6
Nebudeme psát složky momentu grupy Bargmanna. Schématicky si moment grupy Bargmanna zapišme následovně:
J B = { skalár m, další složky momentu }
Koadjointní akce
ukazuje, jak se transformují jednotlivé složky momentu. Avšak tato koadjointní akce začíná jednoduchou vztahem:
(63)
m' = m
Koadjointní akce grupy Bargmanna na její moment začíná zachováním hmotnosti, která tak získává čistě geometrický
status.
Sestrojení koadjointní akce grupy Poincaré na jejím prostoru momentů J p.
Pokud jste už úplně ztracení, nechte to být. Je to normální a bude se to s každou stránkou stále více ztěžovat. Už nevím přesně, komu je toto následující určeno. Pravděpodobně teoretickým fyzikům nebo matematikům, ale jistě ne zedníkům. Ale student velké školy nebo bakalářského studia fyziky, který se přes to přežene, může následovat. Jsou to jen matice.
Vše začíná maticovou grupou typu (4,4), která tvoří grupu Lorentze, jejíž prvek je L.
Tyto jsou definovány axiomaticky pomocí matice G:
(64)
podle:
(65)
t L G L = G
kde t L značí transponovanou matici L.
Matice L tvoří grupu.
Důkaz.
Neutrálním prvkem je L = 1:
Nechť L1 a L2 jsou dva prvky množiny. Ověřme, zda jejich součin L1 L2 patří do grupy. Pokud ano:
t (L1 L2) G L1 L2 = G
Avšak:
t (A B) = t B t A
Tedy:
t (L1 L2) G L1 L2 = t L2 t L1 G L1 L2 = t L2 (t L1 G L1) L2 = t L2 G L2
Nyní spočítejme inverzní matici k matici L. Vycházíme z axiomatiky prvků L:
t L G L = G
Vynásobíme zprava maticí L⁻¹:
t L G L L⁻¹ = G L⁻¹ → t L G = G L⁻¹
Vynásobíme zleva maticí G:
G t L G = G G L⁻¹ → G t L G = L⁻¹
Tedy inverzní matice k L je:
L⁻¹ = G t L G
Tedy:
(66)
vektor prostoročasu. Matice G pochází z Minkowského metriky, kterou lze pak psát (pro c = 1):
(67)
Cvičení: ukázat, že inverzní matice splňuje:
(68)
Nyní zavedeme vektor prostoročasového posunu:
(69)
Z něj sestavíme prvek g p grupy Poincaré:
(70)
Cvičení: ukázat, že to tvoří grupu, a spočítat inverzní matici:
(71)
Níže je „tečný vektor ke grupě“, prvek její „Lieovy algebry“:
(72)
Z toho spočítáme antiakci:
(73)
d g p' = g p⁻¹ x d g p x g p
Z důvodu výpočtové pohodlí si všimneme, že:
(74)
G d L je antisymetrická matice. Označme ji:
(75)
tedy:
(76)
Označme:
(77)
Z tohoto materiálu sestavíme antiakci:
(78)
d g p' = g p⁻¹ x d g p x g p
Po provedení všech výpočtů získáme zobrazení:
(79)
Pokud chcete tuto část jednoduchého maticového výpočtu přeskočit, obraťte se na rovnici (80), konec stránky
(79a)
(79b)
z toho plyne:
(79c)
ale:
(79d)
tedy:
(79e)
ale GG = 1, tedy:
(79f)
z toho plyne zobrazení:
(79g)
Což je hledaná antiakce, zobrazení:
(80)
Návrat k podsekci „skupiny a fyzika“