Obrácení koule – matematická katastrofa
Obrácení koule
- prosince 2004
strana 4
Verze Bernarda Morina
Pro stažení PDF verze článku z roku 1979 od B. Morina a J.P. Petit, publikovaného v časopise Pour la Science
Obrácení koule (2,8 MB)
Začneme s koulí, jejíž šedá strana je směřující ven a růžová strana je uvnitř. V b a c přiblížíme póly k sobě. Pak se pláště navzájem pronikají podle „katastrofy lokte“. Vznikne uzavřená křivka samoprůniku. Vpravo dole tři půlky umožňují lépe pochopit výslednou konfiguraci. V tomto okamžiku koule připomíná nějaký „duševní člun“ s „pásem“ a „podlahou“ s dvojitou stěnou.
První krok: „katastrofa lokte“. Vznik uzavřené křivky samoprůniku
Druhá operace: další katastrofa lokte, vznik druhé uzavřené křivky.
Druhý vznik uzavřené křivky samoprůniku
Pro tento účel se „duševní člun“ ohnul s rotací, což umožnilo přiblížit dvě protilehlé části „páse“ k sobě. Následující obrázek je výsledkem dvou katastrof vedoucích k vzniku „příček mandarinky“.
Po vzniku dvou „příček mandarinky“
Vlevo jsou provedeny řezy v modelu. Uprostřed je zobrazen způsob, jakým se dva válce, jejichž průřez v místním měřítku připomíná řecké písmeno „gamma“, navzájem pronikly. Pamatujme si, že katastrofa vzniku „příček mandarinky“ probíhala tak, že byla „kmen“ řezána dvěma rovinami tvořícími dvojhran. Každá z těchto válcových struktur, jejíž průřez je ve tvaru „gamma“, obsahuje jak zaoblený průřez, tak i dvojhran. Podívejte se pozorně na obrázek i. V j je nakreslen celý samoprůnik. Největší část uzavřené křivky pochází z první „katastrofy lokte“, která převedla kouli na „duševní člun“. Po vzniku dvou příček mandarinky vznikne složitější celková struktura, jejíž část je znázorněna v j. V j" je vidět, že tato struktura může být porovnána s sestavením dvou „příček mandarinky“ na dvě nesousedící hrany čtyřstěnu.
Všechno to bude jednou mnohem jednodušší pochopit, až budu schopen vytvořit animace. Technicky to pro mě není žádný problém. Je to jen otázka času. Málo lidí dokáže nejen vidět ve trojrozměrném prostoru, tedy číst tento kód používající čáry, tečky, barvy, stíny a odrazy, ale také v hlavě spojitelně představovat transformace, představující pohyb. Doufám, že jednou budu mít čas všechno toto vytvořit. Všimněme si, že by bylo možné použít polyedrické modely, jak jsem to udělal, když jsem ukazoval, jak lze přeměnit Crosscap na Boyovu plochu. To je budoucnost. Ale tyto modely je třeba vymyslet. Dále najdete optimalizovanou polyedrickou verzi centrálního modelu této transformace, kterou si vymyslel Bernard Morin (pamatujme, že je slepý!), spolu s postupem, jak jej sám vytvořit z výkresu.
Proč jsem tyto věci neprošel dál? Řekl bych: kvůli nedostatku „možností“. Neexistuje žádný matematický časopis, který by přijal takové práce. V roce 1975–78 jsme to mohli provést prostřednictvím několika poznámek v Comptes Rendus Akademie des Sciences v Paříži, které pravděpodobně nečetl nikdo jiný než odborníci. Ale bylo to proto, že akademik André Lichnérowicz osobně zájem měl o tyto práce. Dnes je již mrtvý. Protože tyto práce byly již v roce 1975 úplně dokončeny, bylo by bylo vhodné vyrobit animovaný film z mých kresb. Protože jsem pracoval v animaci, byl jsem schopen koordinovat takový projekt. Ale bylo nemožné získat finanční podporu od CNRS a nakonec americký matematik Nelson Max, který vycházel z modelů postavených jeho kolegou Charlesem Pughem (této verze obrácení koule), a používaje výkonný počítač, dokázal vytvořit první film. Ale to není ani první, ani poslední případ, kdy Francouzi, kteří nezískali žádný odraz své práce, byli předčeni zahraničními kolegy, kteří byli lépe organizovaní a lépe podporováni.
Přejdeme k třetí fázi, která je nejobtížnější pochopit.
Příprava dvou „katastrof kalhot“
Na obrázku k je dobře vidět dva konce „nohou kalhot“, jejichž detail je uveden v předním plánu k'. Bílá šipka ukazuje „procházení mezi nohama“. Tato transformace je opravdu obtížná pochopit. Přidal jsem kresbu m, abych byl lépe pochopen. V l jsem pomocí čárkovaných čar znázornil křivku samoprůniku, která je celá zobrazena v l'. Jeden přechod (ten, kterým prochází bílá šipka) se uzavře. Tento pohyb uzavření souvisí s výstupem části křivky samoprůniku na dvou místech. Tyto části křivky se přiblíží k sobě, každá na jedné z čar patřících k „příčkám mandarinky“. Když dojde ke kontaktu, dojde k „chirurgii“. Obtížnost spočívá v tom, že po prozkoumání čtyř základních katastrof na předchozí straně je třeba je schopný přenést pod různými úhly, až se „vypne“ krk. Na obrázku n je znázorněn kritický okamžik, kdy dochází k „chirurgii“ (střední situace transformace), kdy se změní způsob spojení částí křivky. Víme, že tato „katastrofa kalhot“ uzavře jeden přechod a otevře jiný. Původní přechod je znázorněn bílou šipkou. Existuje ale ještě jiný, který by bylo možné spatřit pod stejným úhlem, kdybychom model otočili o 180° kolem svislé osy. Tyto šipky tvoří jedinou. Před provedením těchto katastrof je stále možné procházet tímto „zachyceným duševním člunem“. Když tyto katastrofy dojde k účinku, tento přechod již nebude možný. Na druhé straně vzniknou dva nové přechody. Ale kde? Jaké části prostoru jsou zasaženy? Tyto přechody spojí vnitřek „příček mandarinky“ s vnějším světem. V l' je vidět tyto „příčky mandarinky“. Přejdeme k dalšímu kroku.
Zavření přechodu. K dvojité kritické situaci
V o jsou znázorněny dvě katastrofy „kalhot“ ve dvou různých stádiích. Jeden přechod je úplně uzavřen. Nacházíme se v kritické situaci, právě předtím, než se změní způsob spojení oblouků křivky. Vpravo (detail na obrázku o') přechod je ještě pouze uzavírá. Proto je tvar křivky samoprůniku o" vpravo a vlevo různý. Na obrázcích p, p' a p" je kritická situace („střední situace“ transformace) dosažena na obou stranách. Na následující desce jsou chirurgie již účinné. Trubky, které jsme viděli na obrázku p", spojující „příčky mandarinky“ s vnějším světem, jsou nyní vytvořeny:
Obě „katastrofy kalhot“ již působí. Přechody (bílé šipky) jsou otevřené.
Nyní bude pokračováno práci na dolní části modelu, jejíž detail je uveden v r. Podívejme se pozorně na tuto část plochy. Vidíme dvě části parabolických válců, které se protínají ve dvou navzájem kolmých směrech. Na spodní části r je přístup k části, která je směřující k pozorovateli. Budeme uvažovat o posunu těchto dvou válců jeden vůči druhému. To by mělo mít za následek uzavření tohoto přechodu a otevření jiného přechodu ve směru kolmém („zprava doleva“). Zde poznáme novou „katastrofu kalhot“. Pokud tento svislý posun těchto částí parabolických válců proběhne, opět se dostaneme do kritické situace s přechodem způsobu spojení plášťů. Ve skutečnosti však kvůli úsporě zastavíme „proces“ v kritickém okamžiku, ve „střední situaci“, kdy se přechod směřující k pozorovateli uzavře a přechod ve kolmém směru ještě nebyl otevřen. Udělejme to.
Nová katastrofa kalhot, zahájená v L, zastavená vpravo, v kritickém okamžiku.
Na L provedeme „tlak“ na válec, který má svou růžovou stranu venku, a posuneme jej nahoru. V c' vidíme dopad tohoto pohybu na celý samoprůnik: oblouky křivky začínají se přibližovat. Když bude kritický okamžik dosažen, tato část celku bude připomínat „bílý kámen na otočení vajec“, znázorněný na obrázku. Obrázky vpravo, t, t', t": kritický okamžik je dosažen, tedy „střední okamžik katastrofy“. V t" je tvar celku samoprůniku, jehož spodní část odpovídá našemu bílému kameni na otočení vajec. Obrázek t' znázorňuje malý čtyřstěnný objem. V t''' je znázorněn průnik čtyř plášťů.
Jděte si dát aspirin.
Ve verzi obrácení koule by všechny transformace a katastrofy měly být dokončeny. Ale budeme zastavit tu, kterou jsme právě zmínili, ve střední konfiguraci, „kritické“. Poté začneme novou katastrofu, kterou jsme dosud nepoužili: tou, která obrací čtyřstěn. I zde však zastavíme ve střední situaci, kdy je čtyřstěn zmenšen na bod. Pojďme na to!
Poslední katastrofa, zastavená ve středním stupni: když je čtyřstěn zmenšen na čtyřnásobný bod Q
V t''' je evokována konfigurace čtyř plášťů, jejíž celkový samoprůnik obsahuje objem připomínající čtyřstěn. V u" byl čtyřstěn zmenšen na bod (čtyřnásobný, protože se protínají čtyři pláště). Vlevo je vytvořen „čtyřouškový model Morina“. Přední plán ukazuje celkový samoprůnik s „bílým kamenem na otočení vajec“ dole a čtyřmi „ušima zajíce“ nahoře. Pokud trochu deformujeme plochu, aniž bychom prováděli nové katastrofy, dostaneme vpravo centrální čtyřouškový model Morina. Tento model má čtyřnásobnou symetrii. Pokud bychom provedli otočení o 90° kolem svislé osy symetrie, dostali bychom stejný obrázek, ale s vyměněnými barvami. Šedá se stane růžovou a naopak. Můžeme tedy říci, že práce je dokončena. Skutečně, pokud bychom chtěli nakreslit úplnou homotopii, stačilo by pomocí animace otočit tento centrální model o 90°. Poté bychom mohli opakovat všechny kresby, které jsme vytvořili, zpětně s vyměněnými barvami. Nakonec bychom získali vložení koule, která má svou růžovou barvu venku. Ale matematika je škola lenosti nebo úspory, podle toho, jak na to koukáte. Protože práce nás dovedla k objektu s čtyřnásobnou symetrií, můžeme se zastavit a říci, že operace byla úspěšně provedena.
Na následující desce jsem se snažil popsat centrální otevřený model Morina co nejpodrobněji. Existuje model s „uzavřenými ušima“, který jsem popsán v jiném článku v Akademii, ale na něj se teď nebudu vracet.
Podrobný popis centrálního modelu Morina s čtyřmi ušima
Později jsem objevil polyedrickou reprezentaci centrálního modelu s čtyřmi ušima. Ve skutečnosti tento model nemá ani „horeň“, ani „doleň“. Pro pohodlnost kresby a animace (tyto obrázky jsem získal pomocí počítačového návrhového softwaru, který jsem vyvinul před začátkem osmdesátých let) následující animovaný GIF ukazuje tento model s čtyřnásobným bodem směřujícím nahoru. Viditelný je také čtyřnásobný bod:
Moje polyedrická verze modelu s čtyřmi ušima
Jak sestavit tento model pomocí výkresu
Prvky výkresu (vytisknout a naskenovat na čtyři stránky silného papíru ve dvou barvách)
V původní animaci byl objekt „zrcadlově“ otočen ve srovnání s výše uvedeným pohledem. Takže „zhora“ měl tvar gama kříže, celkový vzhled mohl připomínat „kultura domov“ pro nějakou novonacistickou stranu. Raději jsem objekt obrátil, abych nezanechal špatné myšlenky architektům z extrémního pravice. Klikněte sem, abyste získali všechny informace o tom, jak si tento objekt sám sestavit