Sporní černá díra a dvojník vesmíru

Cosmology Questionable black hole.

Jean-Pierre Petit Observatoire de Marseille, France Pierre Midy CRI Orsay, France For correspondance :

Abstract

Starting from the so called black hole model, considered as a physical interpretation of Schwarzschild geometry, we reconsider the problem of the fate of a neutron star when it overcomes its limit of stability. We first present a new geometric tool : hypertoric geometry, through 2d and 3d examples (section 2). We show that pathlogies associated to metrics, arising from their line element expressed in a given coordinate system can be cured through a more suitable choice phrased in terms of "local topology". For example we show that in the two given examples, the 2d surface and 3d hypersurface, whose isometry groups are O2 ans O3, are not simply connected.

We extend the method to Schwarzschild geometry. We show that singular features can be fully eliminated, considering not simply connected space time hypersurface. We give the Schwarzschild geometry a different physical significance : a bridge linking two universes, ours and a twin universe.

We show that the "freeze of time", keystone of the black hole model, is a simple consequence of an arbitrary peculiar time marker choice. Using another one, inspired by Eddington's work (1924) we derive a completely different scenario, implying a radial frame dragging (similar to the azimutal frame dragging of the Kerr metric). We show that the Schwarzschild solution can be interpreted as a "space bridge", linking two universes, two space-times, working as a one way bridge. We show that the transit time of a test particle is finite and short, which immediately makes the classical black hole model questionable.

Extending the isometry group of the Schwarzschild metric we show that the two universes are enantiomorphic (P-symmetric) and own opposite time markers (t* = - t). Using a groups' tool : the coadjoint action of a group on its momentum space, we give the physical significance of this "time inversion", through the spherical throat surface, the Schwarzschild sphere : when a positive mass particle passes through the space bridge, its contribution to the gravitational field is inversed : m* = -m (as shown by J.M.Souriau in 1974, the inversion of the time marker is equivalent to mass and energy inversions).

As the question of the fate of a destabilized neutron star becomes a still open problem, we present a project of an alternative model : the hyperspatial transfer of a part of its matter, through a space bridge, this matter flowing towards the twin universe at relativistic velocity.

By the way we recall some well-known defects of the Kruskall model, particularly the fact that it is not symptotically Lorentzian at infinite.

We suggest to consider Schwarzschild geometry as an hypersurface imbeded in a ten dimensional space. Linking the present work to former ones, based on group theory, we build a CPT symmetric model. The matter antimatter duality holds in both folds When matter is transfered towards twin Unverse, it undergoes a CPT-symmetry and its mass (its contribution to the gravitional field) is reversed. But its is still matter. Similarly, antimatter flowing in space bridge remains antimatter, with opposite mass, for the inversion of the time marker, as shown by Souriau, implies the inversion of the mass.

1. The black hole model.

Neutron stars cannot exceed a critical mass, close to 2.5 solar masses. For higher masses, their material cannot stand any longer the huge internal pressure due to gravitational force. Then gravitational collapse occurs. For a long time, theoreticians tried to describe the fate of such an object. Looking at the Schwarzschild metric, hereafter expressed in terms of

coordinates, where Rs is the so called Schwarzschild radius (1)

people imagined that this solution of the Einstein's equation :

(2) S = 0

with zero second member could solve the problem. In effect, if t is chosen as " the cosmic time of an "external observer", the free fall time of a test-particle, following a "radial geodesic", from any distant point from the Schwarzschild sphere r = Rs is found to be infinite, while this free fall time Ds, expressed in proper time remains finite. Then the "physical description" is the following :

• The object (a neutron star which overcomes its limit of stability) undergoes a gravitational collapse. Its mass falls rapidly towards "the geometric center of the system", described as a "central singularity". This phenomenon extends over a finite duration Ds, in terms of proper time s.

• But, for an "external observer", located at some distance from the object, this process looks to be "frozen in time". Furthermore the Schwarzschild sphere is an infinite redshift surface (due to the nullity of the gtt term of the metric at r = Rs).

This is the model of a spherically symmetric black hole.

r is identified to a "radial distance", which means that one can think about "what's inside the Schwarzschild sphere". Roughly speaking, it means that one assumes that the "local topology" is "spherical" : Inside the Schwarschild sphere, a "smaller sphere is supposed to be located", an so on, up to the "geometrical center" of the object.

Later the model was extended to axially symmetric geometry (Kerr metric). But this extension brings no fundamental conceptual change. That's for we are going to concentrate in the following on spherically symmetric system (we think that this study could be later extended to the Kerr metric).

It is a little bit strange that such very dense object can be decribed through a solution of equations (2), which a priori refers to an empty portion of the Universe where there is no matter-energy.

If one keeps the

description (a peculiar choice of coordinates), many difficulties arise. For example, when r tends to Rs the grr term tends to infinite.

