Přeměna Crosscap na povrch Boya prostřednictvím Römanovy plochy, přes Römanovu plochu Steinerova
Jak přeměnit Crosscap na povrch Boya (levý nebo pravý, podle výběru), přes Römanovu plochu Steinerova.
27. září 2003
stránka 4
Nyní je model ukázán z jiného úhlu:
Plánek 14: Opakujeme stejnou operaci a vytváříme třetí „ucho“ křivky samoprůsečíku. V polyedrické podobě má tato část tvar tří čtverců s jedním společným vrcholem: trojným bodem T.
Plánek 15: Otáčením objektu získáte polyedrickou verzi povrchu Boya, kterou jsem představil a zprostředkoval v Topologiconu (kde je i rozstříhání umožňující její sestavení).
Poslední plánek: Snažil jsem se znázornit, jak se Römanova plocha (4. stupně, zatímco povrch Boya je 6. stupně) zkroutí a promění v povrch Boya.
Vidíme, že při „kroužení“ je potřeba značná zkušenost, aby se objekt pochopil. Naše oko se velmi nechutně cítí, když se snaží pochopit objekt, kde na jedné zrakové přímce se překrývají více než dvě plochy. Proto je výhodné použít polyedrickou podobu, která přístupně ukazuje transformace, které se v geometrii považují za sofistikované, protože lidé sami vynaloží úsilí na sestavení modelů. Zároveň si všimneme, že podle zvolené dvojice vrcholových bodů získáme povrch Boya „pravý“ nebo „levý“ (slova naprosto libovolná). Projektivní rovina se proto vkládá dvěma „enantiomorfními“ reprezentacemi, zrcadlově. Vidíme, že lze přejít z pravého Boya do levého přes „střední“ model, kterým je Römanova plocha Steinerova.
Bylo by určitě příjemné, kdyby se takové obrázky objevily v časopisech Pour la Science nebo La Recherche. Ale už dvacet let jsem „zakázán k publikování“ v těchto časopisech kvůli „ovnijskému deviaciím“. Děkuji, pánové Hervé This a Philippe Boulanger. Už si nevzpomínám, kolik podobných článků jsem poslal těmto časopisům a jak mi byly zdvořile vráceny. Nakonec se zvykne na své postavení exkomunikovaného.
Na závěr anekdoty: v Francii existuje „Alemberův cenu“ určená k ocenění autorů knih o populární matematice. Příběh mi vyprávěl člen výboru, který měl rozhodnout, komu cenu přidělit (na konci je i nějaké peníze). Dialog:
-
Ale konečně, nemohli bychom udělit cenu Petitovi? Napsal výborné knihy jako Géométricon, Černá díra a Topologicon.
-
Ano, ale psal i jiné knihy.
-
Na co tím myslíte?
-
Psal i Knihu ticha.
-
Ach, v tom případě...
Ano, Knihy ticha, vydaná v roce 83, je album věnované MHD. A jak každý ví, tato podezřelá věda má vlastnost – nebo zábavu – umožnit letounům letět nadzvukovou rychlostí bez „báču“.
Schovejte tuto vědu, abych ji neviděl
Mám v zásobníku krásnou verzi „obrácení krychle“, s úžasným středním modelem, který není polyedrickou verzí Morinovy varianty. Všechno je moje vlastní. Jednou z těchto dní...
22. říjen 2003: Na těchto stránkách se nekoukáme, jak mi napovídá čítač. Dne 13. října 2003 jsem na výzvu Trotmana přednesl seminář na CMI (Centrum matematiky a informatiky v Château-Gombert-Marseille). Příležitostně jsem mohl představit kolekci přibližně třiceti kartonových modelů, které si brzy uvidíte – byly fotografovány Christophe Tardy.
Když přednášíte seminář, vznikne určitá atmosféra. Na následujícím obrázku je geometr, který vyjadřuje zmatenost.
Na pozadí část vystavených modelů. V určitém okamžiku jsem položil otázku:
- Kdo z vás už viděl Römanovu plochu Steinerova? Zvedněte ruku.
Nikdo ji nikdy neviděl. Proto jsem považoval za vhodné představit objekt, ve skutečnosti virtuálně, na notebooku, který jsem si přivezl, objekt vytvořený ve spolupráci s inženýrem Christophe Tardy a Frédéricem Descampem z Institut Laue Langevin v Grenoble (ILL). Zřejmě tato prezentace zmatená publikum, které málo zvyklé vidět matematické plochy, jak se vznášejí podle vůle.
Dva kartonové panely, viditelné na předním plánu, umožnily ukázat modely v logickém pořadí. Modrý a žlutý model ilustruje v polyedrické podobě základní nástroj pro vytváření a zánik dvojice vrcholových bodů. Nejvzdálenější bílý objekt je polyedrická verze Crosscap, která se nejprve promění v polyedrickou verzi Römanovy plochy Steinerova, o metr dál pak podle vůle v povrch Boya „pravý“ nebo „levý“.
Analýza modelů vyvolala různé poznámky v publiku. Jeden z geometrů se zeptal:
- Pokud přes modely v tomto směru můžeme přejít z Crosscap do Boya, zdá se, že obráceně můžeme převést Boya zpět na Crosscap.
Odpověděl jsem ano. Odvážněji pokračoval můj dotyčný:
- Pokud na stupni Römanovy plochy Steinerova zastavíme, je možné se zpět vracet k zrcadlovému povrchu Boya.
Znovu jsem souhlasil. Bohužel nikdo se nepřihlásil, aby vysvětlil tento zvláštní svět, kde uzavřené plochy vkládáme s vrcholovými body, které se vytvářejí nebo zanikají po dvojicích, celkem tvoří rozšíření světa vkládání. Slovo „submersie“ by mi přišlo vhodné. Pokud by někdo našel vysvětlení, byl by vítán.
Zkoumání zakřivení v jednom vrcholovém bodě
Spočítá se sečtením úhlů ve vrcholu a porovnáním s eukleidovskou součtem: 2π.
V horní levé části je znázorněna jedna z mnoha polyedrických reprezentací vrcholového bodu. Rozmontování objektu (vpravo) vede ke součtu přesahujícímu eukleidovský součet 2π o hodnotu 2α. Z toho vyplývá, že úhlová zakřivenost soustředěná kolem tohoto bodu C je –2α. Pokud je úhel α roven π/2, pak záporná zakřivenost má hodnotu c (na obrázku v dolní levé části). Ve skutečnosti může zakřivenost soustředěná v jednom vrcholovém bodě nabývat nekonečně mnoha hodnot. V dolní pravé části je zvýšen součet úhlů a zakřivenost pak < 2α. Zvýší se záporná zakřivenost.
Obdobně můžeme dosáhnout poměrně překvapivé situace: zajistit, aby úhlová zakřivenost soustředěná v bodě C byla ... nulová:
Nyní můžeme začít s polyedrickou reprezentací Crosscap s dvěma vrcholovými body, každý s náklonem –π:
Existuje osm „pozitivních bodů“ s hodnotou +π/2. Přidejme čtyři další „pozitivní body“ s hodnotou +π/4 a čtyři „negativní body“ s hodnotou –π/4.
Plus dva vrcholové body s zakřivením –π.
Celkem: 2π
Dělením celkové zakřivenosti 2π získáme Eulerovu-Poincarého charakteristiku všech reprezentací projektivní roviny (např. povrchu Boya).
Během mé přednášky jsem zmínil umění a způsob, jakým můžeme prohodit dva vrcholové body Crosscap pomocí obrácení koule. Nevím už, zda jsem to někde na svém webu uvedl. Je to taková zmatek. Budu to muset hledat, jinak to někde umístím. Je to docela zábavné. V každém případě tato prezentace nebyla moc oblíbená jedním z účastníků semináře.
- Nevím, proč Petit používá takový komplikovaný nástroj, aby ukázal symetrii mezi dvěma vrcholovými body Crosscap. Je to mnohem jednodušší.
A nakreslil na tabuli obrázek zploštělé koule, která je spojena dvěma tyčemi, které tvoří jednu spojku a skutečně vytvářejí systém samoprůsečíku ve tvaru úsečky ohraničené dvěma vrcholovými body, jak je tomu u Crosscap. Bohužel a on to poznal, to není Crosscap.
- Proboha, co to tedy je? zeptal se někdo.
Je to jednoduše koule s dvěma vrcholovými body. Pokud je tyto body spojíme, získáme samoprůsečnou čáru, která se stane jednoduchým kruhem. A získáme vlevo dole (v řezu) vkládání koule, které je potřeba jen převést na její vložení. Můžeme dále přejít k polyedrické reprezentaci této plochy:
Je dvoustranná a zakřivenost je 2π.
Takže můžeme se s těmito „submersiemi“ dobře zábavit. Zvolme například vkládání toru, které spočívá v otáčení symbolu „nekonečno“ nebo „osmičky“ kolem osy.
Technika spojení vrcholových bodů nám umožní velmi rychle dosáhnout standardního vložení toru, jak je ukázáno na následujících obrázcích.
Ale někdy se věci neukážou tak jednoduché a zřejmé. Například zvolím kouli, kterou zploštím mezi dvěma úsečkami, které mají délku kratší než průměr. Získáme opět dva vrcholové body.
Protože do ní můžeme vepsat Möbiovu pásku, je tato plocha jednostranná. Je znázorněna její polyedrická reprezentace, která umožňuje výpočet celkové zakřivenosti. Získáme nulu. Pokud se nemýlím, jedná se o Kleinovu láhev. Obvykle známe jen nejklasickější vkládání, kde samoprůsečná čára je jednoduchý kruh. Ale existují i jiné, jako tato. Uznávám, že jsem ještě nenašel, jak převést tento objekt na vkládání Kleinovy láhve. Nevím ani, zda různá vkládání patří do stejné skupiny homotopie (koule má jen jednu). Pravděpodobně ne, protože torus může být vložen čtyřmi různými způsoby, které nelze spojit regulární homotopií. Až dosud jsem se bavil tím, že jsem tuto plochu převedl vytvořením dvou dalších vrcholových bodů a získal tak dvě Crosscap spojené trubkou. Po jejich rozstříhání získáme Eulerovu-Poincarého charakteristiku rovnou nule.
Tato „zvláštní plocha“ by měla být schopna se přeměnit na jedno z vkládání Kleinovy láhve. Které? V každém případě zde je jedna získaná otáčením „osmičky“ kolem osy a navíc prováděním půlotočního otáčení:
Zpět k obsahu „Přeměna Crosscap na povrch Boya“
Zpět k návodu Zpět na hlavní stránku
Počet návštěv od 6. října 2003: