Obrácení koule a vnoření Kleinovy láhve

Obrácení koule

7. prosince 2004

stránka 1

Úvod.

Budeme v následujícím uvažovat uzavřené plochy, jako je koule, torus a některé další. Jde o plochy v tom smyslu, jak její chápe běžný člověk, tedy o objekty s dvěma rozměry, které znázorňujeme v trojrozměrném eukleidovském prostoru R3, což je náš prostor mentálního zobrazení. Tyto plochy mohou být znázorněny různými způsoby. Pokud se neprotínají samy sebe, říkáme, že jsou ponořené (v R3). Pokud se protínají, mluvíme o vnořeních a tento průnik se projeví přítomností množiny samoprůniku (self-intersection).

Při ponoření předpokládáme, že tečná rovina se spojitě mění a že plocha je bez singulárností, jako může být vrchol kužele. Naše plochy budou pravidelné.

Při vnoření vyžadujeme, aby v případě průsečnic samoprůniku byly dvě tečné roviny na plochách, které se protínají, různé.

Svět geometrie, jak jej představuje matematik, se značně liší od fyzického světa. Fakt, že plochy mohou procházet samy sebou, ho vůbec nevadí. Fyzický svět takovou věc neumožňuje. Ale je to možné v metafyzickém světě. V Bibli se čte, že když mrtví vstávají, budou mít „slavné tělo“. Můžou pak procházet vším a v principu dokonce i sami sebou. Když tedy přijde čas posledního soudního dne a vy se procházíte po Římě ve formě slavného těla, ztratíte se a hledáte náměstí Navona, můžete být v pokušení požádat o cestu jiného zrozeného člověka, který má stejný vzhled jako vy. Představme si, že osoba, kterou dotazujete, jde opačným směrem než to náměstí. Ve běžném fyzickém prostoru by jí pro ukázání správné cesty bylo třeba otočit se, aby ukazovala prstem. Ale pokud jde ve formě slavného těla, tato otáčka už není potřeba. Může ukázat prstem na svůj pupík a procházet sebe sama. Když se jeho ruka znovu objeví zezadu, bude mu stačit říct: „Je to tudy“. Procházením ruky skrz břicho vytvořil v tělesné obálce množinu samoprůniku složenou ze dvou kružnic, která zmizí, když se vrátí do normální konfigurace.

Když člověk zavře ústa, připevní si prádlo na nos a zanedbáme jeho ostatní přirozené otvory, jeho tělesná obálka nabývá topologie koule S2. Představme si zrozeného člověka ve formě slavného těla, jehož přirozené otvory jsou takto uzavřeny. Víme, že může procházet sám sebou, tedy že jeho tělesná obálka může přejít z ponoření do vnoření. Jedním z metafyzických problémů, který se tak vyskytl, bylo zjištění, zda může zrozený člověk ve formě slavného těla obrátit své tělo bez vzniku záhybů.

Malá poznámka na okraj. Kouzelníci znají „kouzelné kruhy“, které mohou navzájem pronikat „kouzelně“. Můžeme si představit, že by se plochy daly znázornit pomocí „kouzelného mřížkování“, kde by dvě plochy, znázorněné zde jedna černě a druhá růžově, mohly procházet jedna druhou bez problémů.

Kouzelné mřížkování

V každém případě je třeba přiznat, že mezi matematikou a kouzlem není často velký rozdíl. Před dvaceti lety jsem vytvořil komiksy: Topologicon. Jsou nyní vyprodány a téměř nedostupné, jen jako sběratelské předměty. Na jedné stránce bylo možné vidět toto:

Je velmi škoda, že nakladatelství Belin rozhodlo přestat s touto sbírkou. Je třeba říci, že s cenou výroby jen o něco více než jeden euro a prodáváním albumů za 13 eur (plus poštovné) prostřednictvím poštovního obchodu, přičemž zůstává zisk 12 eur, tedy zisk přesahující 92 procent ceny prodeje, toto neodpovídá zcela jasně obchodní strategii, zejména když jde o černobílé vydání.

Uvažujme kouli S2 ponořenou v R3. Předpokládáme, že její vnější strana je šedá a vnitřek má barvu staré růžové. Můžeme stisknout dva antipodální body, které si libovolně pojmenujeme „severní pól“ a „jižní pól“, až se dotknou v jednom bodě. To lze například provést s knedlíkem. Když jde o matematický knedlík (nevíme, zda knedlíky vstávají nebo ne v podobě slavného těla), po tom, co se obě polární oblasti dotknou v jednom bodě, mohou se navzájem procházet podél křivky samoprůniku, která má tvar kružnice. Předem řekneme, že tato plocha prošla katastrofou typu Do.

Můžeme být nyní v pokušení pokračovat v obrácení knedlíku, koule, pokračováním operace. Ale pak se vytvoří záhyb, který se zhorší v nehezkém záhybu, nebo přesněji v ploše zvrácení (obrázek d).

Na konci padesátých let zůstávala závažná otázka, zda lze obrátit metafyzické knedlíky bez vzniku záhybů, nevyřešená. Pravda řečeno, všichni si mysleli, že je to naprosto nemožné. Ale v roce 1957 matematik Stephen Smale (který získal Fieldovu cenu, ale za jiný výzkum) dokázal, že různá vnoření koule S2 v R3 tvoří jedinou množinu a že je vždy možné najít posloupnost spojitých deformací vnoření (tzv. regulární homotopii), která umožní přechod z jedné situace do druhé. Důsledkem bylo, že bylo možné přejít pomocí spojité posloupnosti vnoření z běžného ponoření koule S2 do antipodálního ponoření. Jednoduše řečeno: mělo by být možné obrátit kouli bez vzniku záhybů, za předpokladu, že se bude moci sama obrátit.

Smaleho šéf se jmenoval Raoul Bott. Ten se zeptal svého studenta, jak by měl postupovat, a Smale odpověděl, že nemá ani tušení, ale že jeho věta je naprosto nezranitelná. Smale neviděl v prostoru, ale to mu nevadilo (což je běžné u mnoha geometrů). A když jsem upřímně řekl, po dokončení své věty se zcela nezajímal o to, jak by se mělo věc realizovat, a okamžitě se věnoval jinému tématu, nechávaje své kolegy matematiky v úžasu. Považuji to za velmi nezdvořilé, takto vytvořit problém a nechat lidi potom deset let hledat řešení.

Je třeba říci, že je docela obtížné si představit vnoření v hlavě. Přesto známe plochy, které nelze v R3 znázornit jinak. Například Kleinova láhev.

Kleinova láhev

Znázorněna je zde s mřížkovým systémem souřadnic tvořeným dvěma množinami uzavřených křivek, jako u toru. Můžeme tak mřížkovat Kleinovu láhev bez vytvoření singulárního bodu mřížky. Ale jak je vidět, tato plocha se nutně protíná podél uzavřené křivky, kružnice. Nelze tedy kouli ponořit do R3. Já jsem to zkoušel, nevyšlo to. Můžeme ji jen vnořit. Díky mému umění kreslení se vám podaří přibližně si tento objekt představit. Ale když šlo o obrácení koule, bylo třeba zvážit mnohem složitější konfigurace. Způsob jejich znázornění nebyl zrovna pohodlný. Někteří používali plastelínu. Když jste je viděli, jak si mezi sebou povídají na konferencích, často se odstěhovali do koutku a otevírali před svými kolegy krabice na boty nebo čepice, obsahující objekty spíše monstrózní. Výkres nahoře připomíná nejvhodnější způsob, jak tyto objekty vytvářet a manipulovat s nimi: pomocí tzv. „měděného drátu“, slitiny, která je dostatečně pružná, aby se dala ohýbat bez obtíží, ale zároveň udržuje pružnost. Nejlepší způsob je tedy vytvořit body setkání křivek (doporučujeme tyčky o průměru 2 mm) a upevnit je pomocí drátěných svorek. Výhodou je, že je můžete posouvat, alespoň do chvíle, kdy považujete objekt za definitivně tvarovaný. Poté můžete posunutí odstranit pomocí malého množství lepidla.

Ve skutečnosti je docela vzácné, že bychom potřebovali použít Kleinovy láhve. Níže je fotografie Kleinovy láhve, kterou používám pro své osobní potřeby.

Tyto objekty, pokud máte nějaký smysl pro tvary, jsou docela krásné. Když jsem byl profesorem sochařství na École des Beaux-Arts v Aix-en-Provence, nechal jsem vyrobit několik kusů. Ale než jsem se k této technice dostal, bylo mnoho zkoušek, kdy jsme mísili měkký drát a karton, což dávalo výsledky esteticky sporné. Pamatuji si, že jednou jsem musel jet vlakem z Marseille do Paříže, abych předal mým přátelům, ztraceným matematikům, několik ploch, jejichž reprezentace jsem dokázal vytvořit dostatečně výstižně. Mezi nimi byla i plocha Boye, kde jsem umístil mapu zaměřenou na jediný pól. Nakonec vznikl úžasný objekt, který byl vystaven dvacet let v sále pi Palais de la Découverte v Paříži. Ale před rokem ředitelství muzea považovalo tuto plochu za zastaralou a nyní leží někde v podkroví nebo v sklepě. Doufám, že při přepravě nebyla zničena. Všechno to jen kvůli tomu, že teď nemůžete nikde vidět plochu Boye, jen v knihách nebo na CD-ROMu, kde jsem zaznamenal svých 18 vědeckých komiksů ve formátu pdf, včetně Topologiconu. Jak získat tento CD-ROM.

Ale vraťme se k této cestě, kterou jsem podnikl z Marseille do Paříže. Už jsem byl zatížen dvěma kufry a rozhodl jsem se vzít s sebou tři modely. Jediným řešením bylo je zavěsit kolem krku. Ale když jsem prošel nádražní halou a viděl, jak na mě lidé zírali, pochopil jsem, že si myslí, že mám co do činění s bláznivým, který z nemocnice získal povolení ven. Bylo by zbytečné se snažit jim to vysvětlit a musel jsem tento utrpení vydržet s maximální důstojností.

Zajímavé je, že lidé, kteří vytvářejí takové věci, jsou docela vzácní. V Americe byl matematik jménem Charles Pugh, který pracoval na oddělení matematiky v Berkeley. Budu se o něm později znovu zmínit. Pugh byl skvělý s drátem pro slepice, ale já jsem si osobně vždycky radši vybral techniku měděného drátu.

Vraťme se k problému obrácení koule. První, kdo se mu podařilo vyrovnat, byl geometr Anthony Phillips. Publikoval svou práci, tedy posloupnost kreseb, v časopise Scientific American v roce 1967. Existuje několik způsobů, jak obrátit kouli. Jeden spočívá v tom, aby každý bod koule přišel do souhlasu s jeho antipodálním bodem. Pak nabývá tvar plochy Boye. Vždy jsem snil o tom, že bych našel spónzora, který by mi pomohl postavit velkolepou sochu, která by znázorňovala zeměkouli, která by byla přehnutá do plochy Boye. Protože jsem nemohl objekt postavit, udělal jsem ilustraci na obálku Topologiconu:

Zeměkoule, která je přehnuta na plochu Boye

V takové konfiguraci, když vykopete díru na severním pólu, okamžitě vyjdete na druhé straně, na jižním pólu, protože tyto dva body jsou antipodální. Francouz, který vykopává díru ve svém sklepě, by se ocitl v Nové Zélandii atd.

Verze nalezená Anthony Phillipsem spočívá v popisu, jak se koule konfiguruje do dvoulistého výkresu plochy Boye, která je samozřejmě jednostranná. Kdybychom měli kouzelný produkt, procházenec, který by plochám dal schopnost procházet samy sebou, stačilo by spojit každý bod s jeho antipodálním bodem vláknem, které by se stále zmenšovalo, až by mělo nulovou délku. Pokud nemůžeme snadno tuto transformaci znázornit, můžeme se zaměřit na část koule, například její rovníkový okolí. To bylo provedeno v následujících animacích. Tato plocha, vybavená dvěma kruhovými okraji, připomíná kolo bicyklu. Načrtli jsme tři paprsky spojující body diametrálně protilehlé. Když zkrátíme délku těchto paprsků na nulu, tato dvoustranná páska se převede na dvoulistý výkres Möbiova pásu s třemi půlotočními. Níže jsou dvě pomalé a rychlé animace.

Tento Möbioův pás s třemi půlotočními je „rovníkové okolí“ plochy Boye. Na něm se navíjí rovník koule.

„Rovník“ plochy Boye

Zatímco dva póly koule se spojují na jediném pólu plochy. Tato plocha, stejně jako Kleinova láhev, nemůže být ponořena do R3. Může být znázorněna pouze jako vnoření. Má pak množinu samoprůniku ve tvaru šroubovice s třemi l