění by zničilo spojitost tečné roviny,
a taková transformace by tedy obsahovala krok, který není imerzí.
Jednoho dne americký matematik Stephen Smale dokázal,
že „sféra S2 má jedinou třídu imerzí“. Tato
věštivá věta měla jako důsledek skutečnost, že by mělo být možné přejít
pomocí transformace obsahující jen skutečné imerze od „standardní“ sféry
k jejímu „antipodálnímu“ zobrazení, tedy takovému, v němž je každý bod
zaměněn se svým antipodem: zkrátka... obrácená sféra.
Raoul Bott byl Smaleův šéf. Formální důkaz této skutečnosti se zdál
být natolik správný, nakolik se nikdo nezdál být schopen konkrétně uskutečnit
tuto operaci obrácení. Bott se Smalea stále ptal „ukažte mi,
jak byste si představoval postupovat“; načež Smale, známý
tím, že si nebere servítky, odpovídal „nemám nejmenší tušení“.
Smale později získal Fieldsovu medaili, ekvivalent Nobelovy ceny za matematiku.
Mimochodem, možná se ptáte, proč neexistuje Nobelova cena za
matematiku. Odpověď je jednoduchá: jeho žena utekla
s matematikem.
Věci tak zůstaly pěkných pár let,
dokud americký matematik jménem Anthony Phillips nepublikoval
v roce 1967 v Scientific American první verzi tohoto obrácení,
nesmírně komplikovanou. Druhou vynalezl na počátku sedmdesátých let
francouzský matematik (nevidomý) Bernard Morin. Byl jsem první, kdo nakreslil
sled transformací, který bude, jak jsem oznámil, předmětem
příštího článku na tomto webu, ostatně dosti bohatého. Každopádně nás to vše
přivádí k jedné úvaze. Povrchy mohou být znázorněny
v mnohostěnné podobě. Krychlе nebo čtyřstěn lze považovat za
mnohostěnná znázornění sféry v tom smyslu, že tyto objekty mají
stejnou topologii. K tomuto bodu si prostudujte můj Topologikon. Navíc
je jasné, že pokud je možné obrátit sféru, bude stejně tak
možné obrátit krychli. Transformace vynalezená Bernardem Morinem (kterou
jsem ilustroval v článku z ledna 1979 v Pour la Science) prochází
centrálním modelem. V tomto sledu existuje symetrie. Je to ta, kterou
nazývám „centrální model se 4 ušima“. Předbíhám věci.
Každopádně, stejně jako se sféra hodí k mnohostěnným znázorněním, platí to
i pro následující kroky této transformace. To, co vidíte rotovat
na mé úvodní stránce, je mnohostěnná verze centrálního modelu
obrácení sféry, kterou jsem vynalezl asi před deseti lety. Zajímavost
takových mnohostěnných modelů spočívá ve skutečnosti, že je lze sestavit z
rovinných povrchů. Lze je také sestavit z papíru a nůžek. Podívejte se
na nákres níže (v závorce děkuji svému příteli Christophu Tardymu,
který vytvořil prvky správné velikosti).
Je to montážní plán, jehož celkový pohled zde máte.
Ale pro tisk je lepší, když přejdete na stránku s vystřihovánkou.
Vytiskněte ji. Poté, vybaveni tímto exemplářem vytištěným na obvyklém
papíře vaší tiskárny, si okopírujte 4 identické kopie, dvě na bristolový
karton zelený a dvě žlutý. Budete moci pomocí těchto listů
k vystřižení sestavit centrální model obrácení krychle.
Na prvcích k vystřižení jsou dvojice písmen
: a , b c , d , e , f atd.... Stačí ohnout list tak, aby se
překryla stejná písmena, a poté upevnit plochy průhlednou
lepicí páskou. Následující nákresy ukazují způsob montáže jednoho ze čtyř
dílů. Zde nejprve, jak je třeba začít ohýbat jeden ze čtyř prvků
:
Zde dva ze čtyř prvků, viděné z různých úhlů.
Poté se uspořádají tak, aby daly vzniknout objektu
se symetrií řádu čtyři, v němž se střídají zelené a žluté prvky.
Abyste to viděli ve 3D, podívejte se na Tardyho realizaci v sekci
„virtuální realita“. Centrální model je sestaven a také
realizován ve „vrml“ v této sekci. Zde je reprodukován z různých
pohledů:
Nelze říci, že by jeden pohled odpovídal
„nahoře“ a druhý „dole“, jelikož tato
označení jsou dokonale libovolná. Na levém obrázku „centrální“ bod
odpovídá „dvojnému bodu“ (v němž se dvě vrstvy
kříží) Morinova centrálního modelu, zatímco centrální bod obrázku
vpravo odpovídá „čtyřnému bodu“ téhož modelu (v
němž se kříží čtyři vrstvy). Musel jsem objekt orientovat velmi pečlivě,
aby levý obrázek neevokoval svastiku. Kromě toho,
z architektonického hlediska by toto mnohostěnné znázornění Morinova
centrálního modelu mohlo představovat pěkný projekt Domu národní
socialistické kultury.
Poslední poznámka: neexistuje dobré mnohostěnné znázornění
obrácení sféry (tedy krychle). „Dobrým“
myslím sled dostatečně explicitních modelů, které lze popsat
formou vystřihovánek poměrně snadno, jako model
výše. Bylo by třeba provést studii tímto směrem, dostupnou komukoli,
i nematematikovi, například sochaři. Před více než dvaceti lety
jsem byl učitelem sochařství na Ecole des Beaux-Arts v Aix en Provence,
v době, kdy byl ředitelem můj drahý přítel Jacques Boullier. Právě v těch prostorách
vzniklo první meridlánové znázornění Boyova povrchu pomocí
elips, klíč ke konstrukci první implicitní rovnice, kterou uvedl Apéry.
Musím říci, že už tehdy mě překvapila geometrická představivost
studentů umění, která často předčila tu... geometrů.
Počítadlo instalováno 31. prosince 2001. Počet
připojení: