Obrácení Kleinovy láhve
Obrácení toru
- prosince 2004
stránka 6
Nenulové obrácení toru
J.P. Petit:
Comptes Rendus Académie des Sciences. t. 293, zasedání 5. října 1981, série 1, str. 269–272
Omezím se na představení následujících obrázků bez komentáře.
Nenulové obrácení toru. První část transformace
Nenulové obrácení toru. Druhá část transformace
Když se dostaneme k obrázku v, uvidíme, že je nyní snadné spojit šedou a růžovou strukturu, čímž se tento objekt promění v dvojlistový pokryv Kleinovy láhve.
Obrácení se pak uskuteční výměnou listů, které jsou navzájem proti sobě. Níže stejný obrázek s barevným kódováním.
Dvojlistový pokryv Kleinovy láhve s barevným kódováním
(Tento obrázek není součástí mého ročního zprávy pro CNRS. Najdete jej v knize Topologicon)
Různé rodiny torů
To, co Stephen Smale dokázal v roce 1957, bylo, že existuje pouze jedna skupina vložení koule, a že všechny tyto vložení lze mezi sebou spojit pomocí homotopie. Tyto vložení tvořily grupu, jejímž neutrálním prvkem bylo nechat objekt v původním stavu. Zajímalo se, zda by to mohlo být stejné i pro tor. Matematici Ioan James a Emery Thomas ukázali, že vložení toru se dělí na čtyři kontinenty, mezi kterými nelze pomocí regulární homotopie přejít.
Čtyři rodiny torů
Standardní tor, znázorněný uprostřed stránky, patří do stejné rodiny jako objekt znázorněný v b. To jsem v průběhu svého vlastního způsobu obrácení toru, který vymyslel v roce 1980, ukázal. Rodina označená a představuje tor, který prošel otočením o 360°. Vypadá podobně jako standardní tor, ale liší se tím, že je definován svým kartografickým systémem, tvořeným dvěma skupinami křivek. U standardního toru používáme dvě množiny kružnic, které odpovídají poledníkům a rovnoběžkám. U toru a bychom měli k množině kružnic připojit druhou množinu, která se otáčí opačným směrem. Lze ukázat, že pomocí regulární homotopie nelze mřížku tohoto toru a přesně překrýt s mřížkou standardního toru (poledníky plus rovnoběžky). V tomto smyslu se jedná o různé objekty. Všechny tyto objekty samozřejmě mohou být realizovány jako dvojlistový pokryv Kleinovy láhve.
Síla geometrických nástrojů spočívá v tom, že umožňují předpovědět, co je možné a co ne. Přeměnit standardní tor na tor na obrázku b: ano. Přejít z c do d: ne.
To ušetří čas a hlavně podnímá k hledání věcí, které nejsou zřejmé, například obrácení koule. To platí ve všech vědách. Někdy lidé několik let, nebo dokonce několik století, přehlédnou plodné postupy jen proto, že si mysleli, že jsou nemožné. Věnoval jsem několik let svého života výstavbě teorie odstranění rázových vln kolem objektu pohybujícího se rychlostí přesvětelnou v plynu pomocí Laplaceova pole, tzv. MHD. Student dokonce napsal o tom svou disertační práci pod mé vedením, a výsledky jsme publikovali v různých recenzovaných časopisech a vědeckých konferencích. Téma se začíná objevovat až třicet let později. Předpokládá se, že Američané disponují hypersonickými letouny schopnými pohybu při Mach 10 bez vytváření rázových vln (a zejména bez obrovských tepelných zatížení způsobených kompresí vzduchu za těmito „bouchnutími“). Je to slavný legendární příběh o letounu Aurora, který letí v nadmořské výšce, kde vznikají polární záře, mezi 80 a 150 km nad zemí. Aurora je také předzvěstí budoucích kosmických raket, které budou využívat vzduch a budou mnohem ekonomičtější než rakety CNES. Ve Francii se tyto výzkumy nikdy nezačaly (měl jsem tyto myšlenky již v roce 1975), protože lidé, zejména v CNRS, je považovali za zcela nerealistické. Výsledkem je třicetiletý časový odstup ve srovnání s USA, který podle mého názoru je úplně nezvládnutelný.
Kouřová šálka
Pro úplnost je třeba zmínit verze obrácení koule, jejímž středem je kouřová šálka. Byla to věc běžná, když jsem byl mladý, ale dnes už se jí téměř nezajímá. První, kdo nakreslil tyto posloupnosti, byl Georges Francis. Posledních několik let pracuji na polyedrické verzi těchto verzí, která už dává docela hezký centrální model. Ale abych vám ji ukázal, bude nutné, abych si ji znovu našel. Už brzy, doufám, protože je to jeden z nejvíc fascinujících objektů, které jsem kdy vytvořil.
Předchozí stránka Další stránka
Zpět k návodu Zpět na úvodní stránku
Počet návštěv této stránky od 8. prosince 2004: