Matematická fyzika a geometrie

Fyzika a geometrie

2. listopadu 2004

Matematická fyzika, jejímž jedním z předchůdců byl matematik Jean-Marie Souriau, prochází geometrií. Po celou dobu této cesty se veličiny, které patří k fyzice – jako energie, hmotnost, hybnost, spin, elektrický náboj – stávají veličinami čistě geometrické povahy díky jednomu nástroji – teorii grup. Co je třeba k tomu, aby se v tomto světě, nebo v tomto způsobu vnímání světa, ponořil? Velmi málo: umět pracovat s maticemi. Pokud jsou to pro vás neznámé objekty, učiňte si úsilí a seznáme se s nimi – hodí se to. Pokud jste to kdysi viděli, očistěte své znalosti – mohou vás vést velmi daleko a odpovědět na otázky jako:

• Jaká je skutečná povaha spinu částic?

• Co je antimaterie?

Pro stažení souboru PDF „Fyzika a geometrie“

Koadjungovaná akce grupy Poincaré na jejím prostoru hybnosti

Upozornění: pouze pro čtenáře silně „vědecky orientované“. Toto není populární věda

24. října 2004

Fyzika měla vždy velký vztah k geometrii. Matematik Jean-Marie Souriau je jedním z zakladatelů matematické fyziky. Ta prochází geometrizací fyziky, která je velmi elegantní. Vše je založeno na grupách s reálnými koeficienty, jako je Lorentzova grupa a Poincarého grupa, které jsou zde znázorněny maticemi s reálnými koeficienty. V následujícím textu vše začíná jedinou maticí G, která je spojena s metrikou Minkowského prostoru, což je prostor speciální relativitě. Pomocí této matice definujeme první grupu L, znázorněnou maticemi typu (4,4). Tato grupa působí na časoprostoru, který se skládá z bodů událostí. Z těchto matic a „čtyřrozměrného vektoru posunutí časoprostoru“ C vytváříme druhou grupu znázorněnou maticemi (5,5), která také působí na časoprostor. V tomto časoprostoru budeme uvažovat „pohyby“. Pojem trajektorie je chudý. Pohyb částice musí být spojen s veličinami jako její energie E, její hybnost p. Pro teoretického fyzika by částice, která je „hmotným bodem“, měla mít i spin. Ale co je takový objekt? Může se hmotný bod „otočit kolem své osy“?

Souriau geometricky zavedl tyto veličiny vycházející pouze z grup. Všechno to, musím přiznat, je docela náročné. Grupa „působí“. Začíná tedy konceptem akce. Grupa působí na pohyby v tom smyslu, že prvek Poincarého grupy transformuje jeden pohyb na jiný pohyb, který se nachází v prostoru pohybů, časoprostoru. Grupa „přenáší“. Například Eukleidova grupa obsahuje translace a rotace v trojrozměrném prostoru. Umožňuje přenášet body nebo množiny bodů. Tento koncept je poměrně intuitivní. Když jde o časoprostor, „přenášíme“ „pohyby“. Zvažme dva identické popelníky umístěné na dvou různých místech trojrozměrného prostoru. Vždy existuje prvek Eukleidovy grupy, který umožní přesunutí prvního popelníku na druhý pomocí translace a rotace. Díky grupě, pokud známe popis popelníku někde v prostoru, můžeme „vytvořit všechny možné popelníky“ ve všech místech prostoru a ve všech možných orientacích.

V časoprostoru je objektem „pohyb“. Pohyby zpracovávané Poincarého grupou odpovídají pohybům „relativistického hmotného bodu“. Stejně jako dříve, díky grupě, pokud známe jeden takový pohyb, známe všechny. Částice je však zvláštní pohyb hmotného bodu. Tento způsob pohledu na věci lze shrnout výrazem:

Řekni mi, jak se pohybuješ, a já ti řeknu, kdo jsi.

Souriau ukázal, že prostor pohybů musí být spojen s druhým prostorem, který nazval „prostor hybností“. „Hybností“ rozumí parametry přidružené konkrétní částici. Když je tato částice „ pozorována“ určitým způsobem, tj. popsána v vhodné soustavě souřadnic, odhalí se tři veličiny:

E, p, s

Energie E, hybnost p a ten záhadný objekt, který je spin s. Tyto objekty se pak projevují jako čistě geometrické veličiny prostřednictvím koadjungované akce grupy na jejím prostoru hybností.

V současné astrofyzice se teoretici zaměřují na objekt, který nazývají „tmavá energie“, jediný nový kosmologický prvek, který jim připadá vhodný k vysvětlení jevu kosmické reakcelerace spojeného s odpudivými silami. Tato „tmavá energie“ je ... záporná. Uvidíme, že přístup představený zde také vede k existenci hmotných bodů s negativní energií jako jednoduché důsledku vlastností Poincarého grupy, která je schopna generovat pohyby tohoto typu. Než se k tomu dostaneme, bylo by vhodné, aby vědecký čtenář tento dokument přečetl a prošel si jím. Technicky počítání vyžaduje pouze schopnost pracovat s maticemi. Před 15 lety to bylo úrovně maturitního školního vzdělání, ale zdá se, že matice už nejsou v tomto ročníku vyučovány. Škoda, je to zásadní nástroj, ale tato zrušení pravděpodobně odpovídá „modernizaci osnov“.

Pro stažení dokumentu ve formátu PDF

Částice s negativní energií

25. října 2004

V současné astrofyzice se teoretici zaměřují na to, co nazývají „tmavá energie“, zápornou, příčinou kosmické reakcelerace, jak ji vyplývá z pozorování vzdálených supernov.

Teorie dynamických grup fyziky (Poincarého grupa) umožňuje objasnit tento složitý problém. Znovu jde pouze o prvky, které jsou přístupné pouze vědcům nebo čtenářům silně „vědecky orientovaným“.

Stáhněte si tento dokument ve formátu PDF

Elektrický náboj: geometrický objekt

9. listopadu 2004

Použitím vynálezu matematika Jean-Marie Souriau – koadjungované akce grupy na jejím prostoru hybností – jsme připomněli, jakým způsobem vytvořil energii, hybnost a spin jako objekty čistě geometrické. Nyní budeme pokračovat způsobem, kterým její vznik představil pro elektrický náboj, také jako čistě geometrický objekt. Přidává k čtyřrozměrnému časoprostoru pátou dimenzi. Tento pětirozměrný systém je pak řízen novou dynamickou grupou o jedenácti dimenzích, nerozkladnou rozšířením Poincarého grupy. Zvýšení počtu dimenzí grupy souvisí s růstem počtu složek hybnosti, přičemž tato jedenáctá dimenze je identifikována s elektrickým nábojem q.

Stáhněte si tento dokument ve formátu PDF

Zpět k Průvodci Zpět na úvodní stránku

Počet návštěv této stránky od 24. října 2004: