Předmluva k článku z roku 1994 v časopise Nuovo Cimento
Výchozí bod tohoto práce je v roce 1977. Dvě poznámky v Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris:
J.P.Petit: "Univerza s protisměrnými časovými šipkami", CRAS 8. května 1977, sv. 285, str. 1217-1221
J.P.Petit: "Univerza v interakci s jejich obrazem v časovém zrcadle". CRAS 6. června 1977, sv. 284, série A, str. 1413-1416
V následujícím článku jsme se pokusili o nárok na bodový vztah (involuční aplikace) mezi body okolí Země (v kosmickém měřítku) a konjugovanými body druhého univerza (které nazýváme "univerzum dvojník", twin universe, nebo "stínové univerzum", shadow universe, nebo "fantomové univerzum", ghost universe, což je v našem myšlení ekvivalentní), pomocí vztahu
antipodalita
, který zahrnoval předpoklad o topologii geometrického objektu. Později jsme si uvědomili, že to není nutné, protože můžeme definovat místní strukturu (F, F*) jako dvoulistý rozklad "skeletové variety". Struktura je pak tvaru dvoulistého rozkladu projektivního P3, ekvivalentní třírozměrnému projektivnímu P2, dvourozměrnému, známému, tedy nejznámější je povrch objevený v roce 1902 rakouským Wernerem Boyem, viz obrázek 184 (v principu animace, až bude stránka kompletní).
Boy byl žákem velkého matematika Hilberta, který se velmi spokojeně vyjádřil o vynálezu svého žáka. Pro malou historii, po svém vynálezu opustil Boy univerzitu a o něm se už nikdy neslyšelo. Všechny výzkumy historiků, které se pokoušely najít jeho stopy, byly marné. Neznáme ani to, zda zemřel na špatný chřipku, nebo zda se zdržel jako instalatér.
Geometři vědí, že lze vystavit všechny body koule S2 podle projektivního P2, jak je uvedeno na obrázku 10 v následujícím článku. Tak se severní pól dostává do shody s jižním pól, a rovník se samotným sešroubí podle pseudo-rovníku povrchu Boye, který je také označen. Tento dvoulistý rozklad je znázorněn na obrázku 11 článku. Je třeba poznamenat, alespoň ve dvou rozměrech, že tato operace spáruje enantiomorfní objekty, v zrcadle. Obrázky 12 a 13 jsou výukové obrázky, které ukazují, jak by se hrudky měly umístit do vyvrtaných oblastí antipodální oblasti.
Tento systém dvoulistého rozkladu lze rozšířit na tři a dokonce čtyři rozměry, s koulemi S3 a S4, které pokrývají příslušně projektivní P3 a P4.
Před tím, než půjdeme dál, můžeme seznámit čtenáře s geometrií této zvláštní Boyovy plochy. Ten může také najít různé varianty objektu v Topologicon (Ed. Belin, 1984).
To, co může překvapit čtenáře, je skutečnost, že tato plocha se sama sebe překrývá podle sady samoprůsečnic, která je trojlistná křivka, připomínající lodní šroub:
Na tomto obrázku vlevo je vyrobeno otvor, aby byl vidět trojný bod, kde se kříží tři plochy. Tato plocha se zdá být docela zvláštní. Ve skutečnosti je tento objekt skvělým příkladem, který umožňuje ilustrovat koncept prostoru reprezentace (3D), o kterém bylo zmíněno výše.
Trojný bod T a křivka samoprůsečnice jsou způsobeny způsobem reprezentace projektivního P2 v R3. Koule, torus mohou být
ponořené
do R3, tj. připustit reprezentace, topologicky ekvivalentní, kde plocha se sama sebe nepřekrývá. Ale je nemožné
ponořit
projektivní P2 do R3. Můžeme jen
pomalovat
. Tento obrázek (Boyova plocha) je tedy
pomalování
projektivního do R3. Malování 2D objektu je způsob reprezentace v R3, kde najdeme řádku dvojitých bodů (křivka samoprůsečnice), podél které se nacházejí dva tečné roviny, a několik trojných bodů, kde se tři plochy kříží. Boyova plocha je jen jednou z nekonečného počtu způsobů, jak malovat projektivní P2 do R3. Najdete jiné v článku, který bude zahrnut do webu, nazvaném "různé tváře projektivní roviny".
Je docela snadné získat obrázky Boyovy plochy prostřednictvím parametrické reprezentace, kterou jsme vymysleli a publikovali
---> Čtenář najde
v podstránce MATEMATIKA, mezi jiným, reprodukci poznámky v Comptes Rendus zveřejněné v roce 1981 na Akademii věd v Paříži, s J. Souriau (ne, to není slavný matematik, ale jeden z jeho synů, Jérôme, který se později stal informatikem), jehož odkaz je:
"Analytické vyjádření Boyovy plochy", Poznámka v Comptes Rendus Akademie věd v Paříži, sv. 293 (5. října 1981) série 1, str. 269-272
Zde je ukázáno, že plocha má tehdy eliptické poledníky. Tato vlastnost umožňuje snadné vykreslení. Níže je program, který se nachází na titulní stránce mého komiksu Topologicon.
Program BASIC
10 CLS
50 PI = 3.14159 : P3 = PI/3 : P6 = PI/8 : P8 = PI/8
90 FOR MU = 0 TO PI STEP .1
95 P = P + 1
100 D = 34 + 4.794 * SIN (6*MU -P3)
110 E = 6.732SIN(3MU-P6)
120 A = D + E : B = D - E
130 SA = SIN (P8SIN(3MU))
140 C2 = SQR ( A * A + B * B) : C3 = ( 4 * D * E) / C2
160 CM = COS (MU) : SM = SIN (MU)
180 FOR TE = 0 TO 6.288 STEP .06
190 TC = A * COS (TE) : TS = B * SIN (TE)
200 X1 = C3 + TC - TS
210 Z1 = C2 + TC + TS
250 REM ZDE JSOU 3 SOUŘADNICE
300 X = X1 * CM - Z1 * SA * SM
310 Y =Y1 * SM + Z1 * SA * CM
350 REM PŘÍKAZ PRO ZOBRAZENÍ BODŮ
360 PSET (X,Y),1
400 NEXT TE : NEXT MU
Pro paměť je toto objevení možnosti reprezentace této plochy pomocí eliptických poledníků, které později umožnilo matematikovi Apérymu získat první reprezentaci ve formě implicitní, šestého stupně:
f (x , y ,z) = 0
kterou nebudeme reprodukovat (je docela složitá a jsme přesvědčeni, že musí existovat jednodušší, ale to bude předmětem jiného dokumentu, který bude zahrnut do webu MATEMATIKA).
Kleinkova láhev je známější čtenářům. Je také nemožné ji ponořit do R3. Pak se objeví ve své nejznámější podobě jako malování s množinou průsečíků, která je jednoduchá uzavřená křivka.
Dvoulistý rozklad plochy Klein je torus T2, stejně jako ten plochy Boye (projektivní P2) je koule S2. Čtenář zájemce o plochu Boye může najít 3D model v jedné z místností Pařížského Paláce objevů, model, který jsme nechali vyrobit plastikem Max Sauze, z většího, primitivnějšího modelu, který jsme si vytvořili.
V těchto operacích dvoulistého rozkladu se poledníky a rovnoběžky objektů samy sebe svíjejí. Například můžeme ukázat, co se stane s "rovnoběžkami" toru (související s ponořením, které je také znázorněno):
V tomto ponoření toru nejsou jasně rovnoběžky geodetikami povrchu (kromě "kruhu hrdla"). Podobná situace pro poledníky toru, které jsou geodetikami jeho standardního ponoření:
Níže jsou obě, překryté:
Vrátíme se k těmto věcem v textu věnovaném obrácení koule a toru, který bude také zahrnut do webu.
Tato digrese je jen tam, abychom pochopili, že v ilustracích rozptýlených v článku, samoprůsečnice nejsou vůbec výukovým obrázkem jakékoliv 3D reality, pokud by měl univerzum takovou topologii, samozřejmě.
Tento článek byl první přístup k omezení objektu jeho konjugovanou strukturou, ve formě analytického řešení, vyvinutého v sekci 4. Také zde najdete první náčrty numerických simulací (2D) provedených Pierre Midy na Cray-1.