Zde jsme trochu „odtukovali“ obrázek, aby byl čitelnější. Plocha je dvourozměrný objekt, zde „ponořený“ do třírozměrného eukleidovského prostoru, jinak řečeno do R3. Nahoře ji můžeme „vidět“. Ukazuje se, že tato plocha je v tomto prostoru R3 „izometricky“ vnořená. To znamená, že když na ni přilepíme pásek lepidla, bude tento pásek skutečně ležet na geodetice spojující dva body A a B plochy. Navíc je délka naměřená podél této geodetiky také správná. Je to izometrie, etymologicky „stejná délka“. Dole je dvourozměrný prostor reprezentace, který není izometrický. Délka oblouku A'B' se nerovná délce oblouku AB. Vytvořte následující objekt pomocí listu papíru, tužky a nůžek:
Tento obrázek není izometrický. První důvod: uvedená křivka zřejmě není geodetikou roviny. Druhý důvod: délka oblouku AB není „skutečná délka“, jakou bychom naměřili na „skutečné ploše“, která „není děravá“. Tento děravý list papíru je jen přehledná reprezentace, nic víc. Stejně jako technika kreslení jedné části na přední stranu a druhé na zadní stranu listu, celá křivka se objevuje pouze přes světlo.
Na následujícím obrázku jsou znázorněny geodetiky této plochy, vypočtené počítačem (uvádí se v článku).
Části křivek označené čárkami odpovídají větvím, které jsou „na druhé straně“ (jako bychom plochu pozorovali „shora“).
Nyní otázka: Můžu vytvořit rovinnou a izometrickou reprezentaci těchto geodetik? Odpověď zní ano. Už jsme viděli, že můžeme proměnit proměnnou r na proměnnou r. Pak mohou být geodetiky plně znázorněny v rovině „polárních souřadnic“ (r, φ). Geodetiky (zde jedna ne-radialní) mají následující tvar:
Tato reprezentace je izometrická. Nechť tři body A, B, C leží na ploše a jsou na stejné geodetice. A', B' a C' jsou příslušné body v této reprezentaci [r, φ]. Body A a B leží na stejné poloploše a geodetický oblouk mezi nimi nepřekračuje hrdlový kruh. Naměřená délka oblouku A'B' v této rovině podél obrazu této geodetiky (která samozřejmě není geodetikou této roviny) je stejná jako délka oblouku AB naměřená na ploše.
Oblouk BC překračuje hrdlový kruh. Stejně tak.
Avšak tato izometrie se nevztahuje ke všem geodetikám této plochy. Existuje jedna, jedinečná: hrdlový kruh, zde zmenšený na bod. Je to jediná geodetika této plochy, která se uzavírá sama na sebe.
Geodetiky jsou naším jediným způsobem pochopení plochy nebo obecněji nevýrovného prostoru. Jsou spolehlivými referenčními body (i když je naše vnímání vychýlené přes naše dvourozměrné nebo trojrozměrné reprezentace – v perspektivě). Tyto geodetiky víme, že „existují“, že jsou vnitřními vlastnostmi. Například geodetiky koule jsou velké kružnice. Pokud jde o časoprostor, je plný nekonečného počtu časoprostorových geodetik. Tyto geodetiky existují vnitřně a abychom je „pochopili“ (etymologicky: obejmout, sevřít do náručí), hledáme jako slepí „dotýkáním“ po těchto geodetikách. Avšak souřadnicové čáry času a prostoru nemají žádnou vnitřní realitu, stejně jako množiny poledníků a rovnoběžek nejsou součástí koule. Nejsou „součástí dodávky“. Schwarzschildova geometrie, řešení Einsteinovy rovnice pole, je čtyřrozměrná hypervrchol. Na ni teoretici přiložili rodiny křivek „pro konstantní t“, „pro konstantní r“ atd.
Zapamatujte si, že tyto volby jsou zcela libovolné. I když většina teoretických kosmologů často ztrácí přehled o tomto bodě, který jim musí občas připomenout matematik – geometr. Bylo tedy naprosto legitimní změnit souřadnice prostoru a času.
V této chvíli byste mohli říct: „Ale jak poznám, že je jeden výběr souřadnic lepší než jiný? Kde je rozumné a kde nerozumné?“ Je to otázka vkusu. Volba souřadnic prostoru a času znamená přiložit fyzikální pohled na matematický objekt. U Země jsme jí dali póly, protože se otáčí. Severní pól je jednoduše bod na povrchu „Země“, jehož normála ukazuje k Polárce, hvězdě, která zůstává pevně v záři hvězdné oblohy.
Pokud jde o izometrii a neizometrii, kartografie ilustruje problémy vyplývající z pokusů znázornit kouli na rovinu. Mercatorova projekce (projekce zemské koule na válec tečný podél rovníku) je velmi příjemná pro lidi žijící blízko rovníku. Naopak obyvatel jednoho pólu má nepříjemnou překvapení: jeho území, bodové, se promění v přímku...
Existuje třicet šest tisíc způsobů, jak projekci koule na rovinu. Představme si tuto:
Představme si, že bychom vytvořili geografické mapy podle tohoto modelu a prodávali je. Okamžitý úspěch mezi obyvateli obou pólů: tyto projekce jsou v těchto oblastech téměř izometrické. Velmi praktické pro představu o vzdálenostech v těchto koutech. Kdyby Země byla obývatelná na pólech a relativně nepříhodná jinde, mapy by pravděpodobně byly vytvořeny právě takto. Všimneme si, že tehdy kruh hranice rovinné projekce již neodpovídá rovníku, ale určité rovnoběžce (zde ležící v severní polokouli). V okolí této oblasti bude mapa velmi daleko od izometrie. Navíc na této zvláštní mapě bude část území zakreslena plnou čarou a druhá čárkovaně, protože se nachází za touto rovnoběžkou, kde objekt divně vypadá „zakřivený“. Kromě toho bychom museli poskytnout mapy ve tvaru kruhu, kde by pokračování terénu bylo na druhé straně, na zádech listu.
Zkuste si „to všechno představit trojrozměrně“. Představili jsme Lanturlua, jak poněkud vkládá levou ruku do hrdlové koule, a oddělili jsme dva obrázky, což naznačuje, že tento druhý trojrozměrný prostor může být „jinam“. Aby bylo přesněji, měli bychom překrýt oba obrázky v perspektivě a znázornit ruku (pravou), která vyčnívá „čárkovaně“.
Zkusil jsem to, i když to nebylo zrovna snadné. Místo toho bychom mohli použít dvě různé barvy, například červenou pro to, co je v prvním „straně“ trojrozměrného prostoru, který není jednoduše souvislý, a zelenou pro to, co je ve druhé straně. Červený Lanturlu by tedy viděl vyklouzat červenou levou ruku, kterou vložil do hrdlové koule, jako zelenou pravou ruku.
Škoda, že Raymond Devos se nezajímá o matematiku. Ačkoli...
Samozřejmě „uvnitř“ hrdlové koule nic není. Tento vzhled vnitřku, objemového obsahu, je způsoben pouze volbou tohoto trojrozměrného prostoru reprezentace. Stejně jako uvnitř díry v listu papíru tam nebyl žádný papír. Bylo to jen náhoda spojená s volbou rovinného prostoru reprezentace. Někdo, kdo by se zoufale snažil používat tuto rovinnou reprezentaci bez odstranění vyříznutého kruhu z papíru a stále by se ptal „co je tam uvnitř?“, by byl „mimo téma“ (nebo spíš… uvnitř). Tato deska „neexistuje“.
Přejděme zpět do trojrozměrného prostoru. Když Lanturlu vkládá ruku do hrdlové koule, ta také nemá vnitřek. Tento vzhled vnitřku je způsoben pouze volbou prostoru reprezentace. Můžeme si představit, že Lanturlu a jeho vyčnívající ruka byly nakresleny na trojrozměrném papíru, kde byl odstraněn… koule (třírozměrný ekvivalent kruhu v papíru). Matematicky je kruh „koule b2“ a „objemová koule“ „koule b3“. „Kouli“ nazýváme kontrahovatelnou buňku (viz Topologicon v „CD-Lanturlu“), tedy objekt, který může směrem k bodu se stáhnout samým procházením. Tyto dva příklady 2D a 3D slouží k ilustraci přístupu použitého v článku: Schwarzschildova koule nemá „vnitřek“ ani „střed“. Když ji překročíme (přechod hypertorický), ocitneme se na „druhé straně časoprostoru“.
Jaká je odůvodnění této nové interpretace „Schwarzschildovy geometrie“?
Odpověď: odstranění singulárností. Kruskal, s jeho „analytickým prodloužením“, se snažil vstoupit do téhle zatracené koule každou cestou. Dokázal jen „zabalit“ singulárnost (původně hrála roli Schwarzschildovy koule) do bodu nacházejícího se „uprostřed tohoto objektu“. Omezili jsme se na tento trik. Ale my si myslíme, že bez singulárnosti je to lépe.
Příroda protestuje, když ji pozorujeme pod špatným úhlem, a vylučuje singulárnosti. Takto vidíme věci. Je to předpoklad o „skutečnosti“. Myslíme si, že singulárnosti ve skutečnosti neexistují. Myslíme také, že nekonečno neexistuje. Ale jak by řekl Kipling, to je jiná příběh. Před rokem jsem měl s Souriau rozhořčené diskuze o této otázce.
– Co mi dokazuje, že nekonečno existuje?
– Ale bez nekonečna už neexistují matematika!
– Nekonečno jsi už potkal? Viděl jsi ho? Držel jsi ho v ruce?
– Je to… pohodlnost.
– Vytváříme nekonečně velká čísla předpokladem, že můžeme k číslu přidávat 1 nekonečněkrát. Takže používáme sekvenci nekonečna k vytvoření číselného nekonečna. To je kruhový argument, tvůj trik.
– Dobře, řekněme, že je to pohodlnost. Člověk vynalezl dvě důležité věci během své historie: nekonečno a záchody...
Nevěřím také, že nekonečně malé existuje fyzicky ani matematicky. To bude předmětem jiných článků. Nechme prozatím tyto otázky stranou. Jen poznámka.
Zajímavost: viz „Scale Invariant Cosmology“ od P. Midy a J.P. Petit, International Journal of Modern Physics D, červen 1999, strany 271–280, kde jsme vymazali „počáteční singularitu vesmíru“. Jedná se o přesnější matematickou formulaci myšlenky, kterou jsem publikoval v letech 88–89 v Modern Physics Letters A (články jsou na webu).
Doufám, že když tyto řádky přečtete, měli jsme čas – s pomocí pánů Lecot nebo Boland – přidat tento nový článek na web. Ale v každém případě, i kdyby se práce tam objevila, neváhejte ji procházet. Jak jsem si myslím, Archimedes napsal na vstup do svatyně-vědy: „Žádný nepřijde sem, kdo není geometr“. Je to tenzory a společenství, oblast, ve které se Midy těší, ale je to také nechutné jako anglický zákusek.
Z tohoto výkladu je patrné, že naše fyzikální pochopení jevů vychází z toho, jak jsme se rozhodli je reprezentovat. Změnou prostorových souřadnic jsme změnili „lokální topologii“, což je slovo, které by podle Souriau mělo být matematicky upřesněno. Ve skutečnosti je tato věta jemný euphemismus: když jsem toto slovo vyslovil, začal křičet. Můj pes Pioum a já jsme měli velké potíže ho uklidnit. Souriau je jako Tournesol matematiky. Často se znechucuje matematicky až do extrému. Avšak tyto výbuchy nejsou zaměnitelné s hněvem ve běžném smyslu. Jsem spíše „pan Jourdain“ v tomto oboru. Fyzici často dělají matematiku, aniž by to věděli (a naopak).
Předpokládejme dočasně použití „neupřesněných“ slov. Všechno se zdá, jako bychom dosud považovali „lokální topologii“ Schwarzschildovy geometrie za „hypersférickou“ (že Schwarzschildova koule „obsahuje“ „kouli b3“). Učinili jsme ji „hypertorickou“. Proto jsem navrhl název (nekontrolovaný) „hypertorické geometrie“.
Výše byla zmíněna inverze prostoru. To se řeší pomocí grup. Můžeme to pochopit jinak? Uviděli jsme, že Lanturlu, když vkládá levou ruku do hrdlové koule, vidí vyjít… pravou ruku. Ve skutečnosti každý atom jeho ruky následoval geodetiku „radiální“, směřující kolmo na povrch.
Poznamenejme mezi tím, že jsme zapomněli říct, že tento způsob reprezentace není izometrický. Stejně jako u případu děravého papíru předtím. Kdybychom měřili délku, kterou atom-ukazatel z ruky Lanturlua urazil v obou poloprostorech, neodpovídalo by to skutečné délce, kterou lze spočítat provázáním.
Vraťme se k obrázku uvedenému výše.
Zde jsme znázornili geodetický oblouk AB překračující hrdlový kruh a jeho obraz v rovinném prostoru reprezentace dole. Neizometrický charakter reprezentace je tím jasnější. Délky oblouků AB a A'B' jsou velmi odlišné.
Je zřejmé, že je velmi obtížné si představit, že bychom mohli vložit provázek do hrdlové koule hypertorického průchodu. Napnutím provázku bychom získali geodetiku (nejkratší cestu). V každém případě, kdybychom změřili délku tohoto provázku v trojrozměrném prostoru reprezentace (Lanturlu vkládající ruku) a pokusili se změřit délku tohoto provázku v tomto prostoru, zjistili bychom kratší délku A'B'. Skutečná délka naměřená na hypervrcholové 3D ploše by byla delší, jak je znázorněno výše v 2D. Trojrozměrná reprezentace s Lanturluem je tedy neizometrická, stejně jako rovinná reprezentace na obrázku výše.
Na závěr: tyto jemné koncepty, vyplývající z teorie grup, nakonec přestávají být tak neprůhledné díky několika kresbám, za podmínky, že „vidíte ve trojrozměrném prostoru“. To, co se snažím vám naučit, je vidět ve zkřiveném trojrozměrném prostoru.
Vraťme se k tématu enantiomorfie, inverze objektů při překročení hrdlové struktury ve 2D nebo 3D. Představme si v 2D „radiální“ geodetiky. Slovo je nyní nepřesné, protože paprsek je obvykle přímka vycházející z bodu. Jde ve skutečnosti o geodetiky s konstantním úhlem φ. Viz obrázek výše, kde byla označena azimutální souřadnice. Pro stručnost budeme i nadále používat slovo „radiální“ v uvozovkách. Všimněte si, že toto slovo „radiální“ je opět důsledkem volby prostoru reprezentace. Představme si, že písmeno R (které není shodné se svým zrcadlovým obrazem, s jeho enantiomorfním obrazem) se posune jako šablonová nálepka po našem torickém průchodu, přičemž každý jeho bod se pohybuje podél geodetiky. Toto písmeno se ocitne „na druhé straně“. Zajímavé je sledovat výsledek operace v rovinné projekci, v prostoru reprezentace.
Znázornili jsme něco jako pásek, jehož okraje tvoří dvě geodetiky. Co pozorujeme? V prostoru reprezentace se písmeno R obrátilo, stalo se ruským „ia“, zrcadlovým obrazem R, enantiomorfním. Nyní začínáme pochopit, proč ruka Lanturlua, když vyjde do „prostoru reprezentace 3D“, vypadá, že se obrátila, stala se enantiomorfní.