Obrácení koule – matematická katastrofa

Obrácení koule

8. prosince 2004

strana 4

Verze Bernarda Morina

Pro stažení PDF verze článku z roku 1979 od B. Morina a J.P. Petit, publikovaného v časopise Pour la Science

Obrácení koule (2,8 MB)

Vycházíme z koule, jejíž šedá strana je směřující ven a růžová strana je uvnitř. Na obrázcích b a c přiblížíme póly k sobě. Následně se plochy navzájem pronikají podle „katastrofy lokte“. Vzniká uzavřená křivka se samořezem. Vpravo dole tři poloviny řezů umožňují lépe pochopit výslednou konfiguraci. V tomto okamžiku koule připomíná něco jako „nafukovací člun“ s „pásem“ a „dvojitou podlahou“.

První krok: „katastrofa lokte“. Vznik uzavřené křivky se samořezem

Druhá operace: další katastrofa lokte, vznik druhé uzavřené křivky.

Druhý vznik uzavřené křivky se samořezem

Pro tento účel se „nafukovací člun“ ohnul s otáčivým pohybem, což umožnilo přiblížit dvě protilehlé části „pásu“ k sobě. Následující obrázek je výsledkem dvou katastrof, které vedly ke vzniku „půlky mandarinky“.

Po vzniku dvou „půlek mandarinky“

Vlevo jsme provedli řezy v modelu. Uprostřed je zobrazen způsob, jakým se dvě válce, jejichž průřez v místním měřítku připomíná řecké písmeno „gamma“, navzájem pronikly. Pamatujme si, že katastrofa vzniku „půlek mandarinky“ probíhala tak, že „kmen“ byl řezán dvěma rovinami tvořícími dvojrovinu. Každá z těchto válcových struktur s průřezem ve tvaru „gamma“ obsahuje zároveň zaoblený průřez i dvojrovinu. Podívejte se pozorně na obrázek i. Na obrázku j jsme nakreslili celou množinu samořezu. Největší část uzavřené křivky pochází z první „katastrofy lokte“, která přeměnila kouli na „nafukovací člun“. Po vytvoření dvou půlek mandarinky dostaneme složitější množinu, jejíž část je znázorněna na obrázku j. Na obrázku j" vidíme, že tato struktura může být porovnána s sestavením dvou „půlek mandarinky“ na dvou nesousedících hranách čtyřstěnu.

Všechno to bude jednou mnohem jednodušší pochopit, až budu schopen vytvořit animace. Technicky to pro mě není žádný problém. Je to jen otázka času. Málo lidí dokáže nejen vidět ve třech dimenzích, tedy číst tento kód používající čáry, tečky, barvy, stíny a odrazy, ale také v hlavě spojit transformace, představovat pohyb, který je navržen. Doufám, že jednou budu mít čas všechno toto provést. Všimněme si, že můžeme použít polyedrické modely, jak jsem to udělal, když jsem ukazoval, jak převést Crosscap na Boyovu plochu. To je budoucnost. Ale tyto modely je třeba vynalézt. Níže najdete optimalizovanou polyedrickou verzi centrálního modelu této transformace, kterou si vymyslel Bernard Morin (pamatujme, že je slepý!), spolu se způsobem, jak si jej sám vytvořit z výkresu.

Proč jsem tyto věci neprošel dál? Řekl bych: kvůli nedostatku „možností“. Neexistuje žádná matematická revue, která by přijala takové práce. V roce 1975–78 jsme to mohli udělat prostřednictvím několika poznámek v Comptes Rendus Akademie des Sciences v Paříži, které jistě nečetlo mnoho lidí. Ale dělalo to proto, že akademik André Lichnérowicz osobně zájem měl na těchto pracích. Dnes už je mrtvý. Protože tyto práce byly již v roce 1975 úplně dokončené, bylo by vhodné vytvořit animovaný film z mých kresb. Protože jsem pracoval v animaci, byl jsem schopen koordinovat takový projekt. Ale bylo nemožné získat financování od CNRS a nakonec americký matematik Nelson Max, inspirovaný modely postavenými jeho kolegou Charlesem Pughem (stejné verze obrácení koule), a používající výkonný počítač, se podařilo vytvořit první film. Ale to není ani první, ani poslední případ, kdy Francouzi, kteří nezískali žádnou odezvu na své úsilí, byli předčeni zahraničními kolegy, kteří byli lépe organizovaní a lépe podporováni.

Přejděme k třetí fázi, která je nejtěžší pochopit.

Příprava dvou „katastrof kalhot“

Na obrázku k je dobře vidět dva konce „nohou kalhot“, jejichž detail je uveden v přední části k'. Bílá šipka ukazuje „procházení mezi nohama“. Tato transformace je opravdu obtížná pochopit. Přidal jsem kresbu m, aby bylo lépe pochopitelné. Na obrázku l jsem pomocí čárkovaných čar znázornil křivku samořezu, která je celá zobrazena na obrázku l'. Jeden přechod (ten, kterým prochází bílá šipka) se uzavře. Tento pohyb uzavření je spojen s výstupem části křivky samořezu na dvou místech. Tyto části křivky se přiblíží k sobě, každá na jednu z čar patřících k „půlkám mandarinky“. Když dojde ke kontaktu, proběhne chirurgie. Obtížnost spočívá v tom, že po prohlédnutí čtyř základních katastrof na předchozí straně je třeba být schopen je přenést pod všemi úhly, až do toho, že si musíte „vyšroubovat“ krk. Na obrázku n je znázorněn kritický okamžik, kdy dochází k chirurgii („střední situace“ transformace), kdy se změní způsob spojení částí křivky. Víme, že tato „katastrofa kalhot“ uzavře jeden přechod a otevře jiný. Původní přechod je znázorněn bílou šipkou. Ale existuje jiný, který by byl viditelný z téhož úhlu, kdybychom model otočili o 180° kolem svislé osy. Tyto šipky tvoří jednu. Před provedením těchto katastrof je stále možné se pohybovat v tomto „zahnutém nafukovacím člunu“. Když tyto katastrofy proběhnou, tento přechod bude možný. Naopak se vytvoří dva nové přechody. Ale kde? Jaké části prostoru jsou ovlivněny? Tyto přechody spojí vnitřek půlek mandarinky s vnějším světem. Na obrázku l' je vidět těchto půlek mandarinky. Přejděme k dalšímu kroku.

Uzavření přechodu. K dvojí kritické situaci

Na obrázku o jsou znázorněny dvě katastrofy „kalhot“ ve dvou různých stádiích. Jeden přechod je úplně uzavřen. Jsme v kritické situaci, právě předtím, než se změní způsob spojení oblouků křivky. Vpravo (detail na obrázku o') je přechod ještě pouze uzavírá. Proto je tvar křivky samořezu o" vpravo a vlevo různý. Na obrázcích p, p' a p" je kritická situace („střední situace“ transformace) dosažena z obou stran. Na následující desce jsou chirurgie již dokončené. Trubky, které byly viditelné na obrázku p", spojující „půlky mandarinky“ s vnějším světem, jsou nyní vytvořeny:

Obě „katastrofy kalhot“ jsou dokončené. Přechody (bílé šipky) jsou otevřené.

Nyní se věci budou vyvíjet dále prací na spodní části modelu, jejíž detail je uveden v r. Podívejme se pozorně na tuto část povrchu. Vidíme dvě části parabolických válců, které se protínají pod úhlem 90 stupňů. Na spodní části r je přechod směřující k čtenáři. Budeme uvažovat o posunu těchto dvou válců jeden vůči druhému. To by mělo vést k uzavření tohoto přechodu a otevření jiného přechodu ve směru kolmém („zprava doleva“). Zde poznáváme novou „katastrofu kalhot“. Pokud tento svislý posun částí parabolických válců proběhne, opět se dostaneme do kritické situace s přechodem způsobu spojení ploch. Ve skutečnosti však kvůli úspornosti zastavíme „proces“ ve kritické situaci, ve „střední situaci“, když se přechod směřující k čtenáři uzavře a přechod ve kolmém směru ještě nebyl otevřen. Udělejme to.

Nová katastrofa kalhot, zahájená v L, zastavená vpravo ve kritické situaci.

Na obrázku L budeme „tlakovat“ na válec, který má svou růžovou stranu venku, a posuneme jej nahoru. Na obrázku c' vidíme dopad tohoto pohybu na celou množinu samořezu: oblouky křivky začínají přiblížit. Když bude dosažena kritická situace, tato část množiny bude připomínat „bubnovací tyčku“, znázorněnou na obrázku. Obrázky vpravo, t, t', t": kritická situace je dosažena, tedy „střední okamžik katastrofy“. Na obrázku t" je tvar množiny samořezu, jejíž spodní část odpovídá naší bubnovací tyčce. Obrázek t' znázorňuje malý čtyřstěn. Na obrázku t''' je znázorněn průnik čtyř ploch.

Jděte si dát aspirin.

Ve verzi obrácení koule by všechny transformace a katastrofy měly být dovedeny do konce. Ale nyní zablokujeme tu, kterou jsme právě zmínili ve střední konfiguraci, „kritické“. Poté začneme novou katastrofu, kterou jsme dosud nepoužili: katastrofu, která obrací čtyřstěn. I zde však zastavíme ve střední situaci, kdy je čtyřstěn zmenšen na bod. Pojďme na to!

Poslední katastrofa, zablokovaná ve středním stádiu: když je čtyřstěn zmenšen na čtyřnásobný bod Q

Na obrázku t''' je evokována konfigurace čtyř ploch, jejíž množina samořezu obsahuje objem ve tvaru čtyřstěnu. Na obrázku u" byl čtyřstěn zmenšen na bod (čtyřnásobný, protože se protínají čtyři plochy). Vlevo je vytvořen „model s čtyřmi ušima od Morina“. V popředí je množina samořezu s „bubnovací tyčkou“ dole a čtyřmi závěsy, které připomínají „krátké uši králíka“. Pokud trochu deformujeme povrch, aniž bychom prováděli nové katastrofy, dostaneme vpravo centrální model s čtyřmi ušima od Morina. Tento model má čtyřnásobnou symetrii. Pokud bychom provedli otočení o 90° kolem svislé osy symetrie, dostali bychom stejný obrázek, ale s vyměněnými barvami. Šedá se stane růžovou a naopak. Můžeme tedy říci, že práce je dokončena. Skutečně, pokud bychom chtěli nakreslit úplnou homotopii, stačilo by pomocí animace otočit tento centrální model o 90°. Poté bychom mohli znovu použít všechny kresby, které jsme vytvořili, zpětně, s vyměněnými barvami. Nakonec bychom dostali vložení koule, která má svou růžovou barvu venku. Ale matematika je škola línosti nebo úspory, podle toho, jak na to koukáte. Protože práce nás dovedla k objektu s čtyřnásobnou symetrií, můžeme se zastavit a říci, že operace byla úspěšně provedena.

Na následující desce jsem se snažil popsat centrální otevřený model Morina s maximálním detaily. Existuje model s „uzavřenými ušima“, který jsem popsal v jiném článku Akademie, ale na něj se teď nebudu vracet.

Podrobný popis centrálního modelu Morina s čtyřmi ušima

Později jsem objevil polyedrickou reprezentaci centrálního modelu s čtyřmi ušima. Ve skutečnosti tento model nemá „hore“ ani „dole“. Pro pohodlnost kresby a animace (tyto obrázky jsem získal pomocí počítačového programu pro návrh, který jsem vyvinul před základem osmdesátých let) následující animovaný GIF ukazuje tento model s čtyřnásobným bodem směřujícím nahoru. Viditelný je také čtyřnásobný bod:

Moje polyedrická verze modelu s čtyřmi ušima

Jak postavit tento model pomocí výkresu

Prvky výkresu (vytisknout a fotokopírovat na čtyři stránky silného papíru ve dvou barvách)

V původní animaci byl objekt „zrcadlově“ otočen ve srovnání s výše uvedeným pohledem. Takže „zhora“ měl tvar gama-kříže, celá struktura mohla připomínat něco jako „kultura pro nacistický stranu“. Raději jsem objekt obrátil, abych nevyvolal špatné myšlenky u architektů z extrémního pravice. Klikněte zde pro detailní pokyny, jak si tento objekt sám postavit. Nakonec několik pohledů na tento objekt