9
Částice se spinem.
Poincarého grupa popisuje relativistický pohyb bodového objektu. Podobně, Bargmannova grupa, jejíž vyjádření bude uvedeno později, popisuje ne-relativistický pohyb bodového objektu, který se pak nazývá „hmotný bod“.
Z toho vyplývá, že tato metoda, výpočet koadjointní akce grupy na prostoru hybností, umožnila odhalit skryté prvky, vlastnosti objektu: komponenty hybnosti.
Zajímavé je, že tato metoda, zavedená Souriauem, převádí klíčové objekty fyziky na čistě geometrické objekty. Tím dosáhl nevídaného úsilí o geometrizaci fyziky.
Kromě energie a hybnosti jsou další komponenty, „otáčení“ a „procházení“, pro fyzika dosti záhadné. Co to vlastně znamená?
Vyjádření komponent hybnosti zřejmě závisí na zvolené soustavě souřadnic.
Nejjednodušší je možná krátké vrácení se k ne-relativistickému případu, jinými slovy k vyjádření koadjointní akce, jak by vyplynulo z analýzy Bargmannovy grupy.
(111)
Záhadná rovnice. Na co to slouží? Jak to funguje?
Ve výše uvedeném rámečku fyzik uvidí některé známé objekty:
(112)
jsou pouze dvě různá vyjádření vektoru rychlosti { vx, vy, vz }, první ve formě sloupcové matice a druhá ve formě řádkové matice. Součin těchto matic je skalár:
(113)
něco, co začíná připomínat kinetickou energii.
m v je hybnost.
Tradiční fyzik, zabývající se dynamikou hmotného bodu, zná pouze tři věci:
- Hmotnost m
- Hybnost m v
- Kinetickou energii 1/2 mv²
Ano, ale rychlost vůči čemu?
Skupina je také pohled na věci. Můžeme tedy buď představit, že skupinou přenášíme objekty (jak jsme viděli u Eukleidovy grupy) vzhledem k předpokládaně pevnému pozorovateli, nebo, pokud je objekt pevný, uvažovat o jeho pozorování z jiného úhlu.
Pokud zvolíme tento pohyb, přesun objektů, v případě dynamických grup, tedy fyzikálních grup (v rozporu s Eukleidovou grupou, kde čas nevystupuje), musíme říci, že objekty „pohybujeme“, přidáváme jim rychlost v a energii E.
Pokud zvolíme opačný pohled: uvažujeme-li, že objekt je pevný a my se pohybujeme, jaký význam dáme skupinám?
Eukleidova grupa by pak znamenala: „Pohled z jiného místa a z jiného úhlu.“ „Z jiného místa“ je vektor posunutí:
(114)
„Z jiného úhlu“ je matice rotace a, rotace ve prostoru (kterou bychom mohli rozepsat pomocí Eulerových úhlů, což ale nebudeme dělat).
Pokud jde o dynamické skupiny, tento pohled, tento způsob pohledu na „věci“, musí být rozšířen. Zůstáváme-li v kontextu Bargmannovy grupy, zavedení této rychlosti v znamená, že pozorovatel, který pozoruje tento hmotný bod z jiného místa (vektor posunutí c) a z jiného úhlu (matice rotace a), je také pohybující se vzhledem k předpokládaně nepohyblivému hmotnému bodu rychlostí v.
A pro úplnost, pro zvýšení složitosti, se nevyvíjí ve stejném čase jako částice, pozorovaný hmotný bod. Je o časový úsek Δt odlišen. Jinými slovy: pozoruje ho z jiného místa, ale jde o časoprostorové jiné místo, odpovídající časoprostorovému posunutí:
(115)
Když si vezmu takový „odstup“ vzhledem k tomuto hmotnému bodu, co zjistím? První věc: m' = m
To neovlivní jeho hmotnost.
Můžu si zjednodušit život, pokud vynuluji rotaci. Už je dost složité pozorovat hmotný bod z jiného místa, z jiného času, posunutý, sedící na skateboardu pohybujícím se rychlostí v. Je nutné ještě přitom zatočit hlavou?
Ne. Uvažujme a = 1.
Tento detail se však obvykle při výpočtech přehlíží. Koadjointní akce, takto zvláštně upravená, se stává:
(117)
Zde slovo „zvažovat“ použijeme v jeho etymologickém smyslu. Co dělám, když zvažuji situaci, oblohu, bojiště, film pořízený špionážním letadlem?
Soudce napíše:
- Zvažováno stav místa...
Statika, odpovídající Eukleidově grupě. Soudce pozoruje objekty z vzdálenosti c, ve stejný okamžik (Δt = 0), v principu nepohybující se (v = 0). V případě potřeby pod určitým úhlem, „pod určitým úhlem“.
Generál procházející v letadle pro výzvědu je druhým soudcem, který se pohybuje (v ≠ 0).
Ale velitel štábu, který sleduje film pořízený špionážním letounem, „drónem“, se potýká s časově posunutou situací. Musí si říct:
- Zvažme cíl, viděný z určitého místa, při náklonu, s určitou rychlostí, a navíc tak, jak vypadal před dvěma hodinami...
Cíl nemá žádnou vlastní rychlost. Není možné jej považovat za pevný, i když jde o „pevnou instalaci“. I Země se pohybuje, stejně jako Slunce, galaxie atd.
Návrat k podsekci „skupiny a fyzika“