Jak proměnit crosscap
v Boyovu plochu (vpravo nebo vlevo, dle volby) přes Steinerovu římskou plochu.
27. září – 25. října 2003
strana 2
Tady je Cross Cap (tak, jak jste ji objevili na obrázcích virtuální reality).
Má dva kuspidální body, které lemují linii auto-intersekce.
Lze ji vyrobit sevřením balónku kulmou.
Ale můžete také vytvořit její polyedrická zobrazení.
To spodní nás bude zajímat obzvlášť.
Na tomto listu 4 se nachází moment
nejobtížněji uchopitelný. Zdá se mi téměř
nemožné, aby první kolemjdoucí pochopil tyto obrazce pouhým
pohledem na kresby. Postavte si tyto modely. Jasně řečeno, táhneme kuspidální bod
C2 směrem k „vnitřku plochy“
(což mimochodem nemá žádný smysl, protože, jak jste si jistě okamžitě
všimli, Cross Cap je jednostranná. Při naléhání se plocha
sama protne a množina auto-intersekce se doplní v „boubelatou“
křivku ve tvaru osmičky. Při tom vznikne trojný bod T.
Plocha je srozumitelnější
ve své polyedrické podobě a dole jsme některé prvky zvětšili,
abychom ukázali, co nás vede k tomu proměnit tento objekt v Steinerovu římskou
plochu (viz virtuální realita), jejíž nejjednodušší polyedrická forma
spočívá ve spojení čtyř krychlí (zde vidíme jen
tři).
List 5: Polyedrické vlevo,
boubelaté vpravo. Šipka prochází průchodem,
který „sevneme“. Dole začátek sevření.
List 6: sevření je provedeno
vytvořením singulárního bodu B. Vlastně protože sevřeme z obou
stran, abychom ušetřili čas; vytvoří se dva singulární body
S1 a S1 a poté dvě dvojice kuspidálních bodů. Tady bez
kartonu, nůžek a lepicí pásky jste v koncích.
List 7: jednoduše jsme nechali migrovat
různé kuspidální body. Pokud je bod C2 „zřejmý“,
budete mít o něco větší potíže identifikovat body C3 a C4
jako kuspidální body. Přesto jsou přítomny na konci
linie auto-intersekce. Nad bodem C3 se nachází jednoduše
to, co jsem nazval „posikout“, bod koncentrace
kladného zakřivení (bod koncentrace záporného zakřivení
je „negakout“). Drobnou deformací tohoto objektu
narazíte na polyedrickou formu Steinerovy římské plochy (plochy
4. stupně vynalezené Steinerem v Římě. Viz
její představení ve virtuální realitě).
Takže, trik je hotový. Existují
různé typy ploch podle pravidel, která si stanovíme.
Plochy, které se samy neprotínají, se nazývají vnoření
(sféry, toru do R3). Když se protínají, ale
tečná rovina se spojitě mění, nazýváme je imerzemi.
Příklad: Kleinova láhev v jejím klasickém zobrazení. V R3
neexistuje zobrazení Kleinovy láhve
formou vnoření. Nutně se sama protíná.
Imerze mají množiny auto-intersekce prosté
kuspidálních bodů. Tyto křivky jsou spojité, ale mohou se křížit
tam, kde jsou dvojné nebo trojné body. Poznámka: sféra
se může prezentovat formou imerze, prostě tím, že se
nechá samu protnout. Ostatně tak se
ji daří obracet (A. Phillips, 1967, s centrálním krokem
dvojlistým nakrytím Boyovy plochy; B. Morin a
J. P. Petit, 1979 s centrálním modelem Morinova modelu se čtyřmi
uši, jehož polyedrické zobrazení zde níže
jsem před deseti lety vynalezl.
Plán na sestavení tohoto objektu
pomocí vystřihování
Rozšíříme-li pravidla hry
tím, že předpokládáme, že tyto objekty mají kuspidální body, dostaneme
submerze (Cross Cap, Steinerova římská plocha). Nevím,
jestli je to přesné slovo, ale protože jsem nenašel žádného matematika,
který by mě osvítil, přišlo mi zábavné si ho vymyslet, prozatímně,
dokud se neozve nějaký geometr-expert. Tak
by Cross Cap a Steinerova římská plocha byly submerzemi „projektivní
roviny“.
Abych vám řekl vše, po mých nesnázích
v oblasti MHD za dvacet pět let jsem se do
těchto prací pustil, protože mi připadaly co nejvzdálenější
jakémukoli vojenskému využití. Ale jak poznamenal můj starý
přítel Mihn, termín submerze by mohl vést k záměně a nechat
tušit Národnímu námořnictvu, že bych se těmito výzkumy
snažil skrýt nějaký průlom v oblasti podmořského
pohonu.
Pravidlo „vytváření-rušení“
dvojic kuspidálních bodů umožňuje přejít od jedné submerze objektu k
jiné, a to jsme právě udělali, když jsme ukázali, že Cross Cap
a Steinerova římská plocha byly dvě submerze téhož
objektu zvaného projektivní rovina. Nezkoumejte, jak vypadá
„projektivní rovina“. Tento objekt lze uchopit jen
prostřednictvím jeho různých zobrazení. Pokud jde o slovo projektivní rovina,
to je jen jedno z tisíce dalších, které matematici vymysleli,
aby zmátli ty, kdo by chtěli proniknout do jejich uzavřeného
kruhu. Larousse vám v matematice nebude k ničemu.
Zbývá nám tedy přejít k Boyově ploše,
která je imerzí projektivní roviny
Předchozí stránka
Další
stránka
Zpět na obsah „Proměna
Cross Cap v Boyovu plochu“
Zpět k novinkám Zpět
k průvodci Zpět
na domovskou stránku
Počet návštěv od 25. října 2003: