Obrácení Kleinovy láhve
Obrácení toru
- prosince 2004
stránka 6
Nenulové obrácení toru
J.P. Petit:
Comptes Rendus Académie des Sciences, svazek 293, zasedání 5. října 1981, série 1, str. 269–272
Omezím se na představení následujících obrázků bez komentáře.
Nenulové obrácení toru. První část transformace
Nenulové obrácení toru. Druhá část transformace
Když se dostaneme k obrázku v, uvidíme, že je nyní snadné spojit šedou a růžovou strukturu, čímž se tento objekt promění v dvojlistové pokrytí Kleinovy láhve.
Obrácení se pak uskuteční výměnou listů proti sobě. Níže je stejný obrázek s barevným kódováním.
Dvojlistové pokrytí Kleinovy láhve s barevným kódováním
(Tento obrázek není součástí mého ročního přehledu pro CNRS. Najdete jej v knize Topologicon)
Různé rodiny torů
To, co Stephen Smale dokázal v roce 1957, bylo, že existuje pouze jedna rodina vložení koule a že všechny tyto vložení lze mezi sebou spojit pomocí homotopie. Tyto vložení tvořily grupu, jejímž neutrálním prvkem bylo ponechání objektu v původním stavu. Zajímalo se, zda by to mohlo platit i pro tor. Matematici Ioan James a Emery Thomas ukázali, že vložení toru se dělí na čtyři kontinenty, mezi nimiž nelze pomocí regulární homotopie přejít.
Čtyři rodiny torů
"Standardní torus", vykreslený uprostřed stránky, patří do stejné rodiny jako objekt znázorněný v b. To jsem v průběhu ukázal v verzi obrácení toru, kterou jsem vymyslel v roce 1980. Rodina označená jako a představuje torus, který prošel otočením o 360°. Vypadá podobně jako standardní torus, ale liší se v systému mapování, který je definován dvěma skupinami křivek. U standardního toru používáme dvě množiny kružnic, které odpovídají poledníkům a rovnoběžkám. U toru a bychom měli doplnit množinu kružnic přilepených na povrch druhou množinou, která se otočí opačným směrem. Lze ukázat, že pomocí regulární homotopie nelze dosáhnout shody mřížky tohoto toru a s mřížkou standardního toru (poledníky plus rovnoběžky). V tomto smyslu se jedná o různé objekty. Všechny tyto objekty samozřejmě mohou být uspořádány jako dvojlistové pokrytí Kleinovy láhve.
Moc geometrických nástrojů spočívá v tom, že umožňují předpovědět, co je možné a co ne. Přeměnit standardní torus na torus na obrázku b: ano. Přejít z c do d: ne.
To ušetří čas a hlavně podněcuje k hledání věcí, které nejsou zřejmé, jako je například obrácení koule. To platí ve všech vědách. Někdy lidé po roky, a dokonce i po století, přehlédnou účinné postupy jen proto, že si mysleli, že jsou nemožné. Věnoval jsem několik let svého života vytvoření teorie odstranění rázových vln kolem objektu pohybujícího se rychlostí přesvětelnou v plynu pomocí Laplaceova silového pole, "MHD". Jeden student dokonce dokončil svou disertaci na tomto tématu pod mé vedením a naše práce byly publikovány v různých recenzovaných časopisech a vědeckých konferencích. Téma se začíná objevovat až třicet let později. Předpokládá se, že Američané disponují hypersonickými letouny schopnými pohybu rychlostí Mach 10 bez vytváření rázových vln (a zejména bez obrovských tepelných zátěží způsobených znovu stlačením vzduchu za těmito "bouchnutími"). Je to slavný legendární příběh o letounu Aurora, který se pohybuje ve výšce, kde vznikají polární záře, mezi 80 a 150 km nad zemí. Aurora je také předzvěstí budoucích vesmírných raket, které budou využívat vzduch a budou mnohem ekonomičtější než rakety CNES. Ve Francii se nepodařilo zahájit takové výzkumy (měl jsem tyto myšlenky v roce 1975), protože lidé, zejména v CNRS, je považovali za naprosto nerealistické. Výsledkem je ztráta třiceti let ve srovnání s USA, kterou podle mého názoru nelze už dohnat.
Kouřová šálka
Pro úplnost je třeba zmínit verze obrácení koule, jejímž centrálním objektem je kouřová šálka. Byla to věc, která byla běžná, když jsem byl mladý, ale dnes už se jí téměř nezajímá. První, kdo nakreslil tyto posloupnosti, byl Georges Francis. Posledních několik let pracuji na polyedrické verzi těchto verzí, která již dává docela hezký centrální model. Ale abych vám ji ukázal, bude nutné, abych si ji znovu našel. Už brzy, doufám, protože je to jeden z nejzajímavějších objektů, které jsem kdy vytvořil.
Předchozí stránka Další stránka
Zpět k návodu Zpět na úvodní stránku
Počet návštěv této stránky od 8. prosince 2004: