5
Čtvercová matice řádu (n,n) působí na sloupcovém vektoru (n,0). Viděli jsme, že eukleidovská skupina 2D, odkazující na prostor (x,y), nezahrnuje působení na sloupcové vektory:
(51)
ale na sloupcové vektory:
(52)
Což představuje příklad
působení
skupiny na prostor
X s
x ∈ X
. Existuje nekonečně mnoho možných působení, ať už jen působení skupiny na sebe sama. Působení jsou definována axiomy.
(53)
Zvažme sloupcový vektor:
(54)
kde
x
představuje například vektory:
(55)
(56)
splňuje axiomy působení skupiny. Můžeme tedy provést násobení matice reprezentující prvek skupiny zleva s řádkovou maticí
y
, a zjistit, zda je to také působení.
(57)
A g
(y) = y x g
Odpověď zní ne. Nejedná se o působení skupiny: nesplňuje uvedené axiomy. Je to pak to, co rád nazývám „anti-působením“, které pak podléhá následujícím „anti-axiomům“:
(58)
Matematik by řekl, že není třeba zavádět tato „anti-působení“ a že existuje jen jedna sada axiomů. Jistě. Stejně, co se považuje za „anti-působení“:
(59)
AA
g ( m
) =
g -1 x m x g m
, kde je dán vektor, „anti-působení prvku
g
skupiny G na matici
m
“, kde
g
-1 označuje inverzní matici, může být považováno za působení prvku
g
-1 .
Stejně „anti-působení“ je jen duál působení. Řekněme, že mi to přišlo výhodné zavést tento koncept pro výukové účely.
Začneme-li s grupou čtvercových matic, závislou na n parametrech
p i můžeme vytvořit matice, rozlišující všechny tyto parametry podle:
dp
i . Matice takto získané, rozptýlené prvky
dp
i, nevytvářejí skupinu, ale co se nazývá „tečný vektor ke skupině:
d g
(jeho „Lieova algebra“, která není vlastně ani skutečnou algebrou, ale to přeskočme..).
Skupina tedy může působit na „tečný vektor“
d
g , v blízkosti neutrálního prvku e skupiny, prostřednictvím „anti-působení“:
(60)
AAg(m) = g-1
x d g
(g=e)
x g
Dostáváme tedy schéma:
(61)
Ale anti-působení je duál působení. Když je duální, je zachován skalární součin S.
Souriau tedy chtěl vytvořit
druhé působení skupiny
, to skupiny na jejím prostoru momentů.
Ale toto působení, nazývané
koadjungované působení
nebo
esenciální
, nemohlo vzniknout přímo. Musel tedy projít tímto prostředníkem, který jsem nazval „anti-působení skupiny na její tečný vektor“.
Takže hledané působení vzniká jako duál anti-působení skupiny na její tečný vektor. A duál anti-působení
je
působení, které bude zapsáno jako:
(62)
A g ( J )
kde
J bude „moment“: konstelace veličin, které jsou vlastnostmi „hmotného bodu“, působení, nazývané
koadjungované
, ukazuje, jak se tyto vlastnosti mění při pohybu.
Existuje skupina, kterou uvedeme později, která je rozšířením Galileovy skupiny, která bude také uvedena později a nazývá se Bargmannova skupina (1960). Použitím této metody na tuto skupinu můžeme vytvořit její moment
J B a způsob, jakým skupina na něj působí.
Souriau má rád říct:
Moment sleduje pohyb jako jeho stín.
Krásný obraz, převzatý z jeho díla „Gramatika přírody“. Hmotný bod se skutečně pohybuje ve časoprostoru (x,y,z,t). Při tomto pohybu se jeho vlastnosti mění, což popisuje toto koadjungované působení skupiny na její prostor momentů.
Návrat k podseznamu „skupiny a fyzika“