Jak transformovat křížovou čepičku na Boyovu plochu (pravou nebo levou, dle volby) přes Steinerovu římskou plochu.
27. září 2003
strana 4
Model je pak představen z jiného úhlu:
Deska 14: Znovu se opakuje stejná operace vytvořením třetího „ucha" křivky vlastního protnutí. V polyedrické podobě má tato křivka formu tří čtverců se společným vrcholem: trojný bod T.
Deska 15: otáčením objektu naleznete polyedrickou verzi Boyovy plochy, kterou jsem vymyslel a představil v Topologikonu (kde je i návod na její sestavení).
Poslední deska: pokusil jsem se znázornit Steinerovu plochu (4. stupně, zatímco Boyova je šestého) při kroutivé přeměně v Boyovu plochu.
Je vidět, že v „oblé" podobě je k pochopení objektu zapotřebí pořádná zkušenost. Naše oko je velmi nesvé, má-li pochopit objekt, kde se na téže linii pohledu překrývají více než dvě vrstvy. Odtud užitek polyedrického provedení, které zpřístupňuje i laikům transformace považované v geometrii za sofistikované, pokud ovšem lidé vyvinou úsilí a modely si sami sestaví. Mimochodem, podle zvolené dvojice kuspidálních bodů se získá Boyova plocha „pravá", nebo „levá" (slova zcela libovolná). Projektivní rovina se vnořuje ve dvou „enantiomorfních", zrcadlových reprezentacích. Je vidět, že z pravé Boyovy plochy lze přejít k levé prostřednictvím „centrálního" modelu, jímž je Steinerova římská plocha.
Bylo by jistě sympatické, kdyby takové kresby vyšly v Pour la Science nebo La Recherche. Ale už dvacet let jsem v těchto časopisech „zakázán publikovat" kvůli ufologickému deviacionismu. Díky pánové Hervé This a Philippe Boulanger. Už ani nepočítám články tohoto druhu, které jsem do těch časopisů poslal a které mi byly zdvořile vráceny. Člověk si nakonec na status exkomunikovaného zvykne.
Pro zajímavost: ve Francii existuje „d'Alembertova cena" určená k odměňování autorů knih popularizujících matematiku. Historku mi vyprávěl člen komise pověřené určit, komu má cena připadnout (přece jen je v tom nějaká koruna). Dialog:
-
Ale no tak, nemohli bychom tu cenu dát Petitovi? Napsal pozoruhodná díla jako Géométricon, Černá díra a Topologikon.
-
Ano, ale neudělal jen ta alba.
-
Na co narážíte?
-
Napsal také Zeď mlčení.
-
Aha, za těchto okolností....
Ano, Zeď mlčení, vyšlá v roce 83, je album věnované MHD. A jak každý ví, tato sirná věda má tu ctnost, nebo spíš zlomyslnost, že umožňuje létajícím talířům pohybovat se nadzvukovou rychlostí bez třesku.
Skryjte tu vědu, vždyť ji nesmím vidět
Mám v šuplíku nádhernou verzi „obracení krychle" s překrásným centrálním modelem, která není polyedrickou verzí Morinovy varianty. Vše z mé hlavy. Jednoho dne.....
22. října 2003: Na těchto stránkách se lidé netlačí, soudě podle čísla na počítadle. V pondělí 13. října 2003 jsem na pozvání Trotmana měl seminář v CMI (Centre de mathématiques et d'informatique de Château-Gombert-Marseille). Při té příležitosti jsem mohl sestavit sbírku asi třiceti kartonových modelů, které vám jednoho dne předložím jako první, neboť je vyfotografoval Christophe Tardy.
Když má člověk seminář, vyvstane určitá atmosféra. Na následující fotografii geometr, který vyjadřuje své zmatení.
V pozadí část vystavených modelů. V jednu chvíli jsem položil otázku:
- Kdo už někdy viděl Steinerovu římskou plochu? Zvedněte ruku.
Nikdo ji nikdy neviděl. Proto jsem považoval za užitečné představit objekt ve virtuální realitě na notebooku, který jsem přinesl, objekt vytvořený za přispění Christophea Tardyho, inženýra, a Frédérica Descampa z Institutu Laue-Langevin v Grenoblu (ILL). Prezentace zjevně zaskočila publikum, málo zvyklé vídat matematické plochy vířit podle libosti.
Dva kartonové panely, viditelné v popředí, umožnily představit sled modelů v jejich logickém pořadí. Modely „zelený a žlutý" ilustrují v polyedrické podobě základní nástroj vytváření-rušení dvojice kuspidálních bodů. Nejvzdálenější bílý objekt je polyedrická verze křížové čepičky, která se nejprve mění v polyedrickou verzi Steinerovy římské plochy, o metr dál, a pak dle volby v Boyovu plochu „pravou", nebo „levou".
Analýza modelů vyvolala v publiku různé poznámky. Jeden z geometrů se ptá:
- Pokud lze sledováním modelů v tomto směru přejít od křížové čepičky k Boyově ploše, zdá se, že opačným postupem musí být možné přeměnit Boyovu plochu v křížovou čepičku.
Odpovídám kladně. Povzbuzen, můj partner dodává:
- Když se ve stadiu Steinerovy římské plochy zastavíme, je pak možné vydat se k zrcadlové Boyově ploše.
Souhlasím podruhé. Ale bohužel se nikdo nepřihlásí, aby objasnil tento podivný svět, kde se vnořením uzavřených ploch přidávají kuspidální body, vytvářené nebo rušené po párech, což vše tvoří jakési rozšíření světa vnoření. Slovo „submerse" mi připadá vhodné. Pokud nějaký čtenář najde objasnění, bude vítáno.
Křivost soustředěná v kuspidálním bodu
Vypočte se sečtením úhlů ve vrcholu a porovnáním tohoto součtu s eukleidovským součtem: 2 p.
Nahoře a vlevo je znázorněno jedno z mnoha polyedrických zobrazení kuspidálního bodu. „Rozložení" objektu (vpravo) vede k součtu převyšujícímu eukleidovský součet 2 p o hodnotu 2 a. Z toho se odvodí, že úhlová křivost soustředěná v okolí tohoto bodu C je - 2 a. Je-li úhel a roven p/2, pak záporná křivost činí c (obrázek dole a vlevo). Křivost soustředěná v kuspidálním bodu může ve skutečnosti nabývat nekonečně mnoha hodnot. Dole a vpravo se úhlový součet zvětšuje a křivost pak musí být < 2 a. Záporná křivost se zvětšuje.
Opačným postupem lze dospět k dosti překvapivé situaci: zařídit, aby křivost (úhlová) soustředěná v C byla ... nulová:
Nyní lze vyjít z polyedrického zobrazení křížové čepičky, kde jsou dva kuspidální body, každý odpovídající záporné křivosti rovné - p:
Je zde osm „posikoutů" odpovídajících hodnotě + p/2. Přidejme čtyři další „posikouty" křivosti + p/4 a čtyři „negakouty" křivosti - p/4
Plus dva kuspidální body křivosti - p.
Celkem: 2 p
Vydělením této celkové křivosti 2 p získáme Eulerovu-Poincarého charakteristiku všech zobrazení projektivní roviny (jako je Boyova plocha).
Během své přednášky jsem zmínil umění a způsob záměny obou kuspidálních bodů křížové čepičky pomocí obrácení sféry. Už nevím, zda jsem to někam na svůj web dal. Je to takový chaos. Budu muset hledat, jinak to někam dám. Je to dost zábavné. Každopádně tento výkon příliš nepotěšil jednoho z přítomných na semináři.
- Nevidím, proč Petit používá takovou výstroj k důkazu symetrie, která spojuje oba kuspidální body křížové čepičky. Je to mnohem jednodušší.
A nakreslil na tabuli obrázek sféry stlačené dvěma přiloženými pravítky, což skutečně dá množinu vlastního protnutí ve tvaru úsečky ohraničené dvěma kuspidálními body, jak je tomu u křížové čepičky. Bohužel, a náš muž si to uvědomil, to není křížová čepička.
- Kruci, ale co to tedy je? zeptal se kdosi.
Je to prostě sféra opatřená dvěma kuspidálními body. Když je necháme splynout, získáme linii vlastního protnutí, která se pak stane prostou kružnicí. A dole a vlevo (v řezu) získáme vnoření sféry, které už jen stačí převést v její vložení. Navíc lze přejít k polyedrickému zobrazení této plochy:
Je oboustranná a křivost je 2 p.
S těmito „submersemi" si tedy lze dost hrát. Vezměme vnoření toru, které spočívá v otáčení znaku „nekonečno" nebo „osmičky" kolem osy.
Technika splývání kuspidálních bodů nám umožní velmi rychle dospět ke standardnímu vložení toru, jak ukazuje sled obrázků.
Ale věci někdy nejsou tak snadné a samozřejmé. Vezmu například sféru, kterou stlačím mezi dva úsečky, tentokrát kratší než průměr. Opět získám dva kuspidální body.
Protože do ní lze vepsat Möbiovu pásku, je tato plocha jednostranná. Je znázorněno její polyedrické zobrazení, které umožňuje vypočítat její celkovou křivost. Ta vyjde nulová. Ne-li se mýlím, šlo by pak o Kleinovu láhev. Obecně je známo jen nejklasičtější vnoření, kde je linií vlastního protnutí prostá kružnice. Ale existují i jiná, jako toto. Přiznávám, že jsem ještě nenašel, jak výše uvedený objekt převést ve vnoření Kleinovy láhve. Ostatně nevím, zda různá vnoření spadají do téže homotopické grupy (sféra má jen jednu). A priori ne, jelikož torus lze vnořit čtyřmi různými způsoby, které nelze navzájem propojit regulární homotopií. Zatím jsem se bavil tím, že jsem tuto plochu přeměnil vytvořením dvou dalších kuspidálních bodů, čímž vzniknou dvě křížové čepičky spojené trubicí. Jejich rozložením získáme Eulerovu-Poincarého charakteristiku rovnou nule.
Tato „podivná plocha" by se měla moci přeměnit v některé z vnoření Kleinovy láhve. Ale v které? Každopádně zde jedno je, získané otáčením „osmičky" kolem osy a navíc jejím půlobratem:
Zpět na obsah „Transformace křížové čepičky v Boyovu plochu"
Zpět k novinkám Zpět
k průvodci Zpět
na úvodní stránku
Počet návštěv od 6. října 2003: