Obrácení koule
Obrácení koule
- prosince 2004
strana 3
Základní katastrofy.
Už jsme výše uvedli, že ponoření, která zvažujeme, byla taková, že tečné roviny podél množiny sebe-překryvů, pokud taková existuje, zůstávají rozlišené. Je pak možné přejít z jednoho ponoření do druhého pomocí čtyř základních katastrof. Morin jim přidělil jména, která jsou uvedena na následujících obrázcích. První z nich vede ke vzniku uzavřené křivky (a jejímu zániku, což je operace inverzní). To se děje, když si ponoříte loket do vody ve vaně, abyste si ověřili její teplotu (vlevo). Obrázek a4: povrchy se dotýkají v jednom bodě. Na a5 byla vytvořena křivka sebe-překryvu. V dalším textu budeme tuto operaci nazývat „katastrofa lokte“.
„Katastrofa lokte“: vznik – zánik uzavřené křivky
Druhá katastrofa je „katastrofa mandarinky“:
Katastrofa spočívající ve vzniku a zániku „kousku mandarinky“.
Pokud se na tyto obrázky podíváte zleva doprava, uvidíte, jak se parabolický válec přibližuje k dvojhrannému úhlu. Množina sebe-překryvu se skládá ze dvou navzájem oddělených parabolických křivek a samozřejmě hrany dvojhranného úhlu. Na středním obrázku se hrana dvojhranného úhlu dotýká jedné z generátorů válce. Tato hrana je v tomto bodě tečná ke válci. Množina sebe-překryvu se skládá ze dvou parabolických křivek, které se dotýkají v jednom bodě a zároveň se dotýkají hrany dvojhranného úhlu. Na obrázku vpravo pokračuje válec ve svém pohybu. Křivka sebe-překryvu se změnila. Skládá se z hrany dvojhranného úhlu a parabolických křivek, které se navzájem protínají ve dvou bodech umístěných na hraně dvojhranného úhlu. Můžeme si představit i opačný případ: parabolický válec je nehybný a „plochy řezu“ se pohybují. Vpravo by to vypadalo jako dva rány sekáčem nebo dva řezy pily. Tvar odříznutého kousku je také znázorněn. Morin jej srovnával s „kouskem mandarinky“, což je velmi výstižná představa.
Třetí katastrofa je „katastrofa kalhot“:
Katastrofa „kalhot“
Obrázky jsou dostatečně výstižné. Zleva doprava se kalhoty ponořují do vody. Vlevo pták prochází pod koleny, ale ryba zůstává uzavřená v jedné noze. Vpravo prochází ryba, ale cesta, kterou dříve procházel pták, zmizela. Ve středu je mezistav. Důležité je místní změna křivky průniku, což odpovídá tomu, co se nazývá „chirurgie“, změna spojení oblouků křivky. Zkuste si tuto transformaci dobře osvojit, protože se ukáže jako nejnáročnější při provádění a pozorování v homotopii obrácení koule. Důležité si zapamatovat, že tato katastrofa zároveň uzavírá jednu cestu a otevírá jinou v kolmém směru.
Čtvrtá a poslední katastrofa je „inverze čtyřstěnu“:
Katastrofa invertující čtyřstěn
Křivka sebe-překryvu se skládá ze čtyř „přímek“, které jsou prodloužením čtyř hran čtyřstěnu. Na levém obrázku je čtyřstěn izolován a jeho šedé stěny jsou obráceny ven. Na pravém obrázku je opak: stěny jsou růžové. Ve středu je mezistav: čtyřstěn je zmenšen na bod Q (čtyřnásobný, protože je průsečíkem čtyř ploch).
Pomocí těchto čtyř katastrof budeme uvažovat o obrácení koule prostřednictvím spojité posloupnosti příčných ponoření. Tato varianta je dílem matematika (nemocného) Bernarda Morina. Naše setkání si zaslouží být popsáno. Jednoho dne technik z fakulty humanitních věd požádal, abych přinesl své umělecké schopnosti konferenci, která měla být o geometrii. Přišel jsem na schůzku bez jakéhokoli podezření. Vždycky jsem byl schopen dobře vidět objekty v prostoru a když náš profesor vyšší matematik zadával úlohu z deskriptivní geometrie, já nakreslil průsečík a zároveň předložil perspektivní pohled, zatímco on formuloval zadání. Ale tentokrát se věci vyvíjely jinak.
Nakreslit výše uvedené obrázky mi nezabralo žádné úsilí. Ale když jsem se musel snažit je integrovat do schématu, které zahrnovalo obrácení koule, nakonec jsem úplně ztratil přehled před celou množinou ploch, které byly jedna za druhou. Rozčilený jsem se vrátil k tomu zvláštnímu člověku, který, i když byl slepý, se v tomto rozprostření tvarů cítil mnohem lépe než já. Následně jsem několik měsíců navštěvoval jeho přednášky. Dialog byl poměrně složitý. Z jeho strany měl jen slovo. Z mé strany jsem mohl buď popsat své nákresy, nebo mu předat modely, které jsem vytvořil doma nebo později na místě. Tyto dialogy byly absolutně surrealistické, například:
- Zkuste si představit dvě křivky, které se spojí a vytvoří něco jako výtržník na míchání vajec.
Přes obtížnou povahu tohoto člověka mi tyto setkání zůstaly nezapomenutelné. Nakonec jsem si zvykl si před každou pracovní seancí dát dvě aspiriny jako prevence. Jeho charakter můžeme shrnout podle přezdívky, kterou mu jeho manželka přidělila: „Bůh zaslepený“, což je postava z komiksu Hergého „Tintin v Tibetu“. Morinovy náladové nároky měly stejně legendární, jako neodvolatelné charakter. Někdy se zmínil o některých svých nepřátelích, kteří už byli mrtví, a říkal:
- Někdy jim vyslat malou kletbu do světa mrtvých, když si myslím, že když to neublíží, aspoň to nemůže užitečně pomoci.
Zpět k návodu Zpět na úvodní stránku
Počet návštěv této stránky od 8. prosince 2004: