3
Skupina posunutí:
...Uvažujme 2D prostor (x, y). V tomto prostoru odpovídá posunutí dvojici skalárů (Δx, Δy), a obvykle píšeme
x′ = x + Δx
y′ = y + Δy
Používáme pak sčítání. Mohli bychom se pokusit posunutí zakódovat pomocí ... násobení?
Uvažujme matice:
a akci skupiny:
Všimněme si, že jde již ne o jednoduché maticové násobení g × r, ale o akci skupiny:
Zároveň můžeme zvážit posunutí ve třech, čtyřech a více dimenzích:
Příslušná akce skupiny je pak:
...Kromě toho je skupina posunutí komutativní a neutrálním prvkem je „nulové posunutí“. Ve 3D má skupina rozměr tři, ve 4D čtyři.
Výhoda maticových skupin. Příklad: Eukleidovská skupina.
...Výhodou maticové skupiny je možnost zároveň řešit více věcí, které se předtím zdály být různého druhu, například rotaci a posunutí. Stačí uvažovat matice:
a působit maticí základní skupiny na sloupcový vektor, abychom zjistili, že to odpovídá kombinaci rotace o úhel α a posunutí podél vektoru (Δx, Δy).
...Jak vidíme, matice g nepůsobí „přímo“ na body (x, y) v tomto 2D prostoru, ale prostřednictvím tzv. „akce skupiny“, která splňuje určité axiomy.
...Takže skupina „působí“ a „přenáší“, konkrétně body. Jedná se o Eukleidovskou skupinu. S ohledem na 2D prostor (x, y) je definována třemi parametry. Je to g(α, Δx, Δy): rozměr této skupiny je 3. Zvláštní případy:
g(0, Δx, Δy) představuje podskupinu posunutí.
g(α, 0, 0) představuje podskupinu rotací kolem počátku.
g(0, Δx, 0) představuje podskupinu posunutí rovnoběžně s přímkou (osou OX).
...Eukleidovská skupina přenáší body, které samy o sobě nemají žádné vlastnosti (na rozdíl od dynamických skupin, které jednoduchému „hmotnému bodu“ přisuzují „vlastnosti“ jako hmotnost, energii, hybnost, spin).
...S Eukleidovskou skupinou musíme uvažovat množiny bodů. Jako by v chemii atomy nebyly odlišné a pouze geometrie molekulárních uspořádání nesla informaci.
...Geometrický útvar, trojúhelník (považovaný za množinu tří bodů nebo tří úseček), čtverec (považovaný za množinu čtyř bodů nebo čtyř úseček), může být přenesen skupinou. Zde vstupuje základní myšlenka pojmu „druh“. Dva „objekty“ jsou stejného druhu, pokud existuje prvek skupiny, který je přenese jeden na druhý.
Ve vztahu k Eukleidovské skupině čtverce se stejnou délkou strany a tvoří jeden druh:
Čtverce stejného druhu.
...Pokud jsou délky stran a a b různé, tyto objekty nejsou stejného druhu. Neexistuje prvek skupiny, který by umožnil přechod z jednoho do druhého.
Ve vztahu k Eukleidovské skupině tyto čtverce tvoří různé druhy.
Eukleidovská geometrie nepovoluje stejnolehlosti. Pro jejich zahrnutí bychom museli přejít k jiné skupině, ke skupině Descartes:
čtyřparametrická skupina g(λ, α, Δx, Δy), kde λ je koeficient stejnolehlosti. Rozměr této skupiny je tedy 4.
Z toho můžeme snadno představit Eukleidovskou skupinu působící na objekty ve třech dimenzích.
...Není cílem zde podávat úplný kurz o skupinách, ale jen naznačit některé myšlenky. Co je zoologie? Věda zabývající se studiem zvířat a jejich tříděním. Pokud se omezíme pouze na tvar, Eukleidovská skupina umožňuje třídit dospělé králíky. Pro třídění králíků různých velikostí bychom museli použít Descartesovu skupinu, protože v 3D neexistuje prvek Eukleidovské skupiny, který by umožnil přechod od malého králíka k velkému.
...Usmíváte se? Mýlíte se. Možná ve vašem bytě nebo domě máte nějaké miminko v procesu učení, které si hraje v rohu. Dali jste mu klasickou hračku, do které se snaží vložit tvarové dílky: válce, kostky nebo jehlany s trojúhelníkovou základnou.
...Co právě dělá? Zajisté se seznamuje s 3D Eukleidovskou skupinou. Třídí objekty podle druhů, což mu později umožní jejich rozpoznání a „rozpoznávání tvaru“.
...I když mají různé barvy, dítě zjišťuje, že existují akce skupiny (přesuny těchto objektů v 3D prostoru), které umožní přesnou shodu válce A a válce B pomocí otvoru ve tvaru „dutého tvaru“ tohoto válce nebo jehlanu: vstup do oddělení ve své třídící krabici. Dítě tak zjistí, že válce A a B jsou podle kritéria tvaru (Eukleidovská skupina) stejného druhu.
Zpět k podsekci „skupiny a fyzika“
