Přeměna křížové kapky na Boyovu plochu přes Steinerovu růžovou plochu
Jak přeměnit křížovou kapku na Boyovu plochu (levou nebo pravou, podle výběru), přes Steinerovu růžovou plochu.
27. září 2003
strana 4
Nyní je model ukázán z jiného úhlu:
Platno 14: Opakujeme stejnou operaci a vytváříme třetí „ucho“ křivky se samořezáním. V polyedrické podobě má tato část tvar tří čtverců sdílejících společný vrchol: trojný bod T.
Platno 15: Otáčením objektu získáte polyedrickou verzi Boyovy plochy, kterou jsem představil a vysvětlil v knize Topologicon (kde je i rozstříhaný model umožňující její sestavení).
Poslední platno: Snažil jsem se znázornit, jak se Steinerova plocha (čtvrtého stupně, zatímco Boyova je šestého) zkroutí a přemění na Boyovu plochu.
Vidíme, že při „kroužení“ je potřeba značná zkušenost, aby se objekt pochopil. Naše oko se velmi nechutně cítí, když se snaží pochopit objekt, kde na stejné vidění se překrývají více než dvě plochy. Proto je výhodné používat polyedrické modely, které umožní běžnému člověku pochopit transformace, které se v geometrii považují za sofistikované, protože lidé sami vloží úsilí do sestavení modelu. Zároveň si všimneme, že podle volby párů špičatých bodů získáme Boyovu plochu „pravou“ nebo „levou“ (tyto pojmy jsou naprosto libovolné). Projektivní rovina se vkládá dvěma „enantiomorfními“ způsoby, jako zrcadlové obrazy. Vidíme, že lze přejít z pravé Boyovy plochy na levou prostřednictvím „středního“ modelu, kterým je Steinerova růžová plocha.
Bylo by určitě příjemné, kdyby se takové obrázky objevily v časopisech Pour la Science nebo La Recherche. Ale už dvacet let jsem v těchto časopisech „zakázán k publikování“ kvůli „ufologickému deviaci“. Děkuji, pánové Hervé This a Philippe Boulanger. Už si nevzpomínám, kolik podobných článků jsem odeslal a kolikrát mi byly zdvořile vráceny. Nakonec se k tomu přizpůsobíte – stáváte se exkomunikovaným.
Na závěr anekdoty: v Francii existuje „Cenu Alemberta“ určená pro autory knih o populární matematice. Příběh mi vyprávěl člen výboru, který měl rozhodnout, komu tato cena patří (je tam i nějaké peníze). Dialog:
-
Ale nemůžeme přidělit cenu Petitovi? Napsal výborné knihy jako Géométricon, Trou Noir a Topologicon.
-
Ano, ale napsal i jiné knihy.
-
Na co tím myslíte?
-
Napsal i Mur du Silence.
-
Ach, v tom případě...
Ano, Mur du Silence, vydaný v roce 83, je album věnované MHD. A jak každý ví, tato podezřelá věda má tu vlastnost (nebo zábavu), že umožňuje létajícím talířům dosáhnout nadzvukové rychlosti bez výbuchu.
Schovejte tuto vědu, abych ji neviděl
Mám v zásobě krásnou verzi „obrácení krychle“, s úžasným středním modelem, který není polyedrickou verzí Morinovy varianty. Všechno je moje vlastní tvorba. Jednou z těchto dní...
22. říjen 2003: Na těchto stránkách se nekoukáme, pokud se měří podle čítače. Dne 13. října 2003 jsem na pozvání Trotmana přednesl seminář na CMI (Centrum matematiky a informatiky v Château-Gombert-Marseille). Příležitostí jsem mohl vystavit kolekci přibližně třiceti kartonových modelů, které si jednou brzy uvidíte, protože je fotografoval Christophe Tardy.
Když přednášíte seminář, vzniká určitá atmosféra. Na následujícím obrázku je geometr, který vyjadřuje své zmatení.
Na pozadí část vystavených modelů. V určitém okamžiku jsem položil otázku:
*- Kdo z vás už viděl Steinerovu růžovou plochu? Zvedněte ruku. *
Nikdo to nikdy neviděl. Proto jsem považoval za vhodné představit objekt, ve skutečnosti virtuálně, na notebooku, který jsem si přivezl. Tento objekt jsem vytvořil ve spolupráci s inženýrem Christophe Tardy a Frédéricem Descampem z Institut Laue Langevin v Grenoble (ILL). Zjevně tato prezentace zaskočila publikum, které málo zvyklé vidět matematické plochy, jak se volně točí.
Dva kartonové panely, viditelné na předním plánu, umožnily ukázat modely v jejich logickém pořadí. Modrý a žlutý model ilustruje v polyedrické podobě klíčový nástroj pro vytváření a zánik párů špičatých bodů. Nejvzdálenější bílý objekt je polyedrická verze křížové kapky, která se nejprve přemění na polyedrickou verzi Steinerovy růžové plochy, o metr dál pak na Boyovu plochu „pravou“ nebo „levou“.
Analýza modelů vyvolala různé poznámky v publiku. Jeden z geometrů se zeptal:
*- Pokud postupujeme podle modelu v tomto směru, můžeme přejít z křížové kapky na Boyovu plochu, zdá se, že obráceně můžeme přeměnit Boyovu plochu zpět na křížovou kapku. *
Odpověděl jsem ano. Odvážněji pokračoval:
*- Pokud na úrovni Steinerovy růžové plochy zastavíme, můžeme pak pokračovat k zrcadlové verzi Boyovy plochy. *
Znovu jsem souhlasil. Bohužel však nikdo nepředstoupil, aby vysvětlil tento zvláštní svět, kde uzavřené plochy s vložením mají špičaté body, které se vytvářejí nebo zánikají po párech, a celé to tvoří nějakou rozšířenou verzi světa vložení. Slovo „submersions“ mi připadá vhodné. Pokud by někdo našel vysvětlení, bylo by vítáno.
Zkoumání křivosti v jednom špičatém bodě
Spočítáme ji sečtením úhlů v vrcholu a porovnáním s eukleidovskou sumou: 2 p.
Nahoře vlevo je znázorněna jedna z mnoha polyedrických reprezentací špičatého bodu. Rozmontování objektu (vpravo) vede ke sumě, která překračuje eukleidovskou sumu 2 p o hodnotu 2 a. Z toho vyplývá, že úhlová křivost koncentrovaná kolem tohoto bodu C je -2a. Pokud je úhel a roven p/2, pak záporná křivost má hodnotu c (na obrázku dole vlevo). Ve skutečnosti může křivost koncentrovaná v špičatém bodě nabývat nekonečně mnoha hodnot. Dole vpravo je zvýšena úhlová suma a křivost je pak < 2a. Zvýší se záporná křivost.
Obdobně můžeme dosáhnout docela překvapivé situace: zajistit, aby křivost (úhlová) koncentrovaná v bodě C byla... nulová:
Nyní můžeme začít s polyedrickou reprezentací křížové kapky s dvěma špičatými body, každý s křivostí -p:
Existuje osm „posicoins“ s hodnotou +p/2. Přidejme čtyři další „posicoins“ s křivostí +p/4 a čtyři „negacoins“ s křivostí -p/4.
Plus dva špičaté body s křivostí -p.
Celkem: 2p
Dělením této celkové křivosti číslem 2p získáme Eulerovu-Poincaréovu charakteristiku všech reprezentací projektivní roviny (např. Boyovy plochy).
Během mé přednášky jsem zmínil umění a způsob, jakým lze prohodit dva špičaté body křížové kapky pomocí obrácení koule. Nevím, jestli jsem to někde na svém webu uvedl. Je to takový chaos. Musím to hledat, jinak to tam někdy vložím. Je to docela zábavné. Nicméně tato prezentace se nelíbila jednomu z přítomných během semináře.
- Nevidím, proč Petit používá takový složitý nástroj, aby ukázal symetrii mezi dvěma špičatými body křížové kapky. Je to mnohem jednodušší.
A nakreslil na tabuli obrázek zploštělé koule, která je spojena dvěma tyčemi, které vytvářejí skutečně množinu samořezání ve tvaru úsečky ohraničené dvěma špičatými body, jako je tomu u křížové kapky. Bohužel a on si to uvědomil, to není křížová kapka.
- To je ale co? zeptal se někdo.
Je to jednoduše koule s dvěma špičatými body. Pokud je tyto body spojíme, dostaneme samořezání ve tvaru jednoduchého kruhu. A vlevo dole (v řezu) získáme vložení koule, které potom stačí přeměnit na vložení. Můžeme dále přejít k polyedrické reprezentaci této plochy:
Je dvoustranná a křivost je 2p.
Takže se můžeme dobře zábavit s těmito „submersions“. Zvolme například vložení toru, které spočívá v otáčení symbolu „nekonečno“ nebo „osmičky“ kolem osy.
Technika spojení špičatých bodů nám umožní velmi rychle dosáhnout standardního vložení toru, jak je znázorněno na následujících obrázcích.
Ale někdy to není tak jednoduché a zřejmé. Například zvolím kouli, kterou zploštím mezi dvěma úsečkami, které mají délku menší než průměr. Získáme opět dva špičaté body.
Protože můžeme do ní vepsat Möbiovu pásku, je tato plocha jednostranná. Její polyedrická reprezentace je znázorněna, což umožňuje výpočet celkové křivosti. Získáme nulu. Pokud se nemýlím, jedná se o Kleinovu láhev. Obvykle známe jen nejklasičtější vložení, kde je samořezání jednoduchý kruh. Ale existují i jiné, jako tato. Musím přiznat, že ještě nevím, jak přeměnit tento objekt na vložení Kleinovy láhve. Nevím ani, zda různá vložení patří ke stejnému homotopickému třídě (koule má jen jednu). Původně ne, protože torus lze vložit čtyřmi různými způsoby, které nelze spojit regulární homotopií. Zatím jsem se zábavou přeměnil tuto plochu vytvořením dvou dalších špičatých bodů a získal jsem tak dvě křížové kapky spojené trubkou. Po jejich rozstříhání získáme Eulerovu-Poincaréovu charakteristiku rovnou nule.
Tato „zvláštní plocha“ by měla být schopná přeměny na jedno z vložení Kleinovy láhve. Ale které? Ať tak nebo tak, tady je jedno získané otáčením „osmičky“ kolem osy a přidáním poloturnu:
Zpět na obsah „Přeměna křížové kapky na Boyovu plochu“
Zpět k návodu Zpět na úvodní stránku
Počet návštěv od 6. října 2003: