Obrácení koule
Obrácení koule
- prosince 2004
strana 3
Základní katastrofy.
Už jsme výše uvedli, že ponoření, která zvažujeme, jsou taková, že tečné roviny podél jejich množin překrývání, pokud takové existují, zůstávají rozlišené. Je pak možné přejít z jednoho ponoření do druhého pomocí čtyř základních katastrof. Morin jim přidělil jména, která jsou uvedena na následujících obrázcích. První z nich vede ke vzniku uzavřené křivky (a jejímu zániku, což je inverzní operace). To se děje, když si do vany zahřejete loket, abyste zjistili teplotu vody (vlevo). Obrázek a4: plochy se dotýkají v jednom bodě. V a5 byla vytvořena křivka překrývání. V dalším textu budeme tuto operaci nazývat „katastrofa lokte“.
„Katastrofa lokte“: vznik – zánik uzavřené křivky
Druhá katastrofa je „katastrofa mandarinky“:
Katastrofa spočívající ve vzniku a zániku „kousku mandarinky“.
Pokud se na tyto obrázky podíváte zleva doprava, uvidíte, jak se parabolický válec přibližuje k dvojhrannému úhlu. Množina překrývání se skládá ze dvou oddělených parabolických křivek, a samozřejmě z hrany dvojhranného úhlu. Na středním obrázku je hrana dvojhranného úhlu v kontaktu s jednou z generátorů válce. Tato hrana je v tomto bodě tečná k válci. Množina překrývání se skládá ze dvou parabolických křivek, které se dotýkají v jednom bodě a jsou zároveň spojeny s hranou dvojhranného úhlu. Na pravém obrázku pokračuje válec ve svém pohybu. Křivka překrývání se změnila. Skládá se z hrany dvojhranného úhlu a parabolických křivek, které se protínají ve dvou bodech, které leží na hraně dvojhranného úhlu. Naopak můžeme představit, že parabolický válec je nepohyblivý a že se pohybují dvě „řezné roviny“. Pravý obrázek připomíná dva údery sekery nebo dvě řezy pily. Také je znázorněn třísk. Morin jej srovnával s „kouskem mandarinky“, což je velmi výstižná představa.
Třetí katastrofa je „katastrofa kalhot“:
Katastrofa „kalhot“
Obrázky jsou dostatečně výstižné. Zleva doprava se kalhoty ponořují do vody. Vlevo pták prochází pod koleny, ale ryba zůstává uzavřená v jedné noze. Vpravo prochází ryba, ale cesta, kterou dříve používal pták, zmizela. Ve středu je mezistav. Důležité je místní změna křivky průniku, což odpovídá tomu, co se nazývá „chirurgie“, změna spojení oblouků křivky. Zkuste si tuto transformaci dobře osvojit, protože se ukáže být nejnáročnější při provádění a pozorování v homotopii obrácení koule. Důležité je si zapamatovat, že tato katastrofa zároveň uzavírá jednu cestu a otevírá jinou v kolmém směru.
Čtvrtá a poslední katastrofa je „inverze čtyřstěnu“:
Katastrofa invertující čtyřstěn
Křivka překrývání se skládá ze čtyř „přímek“, které jsou prodloužením čtyř hran čtyřstěnu. Na levém obrázku je izolován tento čtyřstěn, který ukazuje své šedé stěny ven. Vpravo je opak: stěny jsou růžové. Ve středu je mezistav: čtyřstěn je zmenšen na bod Q (čtyřnásobný, protože se nachází na průsečíku čtyř ploch).
Pomocí těchto čtyř katastrof budeme nyní uvažovat o obrácení koule prostřednictvím spojité posloupnosti příčných ponoření. Tato varianta je dílem matematika (nemocného) Bernarda Morina. Naše setkání si zaslouží, aby bylo popsáno. Jednoho dne mi technik z fakulty humanitních věd požádal, abych přinesl své umělecké schopnosti k přednášce o geometrii. Přišel jsem na schůzku bez jakéhokoli podezření. Vždy jsem byl dostatečně zručný při vnímání objektů ve trojrozměrném prostoru, a když náš profesor matematiky vyžadoval řešení úlohy z deskriptivní geometrie, já jsem zakreslil průsečík a zároveň vytvořil perspektivní pohled, zatímco on formuloval zadání. Ale tentokrát se věci vyvíjely jinak.
Nakreslit výše uvedené obrázky mi nezabralo žádné úsilí. Ale když jsem se musel potýkat s jejich integrací do schématu, které zahrnovalo obrácení koule, nakonec jsem úplně ztratil přehled, čelil jsem celému souboru ploch, které byly jedna za druhou. Rozhořčen jsem se vrátil k tomuto zvláštnímu člověku, který, i když byl slepý, se v tomto rozprostření tvarů cítil lépe než já. Následně jsem několik měsíců navštěvoval jeho přednášky. Dialog byl poměrně složitý. Z jeho strany měl pouze slovo. Z mé strany jsem mohl buď popisovat své nákresy nebo mu předávat modely, které jsem si vytvořil doma nebo později na místě. Bylo by vhodné tyto dialogy nahrát – naprosto surreální, například:
- Zkuste si představit dvě křivky, které se spojí do podoby bičíku na míchání vajec.
Navzdory obtížné osobnosti tohoto člověka mi tyto setkání zůstaly nezapomenutelné. Nakonec jsem si zvykl užívat dvě aspiriny před každou pracovní seancí jako prevence. Jeho charakter může být shrnut podle přezdívky, kterou mu přezdívka jeho manželka přidělila: „Bůh zasvěcený“, postava z komiksu Hergého „Tintin v Tibetu“. Morinovy náladové vzpomínky měly stejně legendární, jako neodvolatelné. Někdy se zmínil o některých svých nepřátelích, kteří už byli mrtví, a říkal:
- Někdy jim vyslat malou kletbu do nebes, a říkám si, že i když to nepříjemné nezaviní, tak alespoň nemůže být pro ně nějakého dobrého.
Předchozí stránka Další stránka
Zpět k návodu Zpět na úvodní stránku
Počet návštěv této stránky od 8. prosince 2004: