7
Prvek
g
p grupy Poincaré Gp je určen posloupností parametrů {
p
i}, jejichž počet, jak jsme již řekli, představuje
rozměr grupy
. Matice
d g
(g = e)
je tvořena veličinami {
dp
i} . Aplikace výše je tedy typu:
(81)
Jinými slovy, každému souboru skalárů
dp
i odpovídá stejný počet skalárů
dp
i
'. Dualita spočívá v předpokladu invariance skaláru podle:
(82)
kde n je rozměr grupy (deset pro grupu Poincaré). Skaláry Ji představují komponenty momentu, jejichž počet je stejný.
Rozhodneme se rozložit tento moment
J na dva objekty. Prvním bude antisymetrická matice
M rozměru (4,4), tedy s šesti komponentami, druhým „čtyřvektor“
P, matice rozměru (4,1):
(83)
(84) J = {
M,
p
, E} = {
M,
P }
Zapišme skalární součin ve tvaru:
(85)
Tr znamená „stopa z“, a budeme mít dále:
(86)
lineární forma, jejíž invariance zaručuje dualitu.
s:
(87)
(87b)
(87c)
ale
GG
= 1,
takže toto dává:
(88)
Identifikujme členy v
y (89)
To znamená:
(90)
----> Zde následují další detaily výpočtu maticového charakteru. Pokud chcete,
kliknutím sem
můžete přejít přímo k výsledku.
Ve stopě lze provést cyklickou permutaci členů.
(90a)
(90b)
(90c)
druhý člen pravé strany je roven součinu řádkové matice a sloupcové matice.
To je rovno stopě inverzního součinu (nyní schematicky znázorněn součin řádkové matice a sloupcové matice):
(90d)
Ve této stopě mohu provést cyklickou permutaci:
(90e)
Odtud:
(90f)
(90g)
Zde znovu aplikujeme větu o stopách matic, které jsou součinem jiné matice a symetrické matice.
Každá matice může být rozložena na symetrickou a antisymetrickou část. Navíc stopa součinu matice a symetrické matice je nulová.
(90h)
To mohu aplikovat na matici (90i)
protože bereme stopu
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
ale:
(90l)
takže
(90m)
(90n)
(90o)
(90p)
a:
(90q)
nakonec:
(90r)
Shromážděním a přesunutím čárky na druhou stranu získávám svou grupovou akci:
Obrázky
Zpět k podsekci „skupiny a fyzika“