- Grupy izometrií.
Nazvěme a 3D rotační matici. Pišme:
(78)
Prvek grupy SO3 x R lze vyjádřit maticí:
(79)
která je součinem dvou matic. První:
(80)
patří do SO3.
a druhá:
(81)
patří do grupy časových translací R. Zaveďme symetrie P a T. Dostaneme grupu se čtyřmi komponentami, jejíž prvek je:
(82)
Je to součin dvou matic:
(83)
a:
(84)
Nazvěme tuto druhou podgrupu E1 (jednorozměrná Euklidova grupa).
V reprezentaci [t, r, q, j] je grupou izometrií O3 x E1
Vraťme se k vyjádření elementu dráhy v souřadnicovém systému [t, r, q, j]:
(85)
...Klasicky se má za to, že přidruženou grupou izometrií je SO3 x R, což není ta největší. Je to O3 x E1, protože element dráhy je také invariantní vůči prostorovým a časovým inverzím.
Nyní uvažujme element dráhy vyjádřený v „rozšířené Eddingtonově" formě
(86)
který zapíšeme:
(87)
Zavedením kartézských prostorových souřadnic [x1, x2, x3]:
(88)
(89)
(90)
Pak lze element dráhy vyjádřit pomocí souřadnic [x, x1, x2, x3].
(91)
Nyní hledáme izometrickou grupu metriky, jak je vyjádřena v tomto zvláštním souřadnicovém systému.
Nejprve máme P-symetrii.
Element dráhy je invariantní vůči:
(92)
x1 �
- x1
x2 �
- x2
x3 �
- x3
Je také invariantní vůči změně:
(93)
x �
- x
d �
- d
A vůči časovým translacím: x = x + e. To odpovídá následující grupě se čtyřmi komponentami:
Její prvek je součinem dvou matic. První množina
(94)
odpovídá O3 a druhá tvoří druhou podgrupu, jejíž prvek je:
(95)
Nazvěme tuto druhou podgrupu „TF".
Pak je grupou izometrií (86):
O3 x TF
Uvažujme nyní Schwarzschildovu metriku vyjádřenou v souřadnicovém systému [t = x/c, r, q, j]. Můžeme seskupit dva výrazy (76) a (77) do:
(96)
Pamatujme, že d = -1 přebírá polovinu prostoročasu r > 0, zatímco d = +1 přebírá druhou polovinu prostoročasu r < 0, uvažujeme-li, že „černá díra" se nachází v našem záhybu a „bílá fontána" v „dvojčecím záhybu".
Pokud je situace obrácená, tj. pokud se „černá díra" nachází ve dvojčecím záhybu a „bílá fontána" v našem, dostaneme:
d = +1 přebírá polovinu prostoročasu r > 0
d = -1 přebírá polovinu prostoročasu r < 0
Uvažujme první případ („černá díra" je v našem vesmíru a „bílá fontána" ve dvojčecím záhybu). Metrika je tam:
(97)
Změnou:
r �
-r
t �
-t
d � -d
dostaneme druhou metriku:
(98)
Všimněme si, že nulovost determinantu při r = 0 by odpovídala lokální inverzi prostoru (enantiomorfii) a časové souřadnice v bodě (r = 0). Ve skutečnosti potřebujeme nenulový determinant k definici gaussovských souřadnic. Viz reference [1] 2.4
Pokud je determinant nenulový, umožňuje definovat řadu hyperploch (x� nebo x, nebo t = konstanta) (odpovídajících konstantní hodnotě zvoleného chronologického markeru), ortogonálních k souřadnicovým liniím geodetik x� nebo x nebo t („světočárám" pro „stacionární body").
Obr.15: Podle obr. 2.1 reference
[1]
Mohli bychom vyjádřit (97) a (98) v kartézských souřadnicích, jako dříve, a znovu nalézt (92) a (93). Grupa izometrií (96) se stává:
(99)
Dva poloviční prostoročasové záhyby jsou PT-symetrické.
Připomeňme, že Andrej Sacharov byl první, kdo v roce 1967 (reference [26] až [30]) navrhl, že vesmír by mohl být složen ze dvou dvojčecích vesmírů, našeho a dvojčecího, s „opačnými časy". Později navrhl, že dvojčecí záhyb by mohl být enantiomorfní.
- Fyzikální význam inverze kosmického času t.
Tato časová inverze je matoucí. Znamená, že časový marker t se invertuje, když někdo sleduje geodetiku z jednoho záhybu do dvojčecího. Znamená to, že hodiny „pasažéra", procházejícího tímto hypertorickým mostem, by se obrátily?
Výše jsme řekli, že by mohl existovat pár „černá díra - bílá fontána", kde „černá díra" by se nacházela ve dvojčecím záhybu a „bílá fontána" v druhém. Znamenalo by to, že tento „testovací pasažér" by se mohl ponořit do prvního hypertorického mostu a vynořit se z druhého. Mohl by se vrátit do svého prostorového výchozího bodu a „zabít svého otce"?
Obr.16: (Schematická) paradoxní cesta.
Odpověď je ne, protože znaménko elementárního přírůstku ds jeho vlastního času se podél geodetiky, kterou sleduje, nemění. Jaký je tedy fyzikální význam t? Žádný. Je to jen souřadnice.
Pouze vlastní čas má fyzikální význam.
Jaký je tedy důsledek inverze této časové souřadnice?
Musíme studovat koadjungovanou akci grupy na jejím prostorovém momentu (reference [11] a [12]). Prvek grupy je
(100)
To je grupa se dvěma komponentami (m = � 1), jejíž dimenze je 4.
Inverzní matice je:
(101)
Vypočítejme prvek Lieovy algebry. Pišme:
(102)
da = w
d e = e
Vypočítejme: dg' = g-1 x
dg x
g
(103)
(104)
Abychom vypočítali koadjungovanou akci (viz ref. [11]), zaveďme skalár:
(105)
jehož invariance je zajištěna, pokud:
(106)
tj.:
(107)
Identifikace poskytuje koadjungovanou akci grupy na jejím čtyřkomponentovém momentu:
(108)
( l, m )
Připomeňme, že počet komponent momentu se rovná dimenzi grupy.
(109)
(110)
m' = m m
Můžeme identifikovat m s hmotností (nebo s energií E = mc2, lhostejno). (110) znamená, že když částice projde „hrdelní sférou", její hmotnost se invertuje (m' = -m). To není překvapivé a dává to velmi fyzikální význam této „inverzi časové souřadnice".
...Podle J. M. Souriaua [12] můžeme komponentu grupy (m = +1) nazvat „ortochronní" a (m = -1) „antichronní komponentou". Prvky antichronní komponenty obracejí hmotnost. Časová symetrie je ekvivalentní m-symetrii, jak ukázal J. M. Souriau ([12] s. 197, kapitola časové a prostorové inverze).
- Následné sdružené polní rovnice.
Začali jsme jedinou polní rovnicí s nulovým druhým členem:
(111)
S = 0
o níž se předpokládalo, že pochází z úplné (Einsteinovy) rovnice:
(112)
S = c T
platící pro vakuum (T=0). Můžeme předpokládat, že úplnou geometrii lze popsat dvěma „konjugovanými metrikami" g a g*, z nichž můžeme sestavit dva Einsteinovy geometrické tenzory S a S*. Viz reference [13] až [15].
Pokud jsou oba poloviční prostoročasy prázdné, je množina (g, g*) řešením soustavy:
(113)
S = 0
(114)
S* = 0
(Stacionární přesné řešení soustavy (113) a (114) je uvedeno v referenci [16]). Nyní můžeme naplnit první prostoročasový záhyb kladnou hmotou (kladnou energií a tlakem) odpovídajícímu tenzorovému poli T a druhý záhyb zápornou hmotou (zápornou energií) a předpokládáme, že pole závisí na obou tenzorových polích prostřednictvím následujícího formalismu:
(115)
S = c ( T - T* )
(116)
S* = c ( T*- T )
což odpovídá konjugovaným geometriím:
(117)
S* = - S
Všimněme si, že to rozhodně neznamená, že g* = - g!
Tenzory T a T* lze vyjádřit pomocí hustot hmotnosti r a r* a tlaků p a p*.
Zde uvažujeme, že r, r*, p a p* jsou všechny kladné, abychom ukázali, že „jde o stejný druh hmoty". Znaménko minus naznačuje, že „dvojčecí hmota" se chová jako hmota se zápornou hmotností (a zápornou energií a tlakem). Tato soustava polních rovnic byla prezentována a studována v předchozích pracích (reference [13] až [15]).
- Projekt: model přenosu hypersprostorem.
V referencích byly prezentovány stacionární sdružená řešení [16] a nestacionární uniformní řešení ([14], [15] a [17]). Hodláme sestavit nestacionární a neuniformní řešení soustavy (115) plus (116). Uvažujme například počáteční podmínky, kdy je hmota přítomna v našem prostoročasovém záhybu F, přičemž druhý, F*, je prázdný. Odpovídající soustava by byla:
(118)
S = c T
(119)
S* = - c T
...Stacionární řešení takové soustavy bylo prezentováno v předchozí práci [16]. Za takových podmínek je hmota přítomna pouze v záhybu F. Může popisovat konjugované geometrie odpovídající přítomnosti neutronové hvězdy v tomto záhybu, našem, přičemž přilehlá část druhého (dvojčecího) záhybu F* je prázdná. Zpočátku nejsou oba záhyby propojeny. Řešení vně neutronové hvězdy splňuje:
(120)
S = 0
(121)
S* = 0
...Pak je hmota vtlačována do neutronové hvězdy až do kritičnosti. Odborníci vědí, že prvním symptomem kritičnosti je náhlý vzestup tlaku až k nekonečnu ve středu (předpokládané sféricky symetrické) neutronové hvězdy podle Tolmanova-Oppenheimerova-Volkovova (TOV) modelu (ref. [1], rovnice 144.22). Domníváme se, že tento vzestup působí na lokální hodnoty fyzikálních konstant (rychlost světla, gravitační konstanta, hmotnost). Modely s „proměnnými konstantami" zavedli autoři nejprve ([18], [19], [20] a [14]). Později jiní autoři rozvinuli tento nový koncept poněkud odlišným způsobem [17].
...Domníváme se, že by to způsobilo zrod hypertoroidálního mostu spojujícího oba záhyby. Pak by hmota (rychle, relativistickou rychlostí) proudila ze záhybu F do záhybu F* tímto průchodem. Jak je ukázáno výše, tento jev invertuje hmotnost, viz oddíl 14, rovnice (110), takže nestacionární řešení závisí na soustavě:
(122)
S = c ( T - T* )
(123)
S* = c ( T*- T )
„Uprostřed procesu" T = T*. Pak řešení splňuje:
(124)
S = 0
(125)
S* = 0
...Domníváme se, že to je skutečný význam Schwarzschildovy geometrie. Odpovídalo by to vztažné soustavě, která náleží nestacionárnímu procesu.
...Toto nestacionární řešení je pouze projektem řešení. Není dosud sestaveno. Nevíme, co by z něj vzešlo, jak by celý proces vypadal.