- Více o vnoření a geodetikách.
Ne každá plocha může být vnořena do R³. Například zvažme metriku (134)
kde Rs > 0 a r > 0
je definována na R modulo 2 
Vyjádřená pomocí těchto zvláštních souřadnic [ r , ], tento element délky je regulární téměř všude (kromě bodu r = 0). Jinak se žádný problém neobjeví. Její izometrická grupa je O₂. Trajektorie skupiny jsou kružnice r = konstanta. Mohli bychom si představit, že tato plocha může být vnořena do R³, kde by pak vypadala osově symetricky kolem nějaké osy z.
Existují geodetiky ( = konstanta ). Mohli bychom si myslet, že jsou to „meridiány“ plochy a že rovnice z ( ) takového meridiánu lze sestrojit stejně jako na začátku článku. Podél geodetik ( = konstanta ): (135)
Pokud by tato plocha mohla být vnořena do R³, podél těchto geodetik: (136)
což dává: (137)
Závěr: tato plocha nemůže být vnořena do R³.
Tato metrika (135) připomíná nějakou odpudivou akci.
Ne každá plocha, jak je definována svou metrikou, může být. V každém případě tyto plochy „existují“, i když je nemůžeme chytit do ruky. Zvažme následující 3D hyperplochu definovanou vztahem: (138)
kde Rs > 0 a r > 0
je definována na R modulo 2
Takovou hyperplochu nemůžeme vnořit. Ale existuje a má „rovinné geodetiky“ ( 
= /2).
Můžeme spočítat geodetický systém těchto 2D a 3D hyperploch. Můžeme je znázornit v rovině (r, ). Jsou reálné. (139)
Jejich kresba je stejná jako u předchozích dvou ploch definovaných jejich elementem délky (134). Tyto dvě geometrické objekty jsou jednoduše spojité.
Obr. 25: Geodetiky odpovídající elementům délky (134) a (138)
(Všimněte si, že je podobná akci odpudivé síly).
Něco je záhadné. Zadaný element délky nám umožňuje spočítat geodetický systém. Například ten klasické reprezentace Schwarzschildovy geometrie odpovídá: (140)
Můžeme spočítat křivky r (), které odpovídají této diferenciální rovnici. Jsou reálné, včetně pro hodnoty r < Rs!
Obr. 26: Plná geodetika odpovídající Schwarzschildovu elementu délky.
Chápeme, proč fyzici byli zmatení po pozorování tohoto zvláštního výsledku. Ale existuje matematická skutečnost: element délky může produkovat reálný geodetický systém, některé části odpovídají imaginárnímu délce ds.
Co se stane s fyzikou? Identifikujeme ds s přírůstkem vlastního času. Výše jsme rozhodli, že imaginární ds neodpovídá fyzické dráze, což nás nutilo znovu zvážit „místní topologii“ hyperplochy, změnou „místní sféroidní topologie“ na „místní hypertoroidní topologii“.
V předchozích pracích lidé udržovali hypotézu „místní sféroidní topologie“, což způsobilo problém s fyzikální interpretací „vnitřku“ Schwarzschildovy sféry. V odkazu [1], v části 6.8 čteme:
(Uvnitř Schwarzschildovy sféry) by se zdálo přirozené přeinterpretovat r jako časový ukazatel a t jako polohový ukazatel (...) ... což by znamenalo, že ds² < 0 podél této světové čáry.
- Analytické rozšíření Kruskal.
V klasickém souřadnicovém systému [x°, r, , ] je radiální rychlost světla: (141)
takže se blíží k nule, když r se blíží k Rs. Argument Kruskala zní následovně (odkaz [1], část 6.8).
Toto je nevýhodná vlastnost Schwarzschildových souřadnic, kterou můžeme odstranit následovně; hledáme transformaci pro r a t do nových proměnných u a v, ve které bude element délky mít tvar: (6.187)
... dospíváme k vhodné transformaci pro vnitřek Schwarzschildova poloměru: (6.204)
Zatímco vně této sféry: (6.201)
Základní podmínka je, aby f byla regulární na Schwarzschildově sféře r = Rs. Znovu z [1]:
Tak u slouží jako globální polohový ukazatel a v jako globální časový ukazatel.
Kromě toho, z (6.187) vyplývá, že nulové geodetiky (ds = 0) dávají „konstantní rychlost světla“: (142)
Z (6.201) vidíme, že když r jde do nekonečna, f jde k nule, takže Adler, Schiffer a Bazin říkají [1]:
Nevyjadřují však sférické souřadnice pro rovinný prostor ve asymptotické vzdálenosti, jak Schwarzschildovy souřadnice dělají.
Metrika Kruskal je také ne singulárním řešením Einsteinových rovnic v těchto oblastech a je ekvivalentní Schwarzschildovu řešení, ale nemá žádnou singulárnost na hranici (Schwarzschildova sféra). Jedná se o analytické rozšíření množiny.
Kruskal se zaměřuje na problém na této hranici, která se stává nesingulární, zatímco singulárnost je koncentrována v „geometrickém středu“, kde f jde do nekonečna. Stále používáme odkaz [1], opisujeme pasáž věnovanou radiálním trajektoriím fotonů směrem dovnitř:
*V proměnných u, v je trajektorie jednoduchá; v proměnných r a t vidíme však, že začíná při nějakém konečném r > Rs a konečném x°, pohybuje se směrem dovnitř k r = Rs, zatímco x° jde do nekonečna, a překročí čáru x° = nekonečno dovnitř Schwarzschildovy sféry. Poté r dále klesá podél trajektorie, ale x° klesá. ... Tento aktuální přístup také ukazuje, že x° není rozumným časovým ukazatelem uvnitř Schwarzschildovy sféry.
Vidíme, že „nic není dokonalé“. Výběrem svých zvláštních souřadnic dokázal Kruskal překonat přechod přes Schwarzschildovu sféru, omezením singulární vlastnosti geometrického řešení na „centrální singularitu“. Ale metrika již není Lorentzovská v nekonečnu.
To ukazuje, jak výběr souřadnic mění interpretaci řešení. Náš přístup zavádí změnu v „místní topologii“ (hypertoroidální most), ale odstraní všechny singulárnosti.
- Zpět k vnoření.
Věta Wiener-Graustein říká, že každá n-rozměrná plocha, pro n > 2, může být vnořena do prostoru, jehož minimální dimenze je (143)
Pro 4D hyperplochy odpovídá to prostoru o 10 dimenzích. Víme, že geodetiky Schwarzschildovy geometrie leží v rovinách. = p/2 odpovídá jedné z nich. Můžeme se proto zaměřit na podmnožinu geodetik ( = p/2). Tyto geodetiky závisí na dvou parametrech l a h. Víme, že geodetiky (l = 1) odpovídají částicím, jejichž rychlost je nulová v nekonečnu. Navíc zvolme podmnožinu geodetik ( = konstanta). Pak: (144)
Zavedeme další souřadnici z a zapíšeme: (145)
ds² = dr² + dz²
(146)
Diferenciální rovnice, jejíž řešením je: (147)
Tyto geodetiky můžeme znázornit ve 3D prostoru [z, r, ]. Jsou to meridiány osy symetrické plochy.
Obr. 27: Meridián plochy, ve které je provedeno izometrické vnoření geodetik Schwarzschildovy geometrie ( = konstanta).
Ve 3D prostoru vypadá tato plocha jako obrázek 28 (polovina řezu).
Obr. 28: Plocha vnoření.
Pokud na ní nakreslíme „radiální“ geodetiky, získáme obrázek 29.
Obr. 29: Znázornění „radiálních“ geodetik. Dole: jejich projekce do roviny [r, ].
Jedná se o velmi částečné vnoření, protože je omezeno na množinu „radiálních“ geodetik. Obrázek 29 připomíná záhyb a naznačuje enantiomorfnost. Ve skutečnosti zvažme množinu tří bodů následujících radiální geodetiky. Získáme
Obr. 30-a: Tři hmotné body padající k hrdlu po „radiálních“ drahách.
a:
Obr. 30-b: Stejné, po překročení hrdla.
Trojúhelník byl obrácen.
Na rovinné projekci [r, ] je orientace trojúhelníku obrácena. Představme si nyní čtyři testovací částice následující radiální trajektorie, padající k Schwarzschildově sféře, tvořící čtyřstěn. Viz obrázek 31.
Obr. 31: Čtyři částice padající na Schwarzschildovu sféru po „radiálních“ geodetikách v eukleidovském 3D prostoru.
Obr. 32: Po „odrazu“ od Schwarzschildovy sféry se částice pohybují v duálním prostoru. Čtyřstěn je obrácen (enantiomorfnost).
Vraťme se k předchozímu znázornění. Také normálový vektor je obrácen:
Obr. 33: Zvláštní geodetika = konstanta ve svém znázornění v množině geodetik (l = 1) ve prostoru (r, , z).