Obrácení koule a vnoření Kleinovy láhve

Obrácení koule

7. prosince 2004

Stránka 1

Úvod.

V následujícím textu budeme uvažovat uzavřené plochy, jako je koule, torus a některé další. Jedná se o plochy v tom smyslu, jak její chápe běžný člověk, tedy o objekty s dvěma rozměry, které znázorňujeme v trojrozměrném eukleidovském prostoru R3, což je náš prostor mentálního vnímání. Tyto plochy mohou být reprezentovány různými způsoby. Pokud se neprotínají samy sebe, říkáme, že jsou ponořené (v R3). Pokud se protínají, mluvíme o vnořeních a tento průnik se projeví přítomností množiny samoprůniku (self-intersection).

Při ponoření předpokládáme, že tečná rovina se spojitě mění a že plocha nemá singularity, jako může být například vrchol kužele. Naše plochy budou pravidelné.

Při vnoření požadujeme, aby v případě křivek samoprůniku byly dvě tečné roviny ploch, které se protínají, různé.

Svět geometrie, jak jej představuje matematik, se značně liší od fyzického světa. Pro něj není problém, že plochy mohou procházet samy sebou. Ve fyzickém světě takové věci nejsou možné. Avšak v metafyzickém světě je to možné. V Bibli se čte, že když zemřelí vstane z mrtvých, budou mít „slavné tělo“. Mohou pak procházet cokoli a v principu dokonce i sami sebe. Když tedy přijde čas posledního soudního dne a vy se procházíte po Římě ve formě slavného těla, ztratíte se a hledáte Piazza Navona, můžete být v pokušení požádat o cestu jiného zemřelého, který má stejný vzhled jako vy. Představme si, že osoba, kterou jste oslovili, jde opačným směrem než k této náměstí. Ve běžném fyzickém prostoru by jí bylo třeba otočit tělo, aby ukázala prstem správný směr. Ale pokud se pohybuje ve formě slavného těla, tato otáčka již není nutná. Může ukázat prstem na svůj pupík a procházet sebe sama. Když se jeho ruka znovu objeví z jeho zad, zbude mu jen říct: „je to tam.“ Procházejíc ruku skrz břicho vytvořil v tělesné obálce množinu samoprůniku složenou ze dvou kružnic, která zmizí, když se vrátí do své normální konfigurace.

Když člověk zavře ústa, připevní si přezku na nos, aby zablokoval nosní díry, a ignoruje ostatní přirozené otvory, jeho tělesná obálka nabývá topologii koule S2. Představme si, že by zemřelý byl vysvobozen ve formě slavného těla, jehož přirozené otvory jsou blokovány. Víme, že může procházet sám sebou, tedy že jeho tělesná obálka může přejít z ponoření do vnoření. Jedním z metafyzických problémů, který se tak vyskytl, bylo, zda může být zemřelý ve formě slavného těla obrácen bez vzniku záhybů.

Malá poznámka na okraj. Kouzelníci znají „kouzelné kruhy“, které mohou navzájem pronikat „kouzelným způsobem“. Můžeme si představit, že by se plochy daly znázornit pomocí něčeho jako „kouzelného mřížky“, kde by dvě plochy, zobrazené zde jedna černě a druhá růžově, mohly procházet jedna druhou bez obtíží.

Kouzelná mřížka

V každém případě je třeba přiznat, že mezi matematikou a kouzlem je často jen málo rozdílů. Před dvaceti lety jsem vytvořil komiksy: Topologicon. Jsou nyní vyprodané a nedostupné, kromě jako sběratelské položky. Na jedné ze stránek bylo možné vidět toto:

Je velmi škoda, že nakladatelství Belin rozhodlo o zastavení této série. Je třeba říci, že s výrobní cenou jen o něco více než jeden euro a prodáváním knih za 13 eur (plus poštovné), prostřednictvím poštovního objednávání, přičemž zůstává zisk 12 eur, tedy zisk přesahující 92 procent ceny prodeje, toto neodpovídá zcela jasné obchodní strategii, zejména když jde o černobílé ilustrace.

Zvažme kouli S2 ponořenou v R3. Předpokládáme, že její vnější strana je šedá a vnitřní strana má barvu staré růžové. Můžeme stisknout dva antipodní body, které si libovolně označíme „severní pól“ a „jižní pól“, až se dotknou v jednom bodě. To můžeme například udělat s knedlíkem. Když jde o matematický knedlík (nevíme, zda knedlíky vstávají z mrtvých ve formě slavného těla), mohou se po kontaktu v jednom bodě protáhnout po křivce samoprůniku, která má tvar kružnice. Předem řekneme, že tato plocha prošla katastrofou typu Do.

Můžeme být v pokušení pokusit se obrátit knedlík, kouli, pokračováním operace. Ale pak vznikne záhyb, který se zhorší v nepříjemném záhybu nebo přesněji v ploše zpětného ohnutí (obrázek d).

Na konci padesátých let zůstávalo závažné otázka, zda lze obrátit metafyzické knedlíky bez vzniku záhybů, nevyřešená. V pravdě řečeno, všichni si mysleli, že je to naprosto nemožné. Ale v roce 1957 matematik Stephen Smale (který získal Fieldovu medaili, ale za jiný výzkum) dokázal, že různá vnoření koule S2 v R3 tvoří jedinou množinu a že je vždy možné najít posloupnost spojitých deformací vnoření (tzv. regulární homotopii), která umožní přejít z jedné konfigurace do druhé. Důsledkem bylo, že bylo možné přejít pomocí spojité posloupnosti vnoření z běžného ponoření koule S2 do antipodního ponoření. Jednoduše řečeno: mělo by být možné obrátit kouli bez vzniku záhybů, za předpokladu, že se jí dovolí obrátit se sama.

Smaleův školitel se jmenoval Raoul Bott. Ten se zeptal svého žáka, jak by se na to mělo podívat, a Smale odpověděl, že nemá ani tušení, ale že jeho věta je naprosto nezranitelná. Smale neviděl v prostoru, ale to ho nevadilo (což je běžné u mnoha geometrů). A když jsme upřímní, po dokázání své věty se mu vůbec nechtělo zajímat, jak by se mělo věc realizovat, a okamžitě se zaměřil na jiný problém, nechávaje své kolegy matematiky v úplné zmatenosti. Považuji to za velmi nezdvořilé, vytvořit takový problém a pak nechat lidi řešit jeho řešení deset let.

Je třeba říci, že je poměrně těžké si představit vnoření v mysli. Přesto známe plochy, které nelze v R3 znázornit jinak než takto. Například Kleinova láhev.

Kleinova láhev

Zde je znázorněna pomocí sítě souřadnic tvořené dvěma množinami uzavřených křivek, stejně jako torus. Můžeme takto sítěm zkonstruovat Kleinovu láhev bez vzniku singularity sítě. Ale jak vidíme, tato plocha nutně prochází sama sebou po uzavřené křivce, kružnici. Nelze tedy ponořit Kleinovu láhev do R3. Zkoušel jsem to, nevyšlo to. Lze ji pouze vnořit. Díky svým kreslířským schopnostem se vám podaří přibližně si tento objekt představit. Ale když šlo o obrácení koule, bylo třeba zvážit mnohem složitější konfigurace. Způsob jejich znázornění nebyl příliš praktický. Někteří používali modelovací hmotu. Když jste je viděli, jak si mezi sebou povídají na konferencích, často se odstoupili a otevřeli před svými kolegy krabice na boty nebo čepice, obsahující objekty více či méně zvláštní. Výkres výše připomíná nejpraktičtější způsob, jak tyto objekty vytvářet a manipulovat s nimi: pomocí tzv. měděného drátu, slitiny, která je dostatečně pružná, aby se dala ohýbat bez obtíží, ale zároveň udržuje svou pružnost. Nejlepší způsob je pak vytvořit body setkání křivek (doporučujeme tyčky o průměru 2 mm) a upevnit je pomocí drátových svorek. Výhodou je, že je lze posouvat, alespoň