Přeměna Crosscap na Boyovu plochu prostřednictvím Steinerovy římské plochy
Jak přeměnit Crosscapu na Boyovu plochu (levou nebo pravou, podle výběru), přes Steinerovu římskou plochu.
27. září – 25. říjen 2003
stránka 2
Tady je Crosscap (tak, jak jste ji objevili ve virtuální realitě). Obsahuje dva špičaté body, které ohraničují čáru se samořezání. Lze ji vytvořit stlačením balónu pomocí vlnitele. Ale můžete také vytvořit její polyedrické reprezentace. Ta níže nás bude zvláště zajímat.
Na této desce 4 je moment největší náročnosti. Myslím, že je téměř nemožné, aby náhodný člověk pochopil tyto obrázky jen podle jejich prohlížení. Vyrobte si tyto modely. Jasně, taháme špičatý bod C2 „dovnitř plochy“ (což však nemá žádný smysl, protože, jak jste si jistě okamžitě všimli, Crosscap je jednostranná. Při zvýšeném napětí se plocha samořeší a celý systém samořezání se doplní „kruhovitě“ uzavřenou křivkou ve tvaru osmičky. Při tom vzniká trojný bod T.
Plocha je lépe pochopitelná ve své polyedrické podobě a níže jsme některé prvky zvětšili, abychom ukázali, proč chceme tento objekt přeměnit na Steinerovu římskou plochu (viz virtuální realita), jejíž nejjednodušší polyedrická podoba spočívá v slepení čtyř krychlí (zde vidíme jen tři).
Deska 5: vlevo polyedrická podoba, vpravo „kruhovitá“ podoba. Šipka prochází místem, které budeme „stlačovat“. Níže začátek stlačení.
Deska 6: stlačení je provedeno vytvořením singulárního bodu B. Ve skutečnosti, protože stlačujeme z obou stran, abychom ušetřili čas; vznikají dva singulární body S1 a S1 a dvě dvojice špičatých bodů. Bez kartonu, nůžek a lepicí pásky jste v nepříznivé situaci.
Deska 7: jednoduše jsme přesunuli jednotlivé špičaté body. Pokud je bod C2 „zřejmý“, budete mít trochu větší problém identifikovat body C3 a C4 jako špičaté body. Jsou však přítomny na konci čáry samořezání. Nad bodem C3 se nachází jen to, co jsem nazval „pozimon“, bod koncentrace kladné křivosti (bod koncentrace záporné křivosti je „negamon“). Pokud trochu objekt deformujeme, dostaneme polyedrickou podobu Steinerovy římské plochy (plocha čtvrtého stupně vynalezená Steinerem v Římě. Viz její prezentaci ve virtuální realitě).
Takže je to hotové. Existuje několik druhů ploch podle pravidel, která si stanovíme. Plochy, které se navzájem nepřekrývají, se nazývají vložení (koule, torus v R3). Když se překrývají, ale tečná rovina se spojitě mění, nazýváme je imergování. Příklad: Kleinova láhev ve své klasické reprezentaci. V R3 neexistuje reprezentace Kleinovy láhve jako vložení. Nutně se překrývá sama sebou. Imeryování mají množiny samořezání bez špičatých bodů. Tyto křivky jsou spojité, ale mohou se křížit, případně obsahovat dvojné nebo trojné body. Poznámka: koule může být prezentována jako imerze, jednoduše překrytím sebe sama. Je to přesně tak, jak se podařilo otočit kouli (A. Phillips, 1967, s centrální krokem dvojlistového překryvu Boyovy plochy; B. Morin a J.P. Petit, 1979, s centrálním modelem čtyřoušníkového Morinova modelu, jehož polyedrickou reprezentaci jsem vymyslel před deseti lety.
Plán pro sestavení tohoto objektu pomocí vystříhání
Pokud rozšíříme pravidla hry a předpokládáme, že tyto objekty mají špičaté body, dostaneme submerze (Crosscap, Steinerova římská plocha). Nevím, zda je to přesný termín, ale protože jsem nenašel žádného matematika, který by mě osvětlil, našel jsem to zábavné, vymyslet si ho dočasně, dokud se neobjeví odborník. Takže Crosscap a Steinerova římská plocha by byly submerzemi „projektivní roviny“.
Pro úplnost: po mé neúspěšné práci s MHD po dvacet pět let jsem začal tyto práce, protože mi připadaly co nejvzdálenější od jakékoli vojenské aplikace. Ale, jak mi zdůraznil můj starý přítel Mihn, slovo „submerze“ může vést k záměně a námořnímu sboru připadat, že přes tyto výzkumy zkouším skrývat nějaký pokrok v ponorné pohonové technologii.
Pravidlo „tvorby-a-zániku“ párů špičatých bodů umožňuje přechod od jedné submerze objektu ke druhé a právě to jsme právě provedli, ukazujíc, že Crosscap a Steinerova římská plocha jsou dvě submerze stejného objektu nazývaného projektivní rovina. Nezkoumejte, jak „projektivní rovina“ vypadá. Tento objekt lze pochopit pouze prostřednictvím jeho různých reprezentací. Co se týče slova „projektivní rovina“, je to jen jeden z tisíců vymyšlených matematiky, aby zmatené osoby odrazily od jejich uzavřeného kruhu. Larousse vám v matematice nepomůže.
Zbývá nám přejít k Boyově ploše, která je imerzí projektivní roviny
Předchozí stránka Další stránka
Zpět k obsahu „Přeměna Crosscap na Boyovu plochu“
Zpět k návodu Zpět na úvodní stránku
Počet návštěv od 25. října 2003:
Obrázky
