- Více o vložení a geodetických.
Ne všechny plochy lze vložit do R3. Například uvažujme metriku
(134)
kde Rs > 0 a r > 0
je definována na R modulo 2 
Vyjádřeno v těchto zvláštních souřadnicích [ r , ], je tento element délky regulární téměř všude (kromě bodu r = 0). Jinde žádný problém nevzniká. Jeho izometrická grupa je O2. Orby grupy jsou kružnice r = konstanta. Mohli bychom si představit, že tato plocha by mohla být vložena do R3, kde by se jevila jako osově symetrická kolem nějaké z-osi.
( = konstanta ) geodetické existují. Mohli bychom si myslet, že jsou „meridiánovými čarami“ plochy a že rovnice z ( ) takového meridiánu může být sestrojena, jak jsme učinili na začátku práce. Podél ( = konstanta ) geodetických :
(135)
Pokud tato plocha může být vložena do R3, podél těchto geodetických :
(136)
což dává :
(137)
Závěr: tato plocha nemůže být vložena do R3.
Tato metrika (135) evokuje jistý odpudivý účinek.
Ne všechny plochy, jak jsou definovány svou metrikou, mohou být. Nicméně, tyto plochy „existují“, i když je nemůžeme uchopit v našich rukou.
Uvažujme následující 3d nadplochu, definovanou jako :
(138)
s Rs > 0 a r > 0
je definována na R modulo 2
Takto definovanou nadplochu nemůžeme vložit. Ale existuje a má „rovinné geodetické“ ( 
= /2).
Můžeme vypočítat geodetický systém těchto 2d a 3d nadploch. Můžeme si je představit v rovině (r,). Jsou reálné.
(139)
Jejich kresba je totožná s kresbou předchozí 2 plochy, definované jejím elementem délky (134). Tyto dva geometrické objekty jsou jednoduše souvislé.
Fig.25
: Geodetické odpovídající
elementům délky (134)
a (138)
(Všimněte si, že je to podobné odpudivému účinku).
Existuje něco matoucího. Při daném elementu délky můžeme vypočítat geodetický systém. Například ten klasické reprezentace Schwarzschildovy geometrie odpovídá :
(140)
Můžeme vypočítat křivky r () odpovídající této diferenciální rovnici.
Jsou reálné, včetně pro hodnoty r < Rs !
Fig.26 :
Kompletní geodetická čára, odpovídající
Schwarzschildovu elementu délky.
Chápeme, proč byli fyzici zmateni po zhlédnutí tohoto divného výsledku. Ale existuje matematický fakt: element délky může produkovat reálný geodetický systém, některé části odpovídající imaginárnímu elementu délky ds.
Co fyzika ? Identifikujeme ds jako přírůstek vlastního času. Výše jsme rozhodli, že imaginární ds neodpovídá fyzikální dráze, což nás přinutilo přepracovat „lokální topologii“ nadplochy, změnit „lokální sféroidální topologii“ na „lokální hypertoroidální topologii“.
V předchozích pracích lidé zachovali tuto hypotézu „lokální sféroidální topologie“, takže fyzikální interpretace „vnitřku“ Schwarzschildovy sféry se stala problematickou. V referenci [1], v sekci 6.8 čteme :
(Vnitřek Schwarzschildovy sféry) bylo by tedy přirozené reinterpretovat r jako časový marker a t jako radiální marker (...)
... což by implikovalo, že ds2 < 0 podél této světové čáry.
- Kruskalova analytická extenze.
V klasickém souřadnicovém systému [x� , r , , ] je radiální rychlost světla :
(141)
takže se blíží nule, když r se blíží Rs. Kruskalův argument je následující (reference [1], sekce 6.8 ).
Toto je nežádoucí vlastnost Schwarzschildových souřadnic, kterou můžeme eliminovat následovně; hledáme transformaci pro r a t do nových proměnných u a v , ve kterých má element délky tvar :
(6.187)
... dospějeme k transformaci appropriate pro vnitřek Schwarzschildova poloměru :
(6.204)
Zatímco, mimo tuto sféru :
(6.201)
*
*
Základním požadavkem je, aby f byla regulární na Schwarzschildově sféře r = Rs. Stále z [1] :
Taku slouží jako globální radiální marker, a v slouží jako globální časový marker.
Mezitím, z (6.187) , nulové geodetické (ds = 0) dávají „konstantní rychlost světla“ :
(142)
Z (6.201) vidíme, že když r se blíží nekonečnu, f se blíží nule, takže Adler, Schiffer a Bazin říkají [1] :
Neodpovídají však sférickým souřadnicím pro plochý prostor v asymptotické vzdálenosti, jak to dělají Schwarzschildovy souřadnice.
Kruskalova metrika je také nesingulárním řešením Einsteinovy rovnice v těchto oblastech a je ekvivalentní Schwarzschildovu řešení, ale nemá singularitu na hranici (Schwarzschildova sféra). To je analytická extenze manifoldu.
Kruskal se soustředí na problém na této hranici, která se stává nesingulární, singularita je soustředěna v „geometrickém středu“, kde f se blíží nekonečnu. Stále using reference [1] reprodukovat passage devoted to inwards photon's radial paths :
V termínech u , v je trajektorie jednoduchá; v termínech r a t , však vidíme, že začíná na nějakém konečném r > Rs a konečném x� , cestuje dovnitř směrem k r = Rs když x� se blíží nekonečnu, a překračuje čáru x� = nekonečno do vnitřku Schwarzschildovy sféry. Potom r pokračuje v klesání podél trajektorie, alex� klesá. ... Tato prezentace také objasňuje, že x� není rozumný časový marker uvnitř Schwarzschildovy sféry.
Vidíme, že „nic není dokonalé“. Se svým zvláštním výběrem souřadnic, Kruskal zvládne překročení Schwarzschildovy sféry, omezí singulární vlastnost geometrického řešení do „centrální singularity“. Ale metrika není již Lorentzovská v nekonečnu.
To ukazuje, jak výběr souřadnic modifikuje interpretaci řešení. Náš zavádí změnu v „lokální topologii“ (hypertoroidální most ), ale všechny singularity jsou eliminovány.
22)Zpět k vložení.
Wiener-Grausteinova věta říká, že jakákoliv n-rozměrná plocha, s n > 2, může být vložena do prostoru, jehož minimální rozměr je
(143)
Pro 4d nadplochy to odpovídá 10-rozměrnému prostoru. Víme, že geodetické Schwarzschildovy geometrie leží v rovinách. = p/2 odpovídá jedné z nich. Potom můžeme soustředit na podmnožinu ( = p/2) geodetických. Tyto geodetické závisí na dvou parametrech l a h . Víme, že ( l =1 ) geodetické odpovídají částicím, jejichž rychlost je nula v nekonečnu.. Dále, vyberte podmnožinu ( = konstanta ) geodetických. Potom :
(144)
Zaveďte dodatečnou souřadnici z a napište :
(145)
ds 2 = dr 2 + dz 2
(146)
Diferenciální rovnice, jejíž řešení je :
(147)
Můžeme si představit tyto geodetické v 3d prostoru [ z , r ,]. Jsou meridiánovými čarami osově symetrické plochy.
Fig. 27 : Meridián plochy, ve které je provedeno izometrické vložení ( = konstanta) Schwarzschildových geodetických.
V 3d prostoru, tato plocha vypadá jako obrázek 28 (polovina řezu).
Fig.28 : Vložená plocha.
Pokud na ní nakreslíme „radiální“ geodetické, dostaneme obrázek 29.
Fig.29 : Reprezentace „radiálních“ geodetických. Dole : jejich projekce na [ r ,] rovinu.
Je to velmi částečné vložení, protože je omezeno na množinu „radiálních“ geodetických. Obrázek 29 evokuje záhyb a naznačuje enantiomorfii. Ve skutečnosti, uvažujte množinu tří bodů sledujících radiální geodetické. Dostaneme
Fig.30-a : Tři hmotné body, padající směrem k hrdlu podél „radiálních“ drah.
a :
**Fig.30-b : Totéž, po překročení hrdla.
Trojúhelník byl obrácen.**
Na rovinné projekci [ r ,] je orientace trojúhelníka obrácena.
Představte si nyní čtyři testovací částice sledující radiální trajektorie, padající směrem k Schwarzschildově sféře, tvořící tetraedr. Viz obrázek 31.
Fig.31 : Čtyři částice padající na Schwarzschildovu sféru podél „radiálních“
geodetických v euklidovském 3d reprezentativním prostoru.
Fig.32 : Po „odražení“ od Schwarzschildovy sféry částice cestují
v dvojčecím prostoru. Tetraedr je obrácen (enantiomorfie)
Vraťme se k předchozí reprezentaci. Normálový vektor je také obrácen :
Fig.33 : Zvláštní = konstanta geodetická ve své reprezentaci
V množině (l = 1) geodetických, v ( r ,, z ) prostoru.