- Geodetiky v reprezentaci [r,j].
Zavedením (6) do (14), s dr = thr dr
dostaneme:
(17)
což dává
[r, j] reprezentaci
geodetik. Když r
tends to nule, dj/dr
tends to konečné hodnotě, takže tangenta úhlu stoupání:
(18)
tends to
nule v počátku. Obraz kružnice Schwarzschildova hrdla v takové reprezentaci
je kuželový bod.
Obr. 4
: Geodetika znázorněná na obrázku 3 v souřadnicovém systému ( r , j
) .
Průchod kružnicí hrdla odpovídá bodu O
Toto je
izometrická reprezentace geodetik.
Všimněme si, že můžeme také znázornit povrch v reprezentaci [z, r ,j],
ale to už není izometrická reprezentace. Dostaneme asociovaný
meridián:
(19)
Když r
tends to nule, z(r) je lineární. Když tends to nekonečnu,
funkce tends to parabole.
Obr.
5 : Meridián povrchu v neizometrické reprezentaci [ r, j ]
povrchu.
Obraz
kružnice Schwarzschildova hrdla v takové reprezentaci je kuželový bod.
- Rozšíření
na sféricky symetrickou 3d hyperplochu.
Toto lze
rozšířit na 3d hyperplochu, popsanou elementem délky:
(20)
Tato metrika
se vztahuje k 3d hyperploše, zde vyjádřené v souřadnicovém systému [ r , q
, j ]. Proměnná r není „radiální vzdálenost“
odpovídající „sférickým souřadnicím“. V tomto novém elementu délky nacházíme podobné patologie,
které lze eliminovat zavedením stejné změny souřadnic (6).
[ r , q
, j ] � [ r , q , j ]
Pak se tento
element délky stává:
(21)
Jeho signatura
se stává ( + , + , + ) a jeho determinant:
(22)
už
nezaniká.
Geodetiky
této hyperplochy leží v rovinách. q = p/2
je jedna z nich. V jejich reprezentaci [ r , j ]
se ztotožňují s těmi na obrázku 2. Grupa izometrií je O3 a odpovídající
orbity jsou sféry. Mezi nimi jedna má minimální plochu (hrdelní sféra
takového 3d toroidálního mostu). Hlavní kružnice sfér-orbit
nejsou geodetickými křivkami, kromě zvláštních, které leží na hrdelní sféře
jejíž obvod je 2 p Rs. Geodetiky této
zvláštní sféry jsou jediné uzavřené. Můžeme tuto zvláštní geometrii
nazvat hypertoroidální geometrií. Tato 3d-plocha není jednoduše souvislá.
Má jediný 3d záhyb, který lze považovat za soubor dvou omezených polovin
3d záhybů slepených podél jejich sférického okraje (hrdelní sféry). Ve
velké vzdálenosti od tohoto „hypertoroidálního mostu“ metrika tends to
eukleidovské, dále psané ve sférických souřadnicích:
(23)
ds2
= dr2 + r2 ( dq2
- sin2q dj2
)
- Schwarzschildova
geometrie.
Klasicky se uvažuje, že její grupa izometrií je SO3 X
R, kde R se vztahuje k jednorozměrným translacím. Pak se říká, že
tato metrika je časově nezávislá a sféricky symetrická, přičemž se uvažuje, že
R odpovídá časovým translacím.
Vyjádřený v souřadnicovém systému [ x� ,
r , q , j ], kde x� je časový marker,
element délky je
(24)
Klasicky se píše x� = ct , což má definovat kosmický čas
t „vnějšího pozorovatele“. Když r >> Rs (21) tends to
Minkowského metrice. Klasicky je r asimilováno k radiální souřadnici. (21)
ukazuje nepravidelnost členu grr a změnu signatury, když r =
Rs .
Ještě jednou můžeme tuto metriku regularizovat pomocí změny souřadnic (6),
přechodem k systému [t, r , q , j ].
Pak se element délky stává:
(25)
Orbity
grupy izometrií O3 jsou sféry. V této množině jedna, hrdelní sféra
(Schwarzschildova sféra) má minimální plochu. Hyperplocha není jednoduše souvislá.
Tvoří jediný záhyb časoprostoru, který lze považovat za soubor dvou polovin
4d záhybů časoprostoru (dvojčat), první odpovídající
r > 0 a druhý r < 0 , odkud
hrdelní sféra odpovídá r = 0. Můžeme vypočítat
geodetiky ležící v rovině q = p/2
. Podle: „sférické souřadnice“:
Obr. 6 :
Sférické souřadnice.
element
je dr2 = r2 ( dq2
- sin2q dj2
)
Kružnice j = konstanta jsou geodetiky sféry,
ale samozřejmě nereprezentují všechny geodetiky povrchu. Pouze
ty, které procházejí dvěma antipodálními body (póly).
Kružnice
q = konstanta nejsou geodetiky, kromě té, která
odpovídá q = p/2 (rovník).
V souřadnicovém systému [
r � Rs , j ] tyto (nenulové délky) geodetiky odpovídají:
(26)
Volba
množiny konstant [ l , h ] určuje geodetiku. Mezi nimi nacházíme
geodetiky podobné hyperbolám, které neprotínají hrdelní sféru r = Rs. Viz
obrázek 7.
Obrázek
7 : Schwarzschildova geometrie.[ r ,
j ] reprezentace rovinné geodetiky podobné hyperbole
která neprotíná hrdelní
sféru r = Rs
Nacházíme také kvazi-eliptické
geodetiky. Viz obrázek 8
Obr.
8 : Schwarzschildova geometrie.[
r , j ]
reprezentace
kvazi-eliptických geodetik.
Nyní se
zaměřme na geodetiky, které protínají hrdelní sféru r = Rs. V reprezentaci [ r ,
j ] nazvěme a úhel mezi
tečnou ke geodetice a radiálním vektorem.
(27)
První
Lagrangeova rovnice dává:
(28)
Pro hodnoty r
� Rs je parametr l striktně kladný.
Další Lagrangeova rovnice je:
(29)
a dává monotónní
vývoj úhlu j vzhledem k vlastnímu
času s. V této rovině (q = p/2 ) víření závisí
na znaménku h .
Podle této nové
interpretace Schwarzschildovy geometrie (považované za ne jednoduše souvislou
hyperplochu) můžeme geodetiku znázornit v reprezentaci [ r , j ]
jak je ukázáno na obrázku 9.
Obrázek
9a : [ r , j ] reprezentace geodetiky
která protíná hrdelní sféru**(Schwarzschildovu sféru) odpovídající h � Rs**
Jedna část geodetiky byla znázorněna jako tečkovaná čára, protože se předpokládá,
že patří k druhému polovičnímu 3d záhybu, spojenému s prvním podél hrdelní sféry,
té Schwarzschildovy. Naznačuje zlom. Ale ten je způsoben tímto zvláštním
systémem reprezentace [ r , j ], který je bližší naší (ubohé) lidské geometrické intuici. V 3d reprezentačním prostoru
dostaneme obrázek 9b. Částice jakoby „odskakují“ od Schwarzschildovy
sféry.
Obr. 9b :
V 3d eukleidovském reprezentačním prostoru částice
jakoby odskakují
od Schwarzschildovy sféry.
Z tohoto pohledu „není nic uvnitř Schwarzschildovy sféry“,
protože v tomto „uvnitř“ jsme jednoduše „vně hyperplochy“.
Připomeňme, že hrdelní sféra, Schwarzschildova sféra odpovídá
hodnotě r = 0. První poloviční záhyb odpovídá (
r > 0 ) a druhý ( r <
0 ) .
V reprezentaci [ r , j ] se vzhled
geodetiky stává dosti odlišným. Vypočítejme tangentu úhlu b
mezi geodetikou a poloměrovým vektorem (viz obrázek 6).
(30)
Když r
tends to � 0 thr � r ,
odkud:
(31)
V reprezentaci [ r , j ] jsou geodetiky, které
jdou z jednoho polovičního záhybu na druhý, tečné k radiálnímu vektoru. Už
není úhlová nespojitost v počátku, který je obrazem hrdelní kružnice ( r = 0 ). Abychom dostali úplný
popis těchto geodetik, musíme se vrátit k elementu délky, jak je vyjádřen
v souřadnicovém systému [ t = x�/c, r , q , j ]
(24), pomocí systému Lagrangeových rovnic, s:
(32)
Mezi těmito
rovnicemi nacházíme:
(33)
Pro
danou hodnotu h je vývoj j monotónní vzhledem k vlastnímu času
s.
Obr.
10 : [ r , j ] reprezentace geodetiky
která přechází
z jednoho polovičního záhybu
( r > 0 ) na druhý (
r < 0 ).
Jako dříve,
část geodetiky, která patří k druhému 3d polovičnímu záhybu, byla
znázorněna jako tečkovaná čára.
Nemůžeme dát vnoření 4d hyperplochy, jak jsme to udělali na začátku
článku pro 2d povrch. Mimochodem, zabýváme se 4d geodetikami, ne 3d
geodetikami. Prostředí [ r , q , j ] a [ r ,
q , j ] nejsou nic jiného než reprezentační prostory, které mají
věci trochu vyjasnit. Skutečné geodetiky jsou vepsány do
4d prostoru. Každopádně reprezentace [ r , q , j ]
naznačuje nějaký 3d „hypertoroidální most“, odkud reprezentace [
r , q , j ] naznačuje nějaký 3d „hyperkužel“. V
této druhé (3d) reprezentaci takového 2d povrchu jsou geodetiky, které
jdou z jednoho polovičního záhybu na druhý, procházejíce bodem
( r = 0 ). To je podobné 2d-kuželu. Viz obrázek 11
Obr. 11
: Geodetika kuželu. Vpravo:
povrch mající kuželový bod.