The signature of the metric, expressed with this peculiar choice of coordinates is : ( + - - - ) for r > Rs ( - + - - ) for r < Rs

When a test particle penetrates inside the Schwarzschild's sphere its mass becomes imaginary and the its velocity larger that the light velocity : it becomes a tachyon.

Considering the change of signature, some people said :

• No problem : Inside the Schwarzschild's sphere r just becomes the time an

Remarquons que cette représentation des géodésiques dans un plan

n’est pas isométrique. Si l’on mesure la longueur dans ce plan, elle ne correspond pas à la longueur telle qu’elle est mesurée sur la surface.

Si l’on impose que la longueur $ dS $ soit réelle, on constate qu’elle détermine ce que l’on pourrait appeler la topologie locale. Appelons une telle structure géométrique un pont toroïdal. On peut également dire que cette surface possède une topologie toroïdale locale. Elle possède un seul pli, qui peut être considéré comme l’union de deux demi-plis bornés, les deux étant collés le long de leurs bordures circulaires, le long du cercle du col, dont le périmètre est $ 2R_s $. Ces cercles ne sont pas des lignes géodésiques (à l’exception de ce géodésique particulier qu’est le cercle du col, le seul fermé). Sur chaque demi-pli, lorsque la distance par rapport au « pont toroïdal » tend vers l’infini, la métrique tend vers la métrique euclidienne (2). Sur la figure 2, correspondant à une représentation en ([r, \theta]), les portions supérieures des géodésiques traversant le cercle du col ont été représentées par des lignes continues, tandis que les portions correspondant à l’autre demi-pli ont été représentées par des lignes pointillées. Remarquons qu’un demi-pli correspond à ((\theta \in [0, \pi])), d’où l’autre correspond à ((\theta \in [\pi, 2\pi])). Le cercle du col correspond à (\theta = 0). Résumé Page suivante

Cosmology Questionable black hole.

Jean-Pierre Petit Observatoire de Marseille, France Pierre Midy CRI Orsay, France Pro komunikaci:

Abstrakt

Vycházejme z tzv. modelu černé díry, který je považován za fyzikální interpretaci Schwarzschildovy geometrie, a přezkoumejme osud neutronové hvězdy, která překročí svůj stabilní limit. Nejprve představíme nový geometrický nástroj: hypertoroidní geometrii, na příkladech v 2D a 3D (oddíl 2). Ukážeme, že patologie spojené s metrikami, které vznikají z jejich elementu vyjádřeného v určitém souřadnicovém systému, lze odstranit vhodnějším výběrem formulovaným v termínech „lokální topologie“. Například ukážeme, že v uvedených dvou případech – 2D ploše a 3D nadploše, jejichž grupy izometrií jsou O2 a O3 – nejsou jednoduše souvislé.

Metodu rozšíříme na Schwarzschildovu geometrii. Ukážeme, že singulární vlastnosti lze úplně odstranit, pokud budeme uvažovat nejednoduše souvislou nadplochu časoprostoru. Schwarzschildově geometrii přidáme jiný fyzikální význam: most spojující dvě vesmíry, náš a dvojníkový vesmír.

Ukážeme, že „zamrznutí času“, klíčový prvek modelu černé díry, je jednoduchým důsledkem libovolného zvláštního výběru časového markeru. Použijeme-li jiný, inspirovaný prací Eddingtona (1924), odvodíme úplně jiný scénář, který předpokládá radiální závěs (podobně jako azimutální závěs Kerrův metrika). Ukážeme, že Schwarzschildovo řešení lze interpretovat jako „most prostoru“, spojující dva vesmíry, dva časoprostory, fungující jako jednosměrný most. Ukážeme, že přechod testové částice je konečný a krátký, což okamžitě zpochybňuje klasický model černé díry.

Rozšířením grupy izometrie Schwarzschildovy metriky ukážeme, že oba vesmíry jsou enantiomorfní (P-symetrické) a mají opačné časové markery (t* = - t). Pomocí nástroje grup: koadjointní akce grupy na jejím prostoru hybnosti, vysvětlíme fyzikální význam tohoto „inverzního času“ přes sférickou krkavou plochu, Schwarzschildovu sféru: když kladná hmotnostní částice prochází mostem prostoru, její příspěvek k gravitačnímu poli se invertuje: m* = -m (jak ukázal J.M. Souriau v roce 1974, inverze časového markeru je ekvivalentní inverzi hmotnosti a energie).

Protože osud destabilizované neutronové hvězdy zůstává otevřeným problémem, představíme projekt alternativního modelu: hypervazebný přenos části její hmoty přes most prostoru, tato hmota proudí směrem k dvojníkovému vesmíru rychlostí blížící se rychlosti světla.

Zároveň si připomeneme některé dobře známé nedostatky Kruskalova modelu, zejména skutečnost, že není asymptoticky Lorentzovský v nekonečnu.

Navrhujeme považovat Schwarzschildovu geometrii za nadplochu vnořenou do desetirozměrného prostoru. Propojíme tuto práci s dřívějšími pracemi založenými na teorii grup a sestrojíme CPT-symetrický model. Duality hmoty a antihmoty platí v obou skládání. Když se hmota přesouvá směrem k dvojníkovému vesmíru, podstupuje CPT-symetrii a její hmotnost (její příspěvek k gravitačnímu poli) se obrátí. Ale stále jde o hmotu. Podobně antihmota proudící mostem zůstává antihmotou s opačnou hmotností, protože inverze časového markeru, jak ukázal Souriau, implikuje inverzi hmotnosti.

1. Model černé díry.

Neutronové hvězdy nemohou překročit kritickou hmotnost blízkou 2,5 slunečních hmot. Pro větší hmotnosti jejich materiál již nemůže vydržet obrovský vnitřní tlak způsobený gravitační silou. Následuje gravitační kolaps. Po dlouhou dobu se teoretici snažili popsat osud takového objektu. Při pohledu na Schwarzschildovu metriku, zde vyjádřenou v souřadnicích

kde Rs je tzv. Schwarzschildův poloměr (1)

lidé si představovali, že toto řešení Einsteinových rovnic:

(2) S = 0

s nulovým druhým členem může vyřešit problém. Ve skutečnosti, pokud je t zvoleno jako „kosmický čas vnějšího pozorovatele“, doba volného pádu testové částice po „radiální geodetice“ z libovolné vzdálené bodu od Schwarzschildovy sféry r = Rs se ukazuje jako nekonečná, zatímco tato doba volného pádu Ds vyjádřená v vlastním čase zůstává konečná. „Fyzikální popis“ je tedy následující:

• Objekt (neutronová hvězda překračující svůj stabilní limit) prochází gravitačním kolapsem. Její hmota rychle padá směrem k „geometrickému středu systému“, popsanému jako „centrální singulárnost“. Tento jev trvá konečnou dobu Ds ve vlastním čase s.

• Ale pro „vnějšího pozorovatele“, umístěného ve vzdálenosti od objektu, se tento proces zdá být „zamrznutý v čase“. Navíc Schwarzschildova sféra je plocha s nekonečným rudým posuvem (z důvodu nulovosti členu gtt metriky při r = Rs).

Toto je model kulově symetrické černé díry.

r je identifikováno jako „radiální vzdálenost“, což znamená, že lze přemýšlet o „tom, co je uvnitř Schwarzschildovy sféry“. Zhruba řečeno znamená to, že se předpokládá, že „lokální topologie“ je „kulová“: Uvnitř Schwarzschildovy sféry se předpokládá umístění „menší sféry“, a tak dále až k „geometrickému středu“ objektu.

Později byl model rozšířen na osově symetrickou geometrii (Kerrův metrika). Ale toto rozšíření nepřináší žádnou zásadní konceptuální změnu. Proto se v následujícím budeme zaměřovat na kulově symetrický systém (myslíme si, že tento výzkum lze později rozšířit i na Kerrův metrika).

Je trochu zvláštní, že takto husté objekty lze popsat řešením rovnic (2), které a priori odkazují na prázdnou část vesmíru bez hmoty a energie.

Pokud zachováme popis (zvláštní volba souřadnic), vznikají mnohé obtíže. Například, když r jde k Rs, člen grr jde k nekonečnu.

Znamení metriky vyjádřené touto zvláštní volbou souřadnic je: ( + - - - ) pro r > Rs ( - + - - ) pro r < Rs

Když testová částice pronikne uvnitř Schwarzschildovy sféry, její hmota se stane imaginární a její rychlost větší než rychlost světla: stane se tachyonem.

Změnou znamení někteří lidé říkají:

• Žádný problém: Uvnitř Schwarzschildovy sféry r prostě stane časem a t radiální vzdáleností.

Francouzský kosmolog Jean Heidmann má rád říkat: „Když přemýšlíme o černých dírách, musíme opustit každý zdravý rozum.“

Zároveň je jen málo kandidátů na černé díry, což je největší záhadou. Ve skutečnosti byly supernovy, bílé trpaslíci a neutronové hvězdy předpovězeny ještě před pozorováním. Například Fritz Zwicky představil model supernovy ve slavné přednášce na Caltech v roce 1931, než byla někdo pozorována. Ale po letech se model potvrdil a dnes známe stovky takových objektů. Stejně tak rotující neutronové hvězdy, identifikované s pulzary. Proč je tak málo pozorovaných černých děr?

Nicméně astrofyzici věří, že černé díry existují, i když je málo pozorovacích dat o nich. Používají modely „obrovských černých děr“, předpokládaných v jádře galaxií nebo shluků galaxií, aby „vysvětlily“ některé z jejich záhadných dynamických vlastností.

V následujícím bychom rádi navrhli jiný osud neutronových hvězd, které překročí svůj stabilní limit. Začněme zavedením nových geometrických nástrojů.

2. Hyper toroidní geometrie.

Zvažme následující Riemannovu metriku g ve dvou rozměrech, jejíž element, vyjádřený pomocí dvou souřadnic [ r , j ] je:

(3)

kde:

je definováno na R, modulo 2.

Rs je konstanta.

Tato metrika se asymptoticky blíží eukleidovské metrice, když r jde do nekonečna:

(4)

V tomto zvláštním souřadnicovém systému má znamení: ( + , + ) pro r > Rs ( - , + ) pro r < Rs

Determinant:

(5)

je nekonečný pro r = Rs. Ukažme, že to je způsobeno touto zvláštní volbou souřadnic. Zavedeme následující transformaci souřadnic:

(6)

Element se stane (7)

jehož příslušný determinant je:

(8)

Už nevymizí pro žádné hodnoty (což ukazuje, že u metriky nulovost determinantu elementu závisí na volbě souřadnicového systému, jak ukázal Eddington v roce 1924 (ref.[10]) pro Schwarzschildovu metriku). Když se blíží nule (což odpovídá tomu), tento determinant jde k:

mění se od -nekonečna do +nekonečna, což je ekvivalentní r ≥ Rs

Metrika g, bez ohledu na zvolený souřadnicový systém, popisuje plochu, objekt se dvěma rozměry. Tato plocha má svůj systém geodetik, který je základně invariantní vůči souřadnicím. Využijme Lagrangeových rovnic k jejich studiu v daném souřadnicovém systému. Zavedeme následující funkci F:

(9)

Příslušné Lagrangeovy rovnice jsou:

(10)

(11)

Rovnice (11) dává:

(12)

kde h je kladné, záporné nebo nulové. Navíc pokud v (3) vydělíme obě strany výrazem , získáme klasicky:

(13)

z něhož lze odvodit diferenciální rovnici popisující rovinné geodetiky v daném souřadnicovém systému:

(14)

Podmínka |h| ≤ r podle (12) znamená, že absolutní hodnota kosinu úhlu mezi tečnou ke geodetice a polohovým vektorem je menší nebo rovna jedné.

Nyní umístěme plochu do R3 přidáním další souřadnice vnoření z. Zvolme válcové souřadnice

Plocha je osově symetrická vzhledem k ose z.

Geodetiky ( = konstanta) jsou hlavní kružnice této plochy, kde:

(15)

což okamžitě dává rovnici hlavní křivky této plochy vnořené do R3. Jedná se o parabolu:

(16)

Obrázek 1 ukazuje trojrozměrný pohled na tuto plochu vnořenou do R3, spolu s jednou geodetikou a jejím průmětem do roviny s polárními souřadnicemi.

Tato plocha není jednoduše souvislá. Mezi orbitami grupy izometrií O2 najdeme kružnici s minimálním obvodem: krkavou kružnici (p = 2 Rs).

Obr. 1: Plocha vnořená do R3

a její reprezentace v souřadnicovém systému.

Na obrázku 2 je znázorněno několik geodetik v tomto zobrazení.

Obr. 2: Reprezentace některých geodetik. Obr. 3: Zvláštní geodetika procházející krkavou kružnicí.

Všimněte si, že tato reprezentace geodetik v rovině není izometrická. Pokud měříme délku na této rovině, neodpovídá ona délce změřené na ploše.

Pokud požadujeme, aby délka dS byla reálná, vidíme, že určuje to, co bychom mohli nazvat lokální topologie. Takovou geometrickou strukturu označme jako toroidní most. Můžeme také říci, že tato plocha má lokální toroidní topologii. Má jediný záhyb, který lze považovat za množinu dvou omezených polozáhybů, jejichž kruhové hrany jsou lepeny podél krkavé kružnice s obvodem 2 Rs. Tyto kružnice nejsou geodetikami (kromě této velmi zvláštní geodetiky, která je krkavou kružnicí, jedinou uzavřenou). Na každém polozáhybu se metrika při vzdálenosti od „toroidního mostu“ jdoucí do nekonečna blíží eukleidovské metrice (2). Na obrázku 2, který odpovídá reprezentaci [ r , ], horní části geodetik procházejících krkavou kružnicí jsou znázorněny spojitými čarami, zatímco části odpovídající druhému polozáhybu jsou znázorněny čárkovanými čarami. Všimněte si, že jeden polozáhyb odpovídá ( ) a druhý ( ). Krkavá kružnice odpovídá = 0. Shrnutí Další stránka