Zde jsme obrázek vyčistili, aby byl o něco čitelnější. Surf

Tento obrázek jsme si zde „ulehčili“, aby byl o něco čitelnější. Plocha je dvourozměrný objekt, zde „ponořený“ do jinak eukleidovského trojrozměrného prostoru v R3. Můžeme na ni „dívát“ shora. Stává se, že tato plocha je do prostoru R3 ponořitelná „izometrickým způsobem“. To znamená, že pokud na ni nalepíme kousek pásky, efektivně se vepíše do geodetiky spojující dva body A a B na ploše. Délka měřená podél oblouku geodetiky je také správná. Je izometrická, etymologicky „stejné délky“. Níže je uvedeno dvourozměrné zobrazení, které není izometrické ... délka oblouku A'B' se nerovná délce oblouku AB. Sestrojte následující objekt s pomocí listu papíru, tužky a nůžek:

Tento výkres není izometrický. Za prvé, zobrazená křivka není geodetikou roviny. Za druhé, šířka oblouku AB není „skutečnou délkou“, kterou by bylo možné změřit na „skutečné ploše“, která „nemá díru“. List papíru s dírou je jen užitečné znázornění, nic víc. Totéž platí pro techniku kreslení na jednu stranu listu a pak na druhou, kde se celá křivka objeví pouze v průhledu.

V následujícím obrázku jsme znázornili geodetiky plochy, vypočítané počítačem (které se objevují v článku).

Tečkované čáry křivek odpovídají větvím na „druhé straně“ (jako bychom se dívali na plochu „shora“).

Nyní otázka: Můžeme sestrojit ploché a izometrické znázornění těchto geodetik? Odpověď zní ano. Viděli jsme, že můžeme proměnnou r změnit na proměnnou r. Geodetiky tedy mohou být znázorněny v rovině „polárních souřadnic“ (r, j). Geodetiky (zde neradiální geodetika) vypadají následovně:

Toto je izometrické znázornění. To znamená tři body A, B a C patřící k ploše, ležící na stejné geodetice. A', B' a C' jsou homologické body v tomto znázornění [r, j]. Body A a B leží na stejné hemivrstvě a oblouk geodetiky, který je spojuje, neprotíná kružnici hrdla. Měřeno v této rovině, podél obrazu geodetiky (která zjevně není geodetikou této roviny), je délka oblouku A'B' rovna délce oblouku AB, měřené na ploše.

Oblouk BC protíná sféru hrdla. Totéž.

Ale tato izometrie neplatí pro všechny geodetiky plochy. Existuje jedna, ve svém druhu unikátní: kružnice hrdla, zde redukovaná na bod. Je to jediná plocha, která se uzavírá sama do sebe.

Geodetiky jsou jediné věci, které máme k pochopení plochy nebo obecněji neplanárního, neeukleidovského prostoru. Jsou užitečnými ukazateli (i když máme zkreslený pohled v našich dvourozměrných a trojrozměrných systémech znázornění (v perspektivě)). Víme, že tyto geodetiky existují, že jsou vnitřní. Geodetiky koule, například, jsou hlavní kružnice. V případě časoprostoru jsou naplněny nekonečným množstvím časoprostorových geodetik. Geodetiky existují vnitřně a abychom jim rozuměli (etymologicky: držet, obejmout), snažíme se je „cítit“ jako slepci. Nicméně souřadnicové čáry prostoru a času nemají žádnou vnitřní realitu, ani nejsou dvě množiny poledníků a rovnoběžek nedílnou součástí koule. Nejsou „dodány uvnitř“. Schwarzschildova geometrie, řešení Einsteinovy polní rovnice, je čtyřrozměrnou nadplochou. Teoretici na ni nalepili celé rodiny křivek, „konstantní t“, „konstantní r“ atd.

Nikdy nezapomínejte, že tyto kroky jsou zcela libovolné, i když specialisté v teoretické kosmologii často ztrácejí tento bod ze zřetele a občas musí být geometrickými matematiky uvedeni do pořádku. Bylo tedy zcela legitimní měnit souřadnice časoprostoru.

V tuto chvíli si řeknete: tak co nám říká, že jedna volba souřadnic je lepší než druhá? Co je rozumné a co nerozumné? Je to otázka vkusu. Volba souřadnic časoprostoru znamená vložit fyzikální vizi do matematického objektu. V případě Země jsme jí dali póly, když rotuje. Severní pól je jednoduše normála plochy „Země“, která směřuje k Polárce, hvězdě, která zůstává na obloze pevná.

V otázce izometrie a neizometrie kartografie ilustruje obtíže při pokusu znázornit kouli v rovině. Mercatorovo zobrazení (zobrazení zemské koule na válec tečný k rovníku) je velmi pěkné pro ty, kteří žijí blízko rovníku. Nicméně někdo, kdo žije na jednom z pólů, zažije nepříjemné překvapení: jeho bodová doména se změní na přímku...

Existují stovky způsobů, jak promítnout kouli do roviny. Představme si toto:

Představme si, že z tohoto modelu tvoříme mapy a prodáváme je. Okamžitý úspěch mezi těmi, kteří žijí na obou pólech: zobrazení jsou v těchto oblastech kvaziizometrická. Užitečné pro získání představy o vzdálenostech v těchto oblastech. Kdyby byla Země obyvatelná na pólech a relativně nehostinná jinde, mapy by byly nepochybně tvořeny takto. Nicméně bychom viděli, že hraniční kružnice zobrazení do roviny již neodpovídá rovníku, ale rovnoběžce (zde na severní polokouli). V blízkosti této oblasti bude mapa daleko od izometrie. Kromě toho, na této podivné mapě by část pevniny měla být znázorněna normální, plnou čarou a část přerušovanou, tečkovanou čarou, protože se nachází za rovnoběžkou, kde se objekt, podivně, zdá se „překlápí sám do sebe“. Možná bychom mohli dodávat mapy na papírovém disku se zbytkem pevniny objevujícím se na druhé straně listu.

Zkusme si „všechno to představit v 3D“. Ukázali jsme Lanturlua, jak strká levou paži do sféry hrdla prostřednictvím dvou samostatných kreseb, což by mohlo naznačovat, že druhý 3D prostor je „někde jinde“. Aby to bylo správné, měly by být dvě perspektivní kresby superponovány s vystupující (pravou) rukou znázorněnou tečkovanou čarou.

Zkusil jsem to, i když to nebylo snadné. Mohl jsem použít dvě různé barvy, červenou pro části na první 3D straně našeho nejednoduše souvislého 3D prostoru a zelenou pro druhou. Červený Lanturlu by pak viděl červenou „levou“ ruku, kterou strčil do sféry, vycházet jako zelenou „pravou“ ruku.

Zjevně „uvnitř“ sféry hrdla nic není. Vzhled interiéru, objemového obsahu, je způsoben pouze naší volbou tohoto 3D zobrazovacího prostoru. Stejně tak v díře vyříznuté v listu papíru není žádný papír. Byla to jen náhoda spojená s volbou tohoto rovinného zobrazovacího prostoru. Pokud by někdo trval na použití rovinného znázornění bez odstranění disku vyříznutého z papíru a opakovaně se ptal „co je uvnitř“, byl by zcela „mimo obor“ (nebo spíše ... v něm). Obor neexistuje.

Vraťme se k 3D. Když Lanturlu strká ruku do sféry hrdla, ani ta nemá interiér. Vzhled interiéru je způsoben pouze naší volbou zobrazovacího prostoru. Mohli bychom považovat, že Lanturlu a jeho vystupující ruka jsou nakresleny na listu papíru, který má tři rozměry a ze kterého jsme odstranili ... kouli (3D ekvivalent disku listu papíru). Matematicky je disk „b2 koule“ a „objem koule“ je „b3 koule“. Pod „koulí“ rozumíme kontraktilní buňku (viz Topologicon na „CD-Lanturlu“), tedy objekt, který se může stáhnout vzhledem k bodu tím, že se překládá sám přes sebe. Dvourozměrné a trojrozměrné příklady jsou tam, aby ilustrovaly bojový plán článku: Schwarzschildova sféra nemá „interiér“, nemá „střed“. Když ji překročíme (hypertorický průchod), ocitneme se na „druhé straně časoprostoru“.

Jaké je ospravedlnění pro tuto novou interpretaci „Schwarzschildovy geometrie“?

Odpověď: eliminace singularit. Kruskal se svým „analytickým prodloužením“ udělal vše možné, aby pronikl touto „prokletou sférou“. Podařilo se mu pouze nacpat singularitu (roli, kterou původně hrála Schwarzschildova sféra) do bodu umístěného „ve středu tohoto objektu“. Lidé se s tímto trikem spokojili. Nicméně si myslíme, že je lepší bez singularity.

Příroda protestuje, když se na ni díváme ze špatné strany, tím, že vylučuje singularity. Takto věci vidíme. Je to předsudečný pohled na to, co je „reálné“. Věříme, že tyto singularity v přírodě neexistují. Také si myslíme, že nekonečno neexistuje. Ale jak řekl Kipling, to je jiný příběh. Před rokem jsem měl s Souriauem oživené diskuse na toto téma.

Co dokazuje, že nekonečno existuje? ....
Ale bez nekonečna není matematika! ....
Setkali jste se kdy s nekonečnem? Viděli jste ho, drželi ho v ruce?
Je to .... zjednodušení.
Generujeme nekonečně velká čísla předpokladem, že můžeme k číslu neomezeně přičítat 1. Používáme sekvenční nekonečno k vygenerování numerického nekonečna. Žere svůj vlastní ocas, vaše věc.
Dobře, řekněme, že je to zjednodušení. Člověk během své historie vymyslel dvě důležité věci: nekonečno a záchody ...

Ani nevěřím, že existuje nekonečně malé, ať už fyzicky nebo matematicky. Ale to bude předmětem jiných prací. Nechme tyto otázky zatím stranou. Jednoduchá odbočka.

Mimochodem, viz „Scale Invariant Cosmology“ od P. Midyho a J.P. Petit, International Journal of Modern Physics D, červen 1999, strany 271-280, kde jsme „počáteční singularitu vesmíru“ nechali zmizet. Je to matematicky propracovanější přeformulování myšlenky, kterou jsem publikoval v letech 88-89 v Modern Physics Letters A (články na webu).

Jak řekl Archimédés, věřím, u vchodu do svatyně vědy, „sem nevstupuje nikdo, kdo není geometrem“. Tyto tenzory a podobné věci, obor, který Midy miluje, jsou stejně stravitelné jako anglický puding.

Můžeme tedy vidět, prostřednictvím této diskuse, že naše fyzikální vize těchto jevů pochází ze způsobu, jakým se rozhodujeme je znázornit. Úpravou prostorových souřadnic jsme změnili „lokální topologii“, termín, který podle Souriaua vyžaduje matematické upřesnění. Ve skutečnosti je tato fráze jemným eufemismem: prostě začal zuřit, když jsem to řekl, a já s jeho kočkou Pioum jsme měli největší potíže ho uklidnit. Souriau je profesor Tintinova matematika. Je ochotným praktikem vysokého matematického rozhořčení. Nicméně toto rozhořčení by nemělo být zaměňováno se vztekem v triviálním smyslu slova. Spíše, že hraji Molièrova „Monsieur Jourdain“, je v této oblasti. Fyzikové často používají matematiku, aniž by o tom věděli (a naopak, ve skutečnosti).

Při připuštění, prozatím, použití „nespecifikovaných“ slov, vše probíhá tak, jako bychom uvažovali pouze o tom, že „lokální topologie“ Schwarzschildovy geometrie byla „hypersférická“ (že Schwarzschildova sféra „obsahuje“ „B3 kouli“). Učinili jsme ji „hypertorickou“. Proto jsem navrhl termín „hypertorické geometrie“.

Dříve jsme zmínili inverzi prostoru. Je vyjednáván s grupami. Můžeme to pochopit jinak? Viděli jsme, že Lanturlu strčil levou ruku do sféry hrdla a uviděl vycházet pravou ruku. Ve skutečnosti každý atom jeho ruky sledoval „radiální“ geodetiku, kolmou k ploše.

Nezapomínejme mimochodem zmínit, že tento systém znázornění není izometrický. Jako u papíru s dírou. Pokud bychom změřili vzdálenost uraženou ve dvou polorozích testovacím atomem patřícím Lanturluově ruce (Archibald Higgin v anglických vydáních), neshodovala by se se skutečnou vzdáleností změřenou kouskem šňůry.

Vraťme se k dříve zobrazenému obrázku.

Zde jsme znázornili oblouk geodetiky AB, který protíná kružnici hrdla, a jeho obraz v rovinném zobrazovacím prostoru níže. Neizometrický charakter znázornění je ještě zřejmější. Délky oblouků AB a A'B' jsou velmi odlišné.

Je zjevně docela obtížné si představit, že můžeme provléknout šňůru do sféry hrdla hypertorického průchodu. Při utažení šňůry bychom získali geodetiku (čára nejkratší cesty). Ostatně, pokud bychom změřili délku šňůry v 3D zobrazovacím prostoru (Lanturlu strkající ruku) a rozhodli se změřit délku šňůry v tomto prostoru, našli bychom kratší délku A'B'. Skutečná délka, měřená v 3D nadploše, by byla delší, jak je znázorněno na 2D kresbě. 3D znázornění s Lanturluem je tedy neizometrické, stejně jako rovinné znázornění výše.

S pomocí několika kreseb se tyto jemné koncepty, vyvinuté z teorie grup, stávají méně hermetickými, pokud „vidíte do prostoru“. To je to, co se vás snažím naučit dělat, vidět do 3D zakřiveného prostoru.

Vraťme se k otázce enantiomorfie, inverzi objektů, když procházejí dvourozměrnou nebo trojrozměrnou strukturou hrdla. Představme si radiální geodetiky v 2D. Slovo se stalo nesprávným, protože v principu je poloměr přímka vycházející z bodu. Ve skutečnosti jde o geodetiky konstantního j. Viz předchozí kresba, která ukazovala tuto azimutální souřadnici. Nicméně, pro větší stručnost, budeme i nadále používat slovo „radiální“ v uvozovkách. Nicméně, slovo „radiální“ je již výsledkem volby zobrazovacího prostoru. Představte si, že písmeno R (které není identické se svým zrcadlovým obrazem, svou enantiomorfní podobou) klouže jako špatně přilepená samolepka podél našeho torického průchodu, přičemž každý jeho bod se pohybuje podle geodetiky. Písmeno se ocitne „na druhé straně“. Je zajímavé sledovat výsledek operace na rovinné projekci v zobrazovacím prostoru.

Znázornili jsme jakýsi pás, jehož okraje tvoří dvě geodetiky. Co si všimneme? V zobrazovacím prostoru je písmeno R invertováno, aby se stalo ruským „ia“, obráceným R, enantiomorfním. Začínáme chápat, proč se Lanturluova ruka zdá být invertovaná, když vystupuje v „3D zobrazovacím prostoru“, stává se enantiomorfní.