Zde jsme „odtučili“ obrázek, aby byl čitelnější. Plocha je 2D objekt, zde „ponořený“ do 3D euklidovského prostoru, tedy do R³. Nad ní ji můžeme „vidět“. Tato plocha je do tohoto prostoru R³ ponořitelná „izometricky“. To znamená, že pokud na ni nalepíme kus lepicí pásky, ta se skutečně zapíše na geodetiku spojující dva body A a B na ploše. Délka měřená podél tohoto geodetického oblouku je také správná. Je to izometrické, etymologicky „stejná délka“. Dole je 2D zobrazovací prostor, který poskytuje nezobrazující (neizometrické) zobrazení. Délka oblouku A'B' není rovna délce oblouku AB. Vyrobte následující objekt pomocí listu papíru, tužky a nůžek:
Tento obrázek není izometrický. Za prvé, vyznačená křivka není zjevně geodetikou roviny. Za druhé, délka oblouku AB není „skutečná délka“, ta, kterou bychom změřili na „skutečné ploše“, která „není děravá“. Tento děravý papír je pouze pohodlné zobrazení, nic více. Stejně tak technika, kdy se na lícní straně papíru nakreslí jeden oblouk a na rubné straně druhý, přičemž celá křivka se objeví pouze v průsvitu.
Na následujícím obrázku jsou znázorněny geodetiky této plochy, vypočítané počítačem (který je zmíněn v článku).
Přerušované části křivek odpovídají větvím, které jsou „na druhé straně“ (jako bychom se na plochu dívali „shora“).
Nyní otázka: Mohu sestrojit rovinné a izometrické zobrazení těchto geodetik? Odpověď je ano. Viděli jsme, že jsme mohli změnit proměnnou r na proměnnou r. Geodetiky mohou být tedy dokonale znázorněny v rovině „polárních souřadnic“ (r, j). Geodetiky (zde ne-radialní geodetika) mají následující tvar:
Toto zobrazení je izometrické. Nechť A, B, C jsou tři body na ploše, ležící na téže geodetice. A', B' a C' jsou homologické body v tomto zobrazení [r, j]. Body A a B leží na téže polovině pláště a geodetický oblouk je spojující neprochází hrdlovým kruhem. Měřeno v této rovině podél obrazu této geodetiky (která zjevně není geodetikou této roviny), je délka oblouku A'B' rovna délce oblouku AB, měřené na ploše.
Oblouk BC prochází hrdlovou sférou. Totéž.
Ale tato izometrie neplatí pro všechny geodetiky plochy. Existuje jedna, jedinečná: hrdlový kruh, zde redukován na bod. To je jediná geodetika této plochy, která se sama na sebe uzavírá.
Geodetiky jsou náš jediný způsob, jak pochopit plochu nebo obecněji neplanární, neeuklidovský prostor. Jsou spolehlivými orientačními body (i když je vidíme zkresleně prostřednictvím našich 2D nebo 3D (perspektivních) zobrazovacích systémů). Tyto geodetiky víme, že „existují“, že jsou intrinsické. Na sféře jsou například velké kružnice. V prostoročasu jsou tyto naplněny nekonečným množstvím prostoročasových geodetik. Tyto geodetiky existují intrinsicky a pro jejich pochopení (etymologicky: obemknout, vzít do náručí) se snažíme, jako slepci, „ohmatat“ tyto geodetiky. Ale souřadnicové linie času a prostoru nemají žádnou intrinsickou realitu, stejně jako soubory poledníků a rovnoběžek nejsou nedílnou součástí sféry. Nejsou „dodávány s ní“. Schwarzschildova geometrie, řešení Einsteinovy rovnice pole, je 4D nadplocha. Na ní teoretici aplikovali rodiny křivek „konstantní t“, „konstantní r“ atd.
Vytěte si do hlavy, že tyto kroky zůstávají zcela arbitrární. Ale i specialisté na teoretickou kosmologii často ztrácí vědomí tohoto faktu, který jim musí občas připomínat matematici-geometři. Bylo tedy zcela legitimní měnit prostorové a časové souřadnice.
V této fázi mi řeknete: ale co umožňuje říci, zda je tento výběr souřadnic lepší než jiný? Kde se nachází rozumné a nerozumné? Je to otázka vkusu. Vybrat prostorové a časové souřadnice znamená aplikovat fyzikální pohled na matematický objekt. V případě Země jsme jí dali póly, protože rotuje. Severní pól je jednoduše bod na „Zemské“ ploše, jehož normála směřuje k Polárce, hvězdě, která zůstává fixní na hvězdné obloze.
Co se týče izometrie a neizometrie, kartografie ilustruje problémy plynoucí z pokusů zobrazit sféru na rovině. Mercatorova projekce (projekce zemské sféry na válec dotýkající se podél rovníku) je velmi příjemná pro lidi žijící blízko rovníku. Naopak obyvatel jednoho z pólů má nepříjemné překvapení: jeho bodová doména se transformuje na přímku...
Existuje třicet šest tisíc způsobů, jak promítnout sféru na rovinu. Představme si tento:
Představme si, že vyrábíme geografické mapy podle tohoto modelu a prodáváme je. Okamžitý úspěch u obyvatel obou pólů: tato zobrazení jsou v těchto oblastech kvazi-izometrická. Velmi pohodlné pro představu o vzdálenostech v těchto koutech. Kdyby byla Země obyvatelná na svých pólech a relativně nehostinná jinde, mapy by pravděpodobně byly vytvořeny tímto způsobem. Poznamenejme, že pak hraniční kruh rovinné projekce neodpovídá rovníku, ale rovnoběžce (zde náležející severní polokouli). V blízkosti této oblasti bude mapa velmi vzdálená od izometrie. Navíc na této bizarní mapě musí být část území znázorněna plnou čarou a druhá tečkovanou, protože se nachází za touto rovnoběžkou, kde objekt bizarně „se skládá“. Pokud neposkytneme mapy ve tvaru disků, kde pokračování terénu by bylo na druhé straně, na rubu listu.
Zkusme „myslet na to vše v 3D“. Zobrazili jsme Lanturlu, jak ponořuje levou paži do hrdlové sféry, a oddělili jsme dva obrázky, což zdánlivě evokuje, že tento druhý 3D prostor může být „jinde“. Aby bylo správnější, bylo by třeba superponovat dva obrázky v perspektivě, znázornit ruku (pravou), která „emerguje“ „tečkovaně“.
Zkusil jsem to, i když to nebylo extrémně snadné. Mohli bychom také použít dvě různé barvy, například červenou pro to, co by bylo v prvním svahu našeho nejednoduše souvislého 3D prostoru, a zelenou pro to, co je v druhém svahu. Červený Lanturlu by pak viděl, jak mu vystupuje červená levá ruka, kterou ponořil do hrdlové sféry, ve formě zelené „pravé“ ruky.
Škoda, že Raymond Devos se nezajímá o matematiku. Ačkoli...
Zjevně „v“ hrdlové sféře nic není. Tento vzhled vnitřku, objemového obsahu, je způsoben pouze volbou tohoto 3D zobrazovacího prostoru. Stejně jako uvnitř díry vyříznuté v papíru nebyl žádný papír. To byla pouze nehoda spojená s volbou tohoto rovinného zobrazovacího prostoru. Někdo, kdo by se snažil používat toto rovinné zobrazení bez odstranění vyříznutého disku z papíru a kdo by trval na otázce „co je uvnitř?“, by byl „mimo“ (nebo spíše... uvnitř). Tento „disk“ „neexistuje“.
Vraťme se k 3D. Když Lanturlu ponoří paži do hrdlové sféry, ta také nemá vnitřek. Tento vzhled vnitřku je způsoben pouze volbou zobrazovacího prostoru. Mohli bychom považovat, že Lanturlu a jeho emergující ruka byli nakresleni na papírovém listu majícím tři rozměry, kde by byla odstraněna... sféra (3D ekvivalent disku papírového listu). Matematicky je disk „koule b2“ a „objemová sféra“ je „koule b3“. „Koule“ nazýváme kontraktibilní buňku (viz Topologicon, v „CD-Lanturlu“), tedy objekt, který se může smrštit do bodu procházením sám sebe. Tyto příklady 2D a 3D jsou zde pro ilustraci postupu použitého v článku: Schwarzschildova sféra nemá „vnitřek“, ani „centrum“. Když ji překročíme (hypertorický průchod), ocitneme se v „druhém svahu prostoročasu“.
Jaké je zdůvodnění této nové interpretace „Schwarzschildovy geometrie“?
Odpověď: eliminace singularit. Kruskal, se svým „analytickým prodloužením“, dělal vše možné, aby za každou cenu pronikl „do“ té zatracené sféry. Podařilo se mu pouze stlačit singularitu (roli původně zastávanou Schwarzschildovou sférou) do bodu situovaného „v centru tohoto objektu“. Spokojili jsme se s tímto trikem. Ale my si myslíme, že bez singularity je to přesto lepší.
Příroda protestuje, když ji sledujeme ze špatného úhlu, vylučováním singularit. Tak vidíme věci. Je to a priori pohled na „reálné“. Domníváme se, že singularity v přírodě neexistují. Také si myslíme, že nekonečno neexistuje. Ale, jak by řekl Kipling, to je jiná historie. Měl jsem s Souriauem vzrušené diskuse o této otázce před rokem.
-
Co mi dokazuje, že nekonečno existuje? ....
-
Ale, bez nekonečna, už není matematika! ....
-
Nekonečno, už jsi ho potkal? Už jsi ho viděl, držel v ruce?
-
To je .... pomůcka.
-
Generujeme nekonečně velká čísla předpokládáním, že můžeme přičíst 1 k číslu, neurčitě. Tedy používáme sekvenční nekonečno k generování numerického nekonečna. To si kousá do ocasu, tvůj trik.
-
Dobře, řekněme, že je to pomůcka. Člověk během své historie vynalezl dvě důležité věci: nekonečno a záchody....
Nevěřím ani, že nekonečně malé existuje, fyzicky ani matematicky. Ale to bude předmětem jiných textů. Nechme zatím stranou tyto otázky. Jednoduchá odbočka.
Mimochodem, viz „Scale Invariant Cosmology“ od P. Midyho a J.P. Petit, International Journal of Modern Physics D, červen 1999, strany 271-280, kde jsme nechali zmizet „počáteční singularitu vesmíru“. Je to matematicky propracovanější reformulace myšlenky, kterou jsem publikoval v 88-89 v Modern Physics Letters A (texty na stránce).
Doufám, že když budete číst tyto řádky, budeme mít čas, s pomocí pánů Lecota nebo Bolanda, zahrnout tento nový článek na stránku. Ale tak jako tak, i kdyby se tato práce na ní nacházela, nepouštějte se do toho. Jak myslím Archimedes napsal vchodu do svatyně-vědy „nikdo sem nevstupuje, kdo není geometrem“. Je to tenzory a spol., obor, ve kterém se Midy vyžívá, ale je také neslavný jako anglický pudding.
Vidíme tedy, prostřednictvím tohoto diskursu, že fyzikální pohled, který máme na jevy, pramení ze způsobu, jak jsme se rozhodli je zobrazit. Změnou prostorových souřadnic jsme změnili „lokální topologii“, slovo, které by si zasloužilo matematické upřesnění, řekl Souriau. Ve skutečnosti je tato věta milý euphemismus: jednoduše začal řvát, když jsem vyslovil toto slovo. Jeho kočka Pioum a já jsme měli všechny potíže na světě ho uklidnit. Souriau je Tournesol matematiky. Rád praktikuje matematické rozhořčení dovedené na vrchol. Ale tyto záchvaty rozhořčení nejsou zaměnitelné s hněvem v triviálním smyslu slova. Spíše bych byl „Pan Jourdain“ v tomto oboru. Fyzici často dělají matematiku, aniž o tom vědí (a naopak).
Přijetím, prozatím, použití slov „neupřesněných“, vše probíhá, jako by jsme až dosud považovali „lokální topologii“ Schwarzschildovy geometrie za „hypersférickou“ (že Schwarzschildova sféra „obsahuje“ „kouli b3“). Učinili jsme ji „hypertorickou“. To je důvod, proč jsem navrhl (nekontrolované) označení „hypertorické geometrie“.
Výše jsme zmínili inverzi prostoru. To se jedná s grupami. Lze to pochopit jinak? Viděli jsme, že Lanturlu, ponořující levou paži do hrdlové sféry, viděl vystupovat ... pravou ruku. Ve skutečnosti každý atom jeho ruky sledoval „radialní“ geodetiku, kolmou na plochu.
Poznamenejme mimochodem, zapomněli jsme to říct, že tento způsob zobrazení není izometrický. Jako u triku s děravým papírem, dříve. Pokud bychom měřili délku projitou atomem-těsnem náležejícím Lanturluho ruce ve dvou polovkách prostoru, toto by nekoincidoválo se skutečnou délkou, kterou lze vypočítat nití.
Vezmeme obrázek daný výše.
Zde jsme znázornili geodetický oblouk AB procházející hrdlovým kruhem a jeho obraz v rovinném zobrazovacím prostoru, dole. Charakter neizometrického zobrazení se pak objevuje ještě jasněji. Délky oblouků AB a A'B' jsou velmi odlišné.
Je zjevně dost obtížné si představit, že lze navléknout nit do hrdlové sféry hypertorického průchodu. Napnutím niti bychom mimochodem získali geodetiku (linii nejkratší cesty). Mimoto, pokud bychom měřili délku této niti v 3D zobrazovacím prostoru (Lanturlu navlékající paži) a odvážili se měřit délku zmíněné niti v tomto prostoru, našli bychom kratší délku A'B'. Skutečná délka, měřená na 3D nadploše, by byla delší, jak znázorněno výše v 2D. 3D zobrazení, kde je Lanturlu, je tedy neizometrické, jako rovinné zobrazení na obrázku výše.
V podstatě, tyto tak subtilní koncepty, pramenící z teorie grup, nakonec přestávají být tak hermetické, díky několika obrázkům, za podmínky „vidět v prostoru“. To, co se snažím vás naučit, je vidět v zakřiveném 3D prostoru.
Vraťme se k té záležitosti enantiomorfie, inverze objektů, když procházejí strukturou hrdla, v 2D nebo 3D. Uvažujme v 2D „radialní“ geodetiky. Slovo se stalo nepřesným, protože poloměr je v principu přímka vycházející z bodu. Jedná se ve skutečnosti o geodetiky s konstantním j. Viz obrázek výše, kde tato azimutální souřadnice byla naznačena. Ale pro větší stručnost budeme nadále používat slovo „radialní“ v uvozovkách. Poznamenejme, že slovo „radialní“ je opět důsledkem volby zobrazovacího prostoru. Představte si, že písmeno R (které není totožné se svým zrcadlovým obrazem, se svým enantiomorfním obrazem) klouže, jako špatně nalepená kalkománie, podél našeho torického průchodu, každý jeho bod putuje podle geodetiky. Toto písmeno se ocitne „na druhé straně“. Zajímavé je sledovat výsledek operace v rovinné projekci, v zobrazovacím prostoru.
Znázornili jsme jakýsi pásek, jehož okraje jsou tvořeny dvěma geodetikami. Co konstatujeme? V zobrazovacím prostoru se písmeno R obrátilo, stalo se ruským „ia“, obráceným R, enantiomorfním. Začínáme rozumět, proč se Lanturluho ruka, vystupující v „našem 3D zobrazovacím prostoru“, zdá být obrácená, stala se enantiomorfní.