Přeměna Crosscap na Boyovu plochu prostřednictvím Steinerovy římské plochy
Jak přeměnit Crosscapu na Boyovu plochu (levou nebo pravou, podle výběru), přes Steinerovu římskou plochu.
27. září – 25. říjen 2003
strana 2
Tady je Crosscap (tak, jak jste ji objevili ve virtuálních obrazech). Obsahuje dva špičaté body, které ohraničují čáru samoprůniku. Můžete ji vytvořit tím, že stlačíte balónku špínačkou. Ale můžete také vytvořit její polyedrické reprezentace. Tu níže budeme zvláště zajímat.
Na této desce 4 je moment nejvíce obtížný k pochopení. Myslím, že je téměř nemožné, aby někdo náhodně pochopil tyto obrázky jen podle jejich náčrtů. Postavte si tyto modely. Jednoduše taháme špičatý bod C2 „dovnitř plochy“ (což však nemá žádný smysl, protože, jak jste si jistě okamžitě všimli, Crosscap je jednostranná. Pokud budeme dále tahat, plocha se překrývá sama sebou a celý systém samoprůniku se doplní „kruhovitě“ křivkou ve tvaru osmičky. Při tomto procesu vznikne trojný bod T.
Plocha je lépe pochopitelná ve své polyedrické podobě a níže jsme některé prvky zvětšili, abychom ukázali, co nás vedlo k přeměně tohoto objektu na Steinerovu římskou plochu (viz virtuální realita), jejíž nejjednodušší polyedrická podoba spočívá v sestavení čtyř krychlí (zde vidíme jen tři).
Deska 5: levá strana je polyedrická, pravá strana je „kruhovitá“. Šipka používá cestu, kterou budeme „stlačovat“. Níže začátek stlačení.
Deska 6: stlačení je provedeno vytvořením singulárního bodu B. Ve skutečnosti, protože stlačujeme z obou stran, abychom ušetřili čas, vzniknou dva singulární body S1 a S1 a dvě dvojice špičatých bodů. V tomto bodě bez kartonu, nůžek a lepidla jste v nepříznivé situaci.
Deska 7: jednoduše jsme přesunuli různé špičaté body. Pokud je bod C2 „zřejmý“, budete mít trochu větší problém identifikovat body C3 a C4 jako špičaté body. Jsou však přítomny na konci čáry samoprůniku. Nad bodem C3 se nachází jednoduše to, co jsem nazval „pozimon“, bod koncentrace kladné křivosti (bod koncentrace záporné křivosti je „negamon“). Pokud trochu změníme tvar tohoto objektu, dostaneme polyedrickou podobu Steinerovy římské plochy (plocha čtvrtého stupně vynalezená Steinerem v Římě. Podívejte se na její prezentaci ve virtuální realitě).
Takže je to hotovo. Existuje několik typů ploch podle pravidel, která si stanovíme. Plochy, které se nekříží samy sebou, se nazývají vložení (sféry, toru v R3). Když se kříží, ale tečná rovina se spojitě mění, nazýváme je vložení. Příklad: Kleinova láhev v její klasické reprezentaci. Ve R3 neexistuje žádné vložení Kleinovy láhve. Musí se nutně překrývat sama sebou. Vložení mají množiny samoprůniku bez špičatých bodů. Tyto křivky jsou spojité, ale mohou se křížit, kde se objevují dvojné nebo trojné body. Poznámka: koule může být představena jako vložení, když ji jednoduše překryjeme sama sebou. Přesně takto se podařilo obrátit kouli (A. Phillips, 1967, s centrální krokem dvojlistového překryvu Boyovy plochy; B. Morin a J.P. Petit, 1979, s centrálním modelem čtyřouškového Morinova modelu, jehož polyedrickou reprezentaci jsem vymyslel před deseti lety.
Plán pro sestavení tohoto objektu pomocí vystřihování
Pokud rozšíříme pravidla hry a předpokládáme, že tyto objekty mají špičaté body, dostaneme podmnožiny (Crosscap, Steinerova římská plocha). Nevím, zda je to přesný termín, ale protože jsem nenašel žádného matematika, který by mě osvětlil, našel jsem to zábavné, a proto jsem si tento termín dočasně vymyslel, dokud se neobjeví nějaký odborník z geometrie. Takže Crosscap a Steinerova římská plocha by byly podmnožiny „projektivní roviny“.
Abych vám všechno řekl, po mých neúspěších v oblasti MHD během dvaceti pěti let jsem začal tyto práce, protože mi připadaly co nejvzdálenější od jakékoli vojenské aplikace. Ale, jak mi upozornil můj starý přítel Mihn, termín „podmnožina“ může vést k záměně a nevyhnutelně napoví námořnímu sboru, že přes tyto výzkumy zkouším skrývat nějaký pokrok v podmořské pohonové technologii.
Pravidlo „vzniku-a-zániku“ párů špičatých bodů umožňuje přechod z jedné podmnožiny objektu na jinou a právě to jsme právě provedli, když jsme ukázali, že Crosscap a Steinerova římská plocha jsou dvě podmnožiny stejného objektu zvaného projektivní rovina. Nezkoumejte, jak „projektivní rovina“ vypadá. Tento objekt lze pochopit pouze prostřednictvím jeho různých reprezentací. Co se týče slova „projektivní rovina“, je to jen jeden z tisíců termínů, které matematici vymysleli, aby zmatli ty, kdo by chtěli proniknout do jejich uzavřeného kruhu. Larousse vám v matematice nebude žádnou pomocí.
Zbývá nám přejít k Boyově ploše, která je vložením projektivní roviny
Zpět na obsah „Přeměna Crosscap na Boyovu plochu“
Zpět k návodu Zpět na úvodní stránku
Počet návštěv od 25. října 2003:
Obrázky
