Kvaterniony

Sféra S3 a kvaterniony

BK

Jestliže se sféra S3 podobá spíše kružnici S1 než sféře S2, je to proto, že obě odpovídají grupě jednotek nějakého číselného tělesa: tělesa komplexních čísel pro S1 a tělesa kvaternionů pro S3. To však u S2 nefunguje, protože R3 není číselné těleso.

Abychom těmto strukturám porozuměli, připomenu, jak se z R2 stane číselné těleso tím, že ho vnoříme do algebry čtvercových matic 2×2 s reálnými koeficienty. Poté uvidíme, že podobná konstrukce umožňuje opatřit R4 strukturou tělesa (tělesa kvaternionů) tím, že ho vnoříme do algebry čtvercových matic 2×2 s komplexními koeficienty.

1. Těleso komplexních čísel

Nechť M2(R) je prostor matic 2×2 s reálnými koeficienty. Je to prostor matic

ö ÷ ÷ ø | d |
|---|

kde a,b,c,d jsou reálná čísla. Umíme:

1. sčítat dvě matice z M2(R),

2. násobit matici z M2(R) reálným číslem,

3. násobit dvě matice z M2(R) mezi sebou.

Shrneme-li tyto tři vlastnosti, říkáme, že M2(R) je algebra. Má dimenzi 4, protože k jejímu popisu potřebujeme 4 parametry.

Ke každému vektoru (x,y) roviny R2 můžeme přiřadit čtvercovou matici s reálnými koeficienty

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

Všimneme si pak, že

1. součet 2 takových matic je opět stejného tvaru

(y

1

• y

2

)

ö ÷ ÷ ø ,| x | 1 | + x | 2 |
|---|---|---|---|

2. součin takové matice z s reálným číslem l je opět tohoto typu

| l | x |
|---|

| l | y |
|---|

| l | x |
|---|

| l | x |
|---|

ö ÷ ÷ ø ,| l | x |
|---|

| l | x |
|---|

3. maticový součin 2 takových matic také

x

1

x

2

y

1

y

2

y

1

x

2

• x

1

y

2

• (y 1 x 2 + x 1 y 2 )

x

1

x

2

y

1

y

2

x

1

x

2

y

1

y

2

ö ÷ ÷ ø .

x

1

x

2

y

1

y

2

Sestrojili jsme tedy podprostor M2(R), který označíme C, stabilní vůči sčítání, násobení skalárem a maticovému násobení. Říkáme, že C je podalgebra M2(R). Má dimenzi 2. Můžeme si všimnout důležité vlastnosti této algebry: je komutativní

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

Determinant matice z Î C se zapíše

ê ê ê ê = x2 + y2 ,| x |
|---|

proto je každá nenulová matice z v C invertibilní a její inverzní matice

--- ****

æ ç ç è

| - | y |
|---|

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

také patří do C. Říkáme, že C je těleso. Právě jsme znovu objevili těleso komplexních čísel.

Matice odpovídající vektoru (1,0) je jednotková matice ****

ö ÷ ÷ ø | 1 |
|---|

Matici odpovídající vektoru (0,1) označíme i ****

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Má pozoruhodnou vlastnost

i

2

=

1

i

2

=

1

S tímto označením vidíme, že každé komplexní číslo lze jednoznačně zapsat

kde x a y jsou reálná čísla.

Konjugát prvku z v C definujeme jako transpozici matice z

| - | y |
|---|

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

V tělese komplexních čísel jsou dva pozoruhodné podprostory. Na jedné straně jsou to násobky jednotkové matice 1, tj. množina matic tvaru

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

která je stabilní vůči sčítání a násobení. Je to reálný prostor, totožný s tělesem reálných čísel, a objevuje se jako podtěleso C. Je rovněž definován rovnicí

| z = | - | z |
|---|

Existuje také podprostor matic s nulovou stopou (stopa matice je součet jejích diagonálních prvků)

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Nazýváme ho imaginární prostor. Je stabilní vůči sčítání, ale nikoli vůči násobení. Všimneme si, že je to rovněž prostor 2×2 matic, které jsou antisymetrické.

S těmito definicemi se obvyklý skalární součin dvou vektorů z R2 snadno vypočítá. Je-li z1 matice odpovídající (x1,y1) a z2 matice odpovídající (x2,y2), pak --- ****

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

Norma vektoru (x,y) odpovídajícího z se zapíše

**** --- ****

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

Nazýváme ji také modulem nebo normou komplexu z a označujeme | z|. Platí samozřejmě | z1z2| = | z1|| z2|.

Podgrupa jednotek tělesa C, kterou označíme U(1), je množina prvků z v C, které splňují

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

Tato množina je stabilní vůči násobení. Prvek 1 patří do U(1). Každý prvek U(1) je invertibilní a jeho inverzní prvek je opět v U(1). Říkáme, že U(1) je grupa. Pozor, součet dvou prvků U(1) obecně v U(1) není. Předchozí konstrukce tedy ukázala kružnici S1 jako grupu, grupu jednotkových prvků C. Tečna ke kružnici S1 v bodě 1, kterou nazýváme Lieovou algebrou grupy U(1), je imaginární přímka definovaná

| Tr | (z) = 0 . |
|---|

2 Těleso kvaternionů

Definice.

Vezměme předchozí konstrukci a opatřeme R4 strukturou tělesa. Nechť M2(C) je prostor matic 2×2 s komplexními koeficienty. Ke každé dvojici komplexních čísel (a,b) můžeme přiřadit čtvercovou matici s komplexními koeficienty

| - | a |
|---|

ö ÷ ÷ ÷ ø | - | a |
|---|

| - | a |
|---|

Všimneme si pak, že:

1. součet 2 takových matic je opět stejného tvaru

(b

1

• b

2

)

a

1

a

2

a

1

a

2

ö ÷ ÷ ÷ ø ,

a

1

a

2

2. součin takové matice q s reálným číslem l je opět tohoto typu

| l | a |
|---|

| l | b |
|---|

| l | - | a |
|---|

ö ÷ ÷ ÷ ø ,| l | - | a |
|---|

| l | - | a |
|---|

3. maticový součin 2 takových matic také

a 1 a 2 - b 1 - b 2

a

1

b

2

• b

1

a

2

• a 1 - b 2 - - b 2 - a 1

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

ö ÷ ÷ ÷ ø .

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

Sestrojili jsme tedy podalgebru M2(C), kterou označíme K. Na rozdíl od C však tato algebra není komutativní. Například máme

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

zatímco

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Determinant matice q Î K se zapíše

| - | a |
|---|

ê ê ê ê ê = | a|2 + | b|2 ,| - | a |
|---|

| - | a |
|---|

proto je každá nenulová matice q v K invertibilní a její inverzní matice

--- ****

æ ç ç ç è

| - | a |
|---|

| - | b |
|---|

| - | b |
|---|

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

také patří do K. K nazýváme tělesem kvaternionů. Je to rovněž reálný vektorový prostor dimenze 4. Každý kvaternion q lze zapsat ve tvaru

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

kde

ö ÷ ÷ ø I = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø J = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø K = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

Snadno ověříme následující vztahy:

I2 = J2 = K2 = - 1,

IJ = - JI = K , ** JK** = - KJ = I , KI = - IK = J.

Obvyklý skalární součin dvou vektorů v R4 reprezentovaných kvaterniony

q

1

= t

1

1

• x

1

I

• y

1

J

• z

1

K

q 1 = t 1 1 + x 1 I + y 1 J + z 1 K

a

q

2

= t

2

1

• x

2

I

• y

2

J

• z

2

K

q 2 = t 2 1 + x 2 I + y 2 J + z 2 K

se zapíše

--- ****

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

Norma vektoru (t,x,y,z) reprezentovaného q se zapíše

**** --- ****

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

Nazýváme ji také modulem nebo normou kvaternionu q a označujeme | q|. Platí samozřejmě | q1q2| = | q1|| q2|.

Reálné a imaginární kvaterniony.

Konjugát prvku q v K definujeme jako transpozici matice konjugované k q

| - | a |
|---|

| - | b |
|---|

| - | b |
|---|

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

Kvaternion q se nazývá reálný, je-li tvaru

ö ÷ ÷ ø | t |
|---|

kde t je reálné číslo. To umožňuje ztotožnit R s podtělesem K. Podprostor reálných kvaternionů je definován rovnicí

| q = | - | q |
|---|

Rovněž definujeme prostor imaginárních kvaternionů H rovnicí

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

Je to prostor dimenze 3, generovaný I,J,K. Je rovněž definován jako prostor matic M z M2(C), antihermitovských

M = t`M = - M*

(M* je transpozice matice komplexně sdružených prvků) s nulovou stopou

| Tr | (M) =0 |
|---|

Poznámka 1: * V případě tělesa C jsme zjistili, že imaginární prostor byl tvořen reálnými 2×2 antisymetrickými maticemi. Ale stopa antisymetrické matice *

tM = - M * je nutně nulová, což u antihermitovské matice *

M = t`M = - M .*

*Grupa jednotek. * * *

Podgrupa jednotek tělesa K, kterou označíme SU(2), je množina prvků q v K, které splňují

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Je to množina bodů náležejících sféře S3, která se tak objevuje opatřena strukturou grupy, grupou SU(2). Tečný prostor (dimenze 3) ke sféře S3, který nazýváme Lieovou algebrou grupy SU(2), je imaginární prostor definovaný

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

Lze ověřit, že Lieova závorka dvou prvků H, X a Y

| [X,Y] = XY | - | YX |
|---|

patří opět do H.

Tečný prostor ke sféře S3 v libovolném bodě q získáme vynásobením prvků imaginárního prostoru H zleva q

T

q

S

3

= q H.

T

q

S

3

= q H.

Každá geodetika sféry S3 vycházející z bodu 1 ve směru X (kde X patří do H a | X| = 1) je definována

| q(s) = exp(sX) = cos(s) | 1 | + sin(s) X |
|---|

Zpět na domovskou stránku

Počet návštěv od 14. května 2004 :