- Volba časového markeru.
V souřadnicích [ t , r , q , j ], odpovídajících elementu délky (25), je determinant metriky:
(34)
který se nuluje, když r se stává nulovým. Nicméně, v roce 1924 Eddington [10] ukázal, že nulovost metriky je závislá na souřadnicích. Nejprve se vraťme k počáteční formě
(35)
Zdůrazňujeme, že volba souřadnicové soustavy je čistě arbitrární, pro metriku, řešení tenzorové rovnice
(36)
S
= 0
je v podstatě souřadnicově invariantní. Rozhodujeme, že částice sledují geodetiky. Arbitrárně zvolené souřadnice dodávají tomuto geometrickému řešení fyzikální význam. Můžeme zvolit x⁰ = ct, kde c je konstanta. Ale můžeme zvolit jinou vztažnou soustavu. Je na nás. Jediný požadavek pro zvolený chronologický marker x⁰, nebo t, x, je, aby metrika byla asymptoticky euklidovská:
(37)
nebo:
(38)
jak je vyjádřeno v kartézské souřadnicové soustavě. Pamatujte, že riemannovská metrika je euklidovská, pokud lze najít soustavu souřadnic, kde kvadratická forma elementu délky má konstantní koeficienty. Soubor znamének je signatura.
Pokud je tato signatura ( + - - - ), jedná se o Minkowského metriku.
(39)
identifikované s elementární vzdáleností, se zdá být rozumným požadavkem stanovit, aby metrika byla asymptoticky euklidovská „ve velké vzdálenosti“, bez ohledu na zvolenou definici takové vzdálenosti ( r nebo r , z výše uvedeného).
Definice „kosmického času“ nebo „prostorového markeru“ zůstává zcela svobodnou volbou. Naopak nemůžeme změnit vlastní čas s, nebo, přesněji, časový interval Ds mezi dvěma danými body manifoldu, protože je v podstatě nezávislý na souřadnicích. Kromě toho předpokládáme, že částice mohou cestovat v obou směrech podél dané geodetiky.
Obr. 12: Cesta částice po dané geodetice.
Cesta testovací částice podél geodetiky je jev. Jiná geodetika manifoldu se předpokládá, že odkazuje na „vnějšího pozorovatele v klidu“. Ale stav klidu závisí na volbě souřadnic (x⁰, x1 , x2 , x3) , která je zcela arbitrární.
Tento „vnější pozorovatel“ se předpokládá, že je umístěn v části manifoldu, kde je metrika euklidovská, nebo quasi-euklidovská, tj. má tvar (37). Pak podmínky klidu znamenají, že
(40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
Pro takového pozorovatele v klidu se jakýkoli vlastní časový interval identifikuje s příslušným arbitrárně zvoleným „kosmickým časovým intervalem“:
(41)
Ds
= Dx⁰
...Volba kosmického času je čistě arbitrární, evoluce testovací částice v čase závisí na této volbě. Uvažujme dva body A a B na dané geodetice, která se předpokládá, že odkazuje na vnějšího pozorovatele. Tyto body jsou události časoprostoru. Na obrázku 13 se čárkované linie předpokládají, že odkazují na konstantní kosmický čas x⁰.
Obr. 13: „Vnější pozorovatel v klidu“, „sledující“ evoluci
testovací částice na geodetice. Kosmický čas x⁰
Uvažujme nyní jinou volbu x pro kosmický čas. Viz obrázek 14.
Obr. 14: „Vnější pozorovatel v klidu“, „sledující“ evoluci
testovací částice na geodetice. Kosmický čas x
Upřesněme, že čárkované linie nejsou dráhy fotonů. Fotony cestují po zvláštních, nulových geodetikách, které jsou souřadnicově invariantní.
Stále máme Ds(O) = Dx⁰ = Dx, ale intervaly Ds'(TP) a Ds"(TP) se mohou dost lišit, i když odkazují na stejnou geodetiku, protože dvojice (A',B') a (A",B") se mohou lišit. V podstatě závisí na zvolené časové souřadnici, nebo „časovém markeru“.
- Eddingtonova změna časové souřadnice a její rozšířená forma.
Následující změna souřadnic, zavedená Eddingtonem v roce 1924, ilustrující tento bod, je:
(42)
Potom element délky se stává
(43)
Jelikož člen gxx se stává nulovým na sféře r = Rs , tato je povrchem nekonečného červeného posuvu (jako v klasickém elementu délky Schwarzschildovy metriky). Matice se stává:
(44)
jehož determinant je:
(45)
- r 4
sin2 q
a již se ne nuluje, bez ohledu na hodnotu r. Z důvodů, které budou vysvětleny později, rozšiřme tuto změnu souřadnic na:
(46)
Vyjádřeno v souřadnicové soustavě ( x , r , q , j ), element délky se stává:
(47)
jehož determinant má stejný tvar (44). Všimněte si, že Eddingtonova změna souřadnic odpovídá hodnotě d = - 1.
Studujeme geodetiky pomocí Lagrangeových rovnic, založených na funkci:
(48)
s:
Kromě toho, z výrazu elementu délky, máme klasicky pro hmotné částice (ds ≠ 0):
(49)
Jedna Lagrangeova rovnice dává:
(50)
Uvažujme rovinnou geodetiku q = p/2 , což dává:
(51)
Podél geodetiky, vzhledem k vlastnímu času s, evoluce j je monotónní. Jiná Lagrangeova rovnice dává:
(52)
tj.:
(53)
Kombinováním s (49), překvapivě, d zmizí:
(54)
Všimněte si, že pokud dr = 0 (nulová rychlost) když r jde k nekonečnu, odpovídá to l = 1. Když r jde k nekonečnu, po (53):
(55)
Pokud l ≠ 1 , když r jde k nekonečnu, dostaneme:
(56)
s
dostaneme
(57)
V [ r , j ] nacházíme, pro nenulové geodetiky (ds ≠ 0), diferenciální výraz klasického tvaru:
(58)
který poskytuje vzory obrázků 7, 8 a 9. Nyní můžeme definovat nový kosmický čas prostřednictvím:
(59)
x = ct
...Element délky (43) je stále asymptoticky euklidovský. „Ve velké vzdálenosti“ vlastní čas Ds pozorovatele v klidu se identifikuje s intervalem Dt.
- Časové intervaly pro radiální dráhy.
Můžeme vypočítat časový interval Dt = Dx/c částice s nenulovou hmotností, sledující geodetiku, prostřednictvím diferenciální rovnice:
(60)
Pro „radiální geodetiky“ ( h = 0 ):
(61)
Blízko Schwarzschildovy sféry dostaneme:
(62)
l = 1 odpovídá testovací částici, jejíž rychlost jde k nule v nekonečnu.
Uvažujme tento zvláštní případ:
(63)
Z (54)
n = - 1 odpovídá dráhám (dr < 0).
n = +1 odpovídá dráhám (dr > 0).
...Všimněte si, že zvláštní Eddingtonova změna souřadnic odpovídá (pro r ≠ Rs) d = + 1 . Když vypočítáme radiální čas cestování Dt testovací částice, vzhledem k tomuto novému kosmickému času, zjistíme, že tento závisí na směru tohoto pohybu a na znaménku d, tj. na součinu dn. Když je kladný, čas cestování testovací částice podél radiální geodetiky (r ≠ Rs) je konečný. Když je záporný, tento čas cestování se stává nekonečným.
...Jako první důsledek, pokud je aplikován na model sféricky symetrické černé díry, Eddingtonova změna souřadnic dává konečný čas volného pádu Dt. Když r = Rs , rychlost částice se stává:
(64)
Testovací částice padající směrem k Schwarzschildově sféře ji dosahuje rychlostí c.
- Rychlost světla.
Fotony cestují po nulových geodetikách, odpovídajících:
(65)
Uvažujme rychlost:
(66)
Z (65) dostaneme:
(67)
Když r jde k nekonečnu, vj jde k ± c .
Když dr < 0, máme n < 1 . Potom, když r = Rs pro dráhy (d r< 0):
(68)
Když testovací částice padá směrem k Schwarzschildově sféře podél radiální dráhy, dosahuje ji rychlostí světla.
Shrnutí:
(69)
(70)
Rychlost světla je odlišná, v závislosti na dráhách (dr > 0) nebo (d r< 0).
- Efekt strhávání souřadnicové soustavy.
Uvažujme Kerrovu metriku:
(71)
kde r je prostorová souřadnice odlišná od té definované výše. Pouze reprodukovali rovnici 7.110 z reference [1].
Vypočítejte rychlost fotonu (ds = 0) pro pohyby, které jsou tečné ke kružnicím (q = p/2, r = konstanta). Nacházíme:
(72)
tj. dvě odlišné hodnoty. To odpovídá azimutálnímu strhávání souřadnicové soustavy a je vlastností Kerrovy metriky. Z reference [1], 7.7, „Kerrovo řešení a rotace“ čteme:
Velmi zajímavý fyzikální efekt vyplývá z rotační povahy Kerrova řešení; tělo v geodetickém pohybu zažívá sílu úměrnou parametru a, připomínající Coriolisovu sílu. Volně řečeno, můžeme si myslet, že rotující zdroj „strhává“ prostor s sebou. V machistickém smyslu, zdroje „konkurují“ s lorentzovskými okrajovými podmínkami v nekonečnu při ustavení lokální inerciální soustavy.
Přeformulováno v termínech Eddingtonových souřadnic, černá díra, považovaná za zdroj pole, indukuje radiální strhávání souřadnicové soustavy.
- Černá díra a bílý pramen.
V sekci 4 jsme navrhli novou interpretaci Schwarzschildovy geometrie, kde Schwarzschildova sféra, viz obrázek 9, se chová jako sféra hrdla, spojující dvě „poloviny časoprostorových záhybů“. Můžeme si představit podobnou strukturu, kombinující následující dvě Schwarzschildovy geometrie:
(73)
(74)
Tyto dvě jsou odvozeny z (43), první element délky (73) odpovídá d = -1 a druhý (74) d = +1 . Spojení nevzniká obtíže, protože d se neobjevuje ve výpočtu [ r, j ] reprezentace geodetik. Viz rovnice (58). Dostaneme pár „černá díra-bílý pramen“, bez „centrální singularity“. Hmota může vstoupit do černé díry, ale ne vystoupit. Na druhé straně, hmota může proudit z bílého pramene, ale nevstoupit. Čas tranzitu je konečný v jednom směru a nekonečný podél druhého. Vypočítaný s novým kosmickým časem x, konečný čas tranzitu je podobný tomu vypočítanému s vlastním časem s. Pro radiální dráhy:
(75)
Tento čas je velmi krátký. Jak bylo ukázáno v tomto článku, model černé díry je založen na zvláštní volbě souřadnic, a zejména kosmického času. Jak bylo upozorněno v sekci 6, volba časového markeru je čistě arbitrární. Klasická volba dává quasi-stacionární systém, kde pád hmoty, vlité do černé díry, je „zamrzlý v čase“, vzhledem k vnějšímu pozorovateli. Ale tento článek ukazuje, že jiná volba časového markeru, odvozená od Eddingtonovy myšlenky, „rozmrzlí“ proces. Z tohoto pohledu černé díry, nebo páry černá díra-bílý pramen, nemohou existovat jako permanentní objekty, protože mohou spolknout desítky slunečních hmot za milisekundu. Takže stále existuje otevřená otázka:
- Co se stane, když neutronová hvězda překročí svůj limit stability?
- Reprezentativní prostor.
Před pokusem o prezentaci alternativního projektu modelu, několik slov o tom, co bychom mohli nazvat „reprezentativními prostory“. Na začátku článku jsme studovali 2d plochu, definovanou jejím elementem délky. Ukázalo se, že je možné vložit tuto plochu do R3, což dalo jako izometrickou reprezentaci tohoto geometrického objektu. Mimochodem, zmínili jsme [r,j] reprezentaci.
Není možné dát zřejmou reprezentaci čtyřrozmerné nadplochy, protože ji nemůžeme nakreslit a ukázat obrázky. Ale nadplocha může být znázorněna v mnoha reprezentativních prostorech, odpovídajících různým volbám souřadnic, protože objekt je v podstatě souřadnicově invariantní. Můžeme, například, zavést změnu (6). Potom element délky se stává:
(76)
pro r
0
a:
(77)
pro r
< 0.
„Radiální“ geodetiky (například q = p/2 , dj
= 0 ) se soustředí na geometrické centrum O systému (v této zvláštní reprezentaci). Tento bod je srovnatelný s „hyperkonickým bodem“.
Symetrie vzhledem k bodu, v 3d prostoru, je P-symetrie.
V tomto [ t , r , q , j ] je Schwarzschildův element délky P-symetrický. Je také časově nezávislý (invariantní vůči časové translaci, tj. odpovídá stacionárnímu stavu) a T-symetrický, invariantní vůči:
t →
- t