Centrální model obrácení kostky
- prosince 2001
Všichni jste viděli, jak na levé straně domovské stránky neúnavně rotuje podivný objekt. O co jde?
Jednoho dne, až budu mít čas, na stránce zveřejním popis obrácení sféry, tak jak jsem jej ilustroval v lednovém čísle roku 1979 časopisu Pour la science, tedy už ... 22 let zpátky. To samozřejmě vyžaduje spoustu podrobností a úvod. Co znamená obrátit sféru? Pro laika a pro matematika-geometra má sféra odlišný význam. Pro laika je sféra definována jako množina bodů v trojrozměrném prostoru, které jsou vzdáleny R od pevného bodu O. Geometra bude nadále nazývat „sférou“ objekt, který odpovídá „deformované sféře“, jakési „bramborě“. Abychom tyto pojmy pochopili přesněji, pořiďte si CD Lanturlu, který obsahuje komiksový „Topologikon“. Ale matematik jde ještě dále. Když je plocha nazývána „hladkou“, v každém jejím bodě lze definovat tečnou rovinu. To umožňuje uvažovat nekonečné deformace „původní sféry“ na nekonečné brambory, zejména pokud může být obsah dané plochy libovolný. Nicméně v „fyzickém vesmíru“ by osoba deformující tuto sféru narazila na nemožnost, aby se sféra sama protínala. Pokud jsou tyto průniky nebo dokonce kontakty zakázány, hovoříme o ponorení sféry S2. Ale matematik si dovoluje vše. Sféra je pro něj „virtuální“ objekt, kde průniky vrstev jsou možné. Následující obrázky ukazují sféru, která se „sama protla“. Tento obraz sféry se nazývá zanorení.
Zanorení má množinu samoprůniků (zde jednoduchá kruhová křivka). Tečná rovina musí plynule měnit. Nicméně, když se podíváme na výše uvedené obrázky, vidíme, že operace obrací část (zobrazenou zelenou barvou) vnitřku sféry na vnější stranu. Abychom dokončili takové obrácení, museli bychom stlačit jakousi rovníkovitou část. To se zdá být problematické. Toto stlačení by narušilo spojitost tečné roviny. Operace by tedy zahrnovala krok, který by nebyl zanorením.
Jednoho dne americký matematik Stephen Smale dokázal, že „sféra S2 má pouze jednu třídu zanorení“. Důsledek této tajuplné věty byl, že by mělo být možné sestavit sekvenci zanorení sféry, která umožní přejít od „standardní sféry“ k jejímu „antipodálnímu“ obrazu, tedy takovému, kde všechny body jsou nahrazeny jejich antipody. Zkrátka ... obrácená sféra, lícem na rub. Raoul Bott byl Smaleho mentor. Zatímco Smaleho čistě formální důkaz se zdal bezchybný, nikdo neviděl, jak realizovat operaci. Bott neustále Smalovi říkal: „Ukaž mi, jak bys postupoval“, na což Smale se svým známým šišláním odpovídal: „Nemám ani ponětí.“ Smale později získal Fieldsovu medaili, ekvivalent Nobelovy ceny, ale pro matematiku. Mimochodem, možná se ptáte, proč Nobel nikdy nechtěl vytvořit Nobelovu cenu za matematiku. Odpověď je jednoduchá: jeho žena utekla s matematikem.
Věci zůstaly v tomto stavu po mnoho let, až americký matematik jménem Anthony Phillips v roce 1967 v časopise Scientific American publikoval první verzi tohoto obrácení, příšerně komplikovanou. Druhá verze byla vymyšlena na začátku sedmdesátých let francouzským matematikem (slepým) Bernardem Morinem. Já jsem byl první, kdo nakreslil tuto sekvenci transformací, která bude, jak jsem již řekl, předmětem dalšího článku na stránce, poměrně obsáhlého. To nás vede k vedlejšímu závěru. Plochy mohou mít polyedrické reprezentace. Kostka nebo tetrahedron mohou být považovány za polyedrické reprezentace sféry, protože tyto objekty mají stejnou topologii. Na tento bod odkazuji na můj komiks Topologikon. Kromě toho pochopíme, že pokud je možné obrátit sféru, je možné obrátit i kostku. Transformace vymyšlená Bernardem Morinem (kterou jsem ilustroval v lednovém článku roku 1979 v Pour la Science) prochází centrálním modelem. V této sekvenci existuje symetrie. To se nazývá „centrální model se čtyřmi ušima“. Zde opět předjímám. Ale stejně jako sféra může mít polyedrické reprezentace, totéž platí pro postupné etapy těchto transformací. Objekt, který vidíte rotovat na mé domovské stránce, je tedy polyedrická verze centrálního modelu obrácení sféry, model, který jsem vymyslel asi před deseti lety. Výhodou těchto polyedrických modelů je, že je lze konstruovat z plochých ploch. Lze je dokonce uspořádat podle výkresů. Podívejte se na následující obrázek (děkuji mému příteli Christophe Tardymu, který vytvořil správně rozměrové prvky).
Toto je obrázek, který by na tiskárně vyšel v malém formátu, nepoužitelný.
Pro tisk tohoto obrázku na list A4
Je třeba z něj udělat čtyři kopie na silný papír A4, dva listy jedné barvy, dva listy jiné barvy.
Jedná se o výkres, jehož obecný pohled máte zde. Ale pro tisk je lepší přejít na stránku výkres. Vytiskněte ji. Poté, s výtiskem na běžném papíru vaší tiskárny, jděte k kopírovacímu stroji a udělejte čtyři identické kopie tohoto obrázku, dvě na dva listy zeleného bristolového papíru a dvě na žluté. Budete schopni, pomocí tohoto výkresu, zkonstruovat centrální model obrácení kostky.
Na těchto vyříznutých prvcích máte páry písmen: a, b, c, d, e, f atd.... Stačí provést přehyby tak, aby se shodná písmena dostala do souhlasu, a pak tyto stěny slepíte průhledným lepicím páskem. Následující obrázky ukazují, jak montovat jeden ze čtyř prvků. Zde je nejprve, jak začít přehýbání jednoho ze čtyř prvků:
Zde jsou dva z těchto čtyř prvků, viděné pod různými úhly.
Tyto se pak uspořádají do objektu s symetrií čtvrtého řádu nebo střídají zelené prvky a žluté prvky. Pro pohled v 3D se podívejte na realizace pana Tardyho, ve „virtuální realitě“. Centrální model plně montovaný je také produkován ve „vrml“ v této sekci. Zde je tento objekt, viděný pod různými úhly:
Nelze říct, že jeden pohled odpovídá „horní straně“ a druhý „dolní straně“, protože tyto názvy by byly zcela arbitrární. Na levém pohledu „centrální“ bod odpovídá „dvojitému bodu“ (kde se dvě vrstvy protínají) centrálního modelu Morina, zatímco centrální bod na pravé straně odpovídá „čtvornásobnému bodu“ tohoto modelu (kde se čtyři vrstvy protínají). Musel jsem objekt pečlivě orientovat, aby levý obrázek nepřipomínal hákový kříž. Jinak, z architektonického hlediska, tato polyedrická reprezentace centrálního modelu Morina by mohla být velmi dobrým projektem pro dům Národní socialistické kultury.
Poslední pohled:
Poslední poznámka: neexistuje dobrá polyedrická reprezentace obrácení sféry (alias obrácení kostky). Pod „dobrou“ je třeba rozumět sekvenci modelů dostatečně explicitních, které lze montovat jako výkresy relativně snadno, jako výše uvedený model. V tomto směru by bylo třeba provést výzkum, který je v dosahu kohokoli, případně nematematika, plastika, například. Před více než dvaceti lety jsem byl učitelem sochařství na École des Beaux-Arts v Aix-en-Provence, v době, kdy ji ještě řídil můj výborný přítel Jacques Boullier. V těchto prostorách se narodila první meridianská reprezentace Boyovy plochy pomocí elips, klíč k konstrukci první implicitní rovnice Apéryho. Musím říct, že v té době jsem byl vždy překvapen geometrickou imaginací studentů umění, která často převyšovala tu... geometrů.
Počítadlo inicializováno 31. prosince 2001. Počet připojení
: