12
Částice se nenulovým hmotnostním spinem.
Mezi energií a hybností už není přímý vztah, jako u fotonů a neutrino, částic se nulovou hmotností.
(131)
m je klidová hmotnost, která se pak shoduje s hmotností získanou z Bargmannovy skupiny, máme:
(132a)
(132b)
Omezme se na:
Proton
Elektron
Neutron
a jejich antipartikly.
Částice mají různé náboje, vlastnosti, které také nevznikají z Poincaréovy skupiny:
-
Elektrický náboj e = ± 1
-
Baryonový náboj cB = ± 1
-
Leptonový náboj cL = ± 1
-
Mionový náboj c
m
= ± 1
- Tauonový náboj c
t
= ± 1
- Gyromagnetický koeficient
v
Inverze všech těchto veličin odpovídá C-symetrii. Můžeme tedy vše shrnout podle následující tabulky:
(133)
může mít libovolný směr, stejně jako spin.
Magnetický moment je roven gyromagnetickému koeficientu
v
násobenému spinem
s .
(134)
Zde jsme použili tučné písmeno
s
pro spin. To znamená, že směr spinu částic může být libovolný. Naopak jejich velikost je jednou z jejich vlastností a je základní invariant (geometrická kvantizace rotace částic).
C-symetrie, konjugace nábojů, která invertuje gyromagnetický koeficient
v
, invertuje také magnetický moment.
Trvalé magnety.
Pokud umístíme kousek měkkého železa do dostatečně silného magnetického pole a poté pole zmenšíme, kov bude mít trvalou magnetizaci. Co se stalo?
Magnetické pole zarovnává spiny elektronů, které se chovají jako malé magnety, jako malé magnetické dipóly.
Proč však udržují směr, který jim byl přidělen? Díky mimetismu. Každý elektron se zarovná podle magnetického pole vytvořeného jeho sousedy. A když ostatní dělají totéž, všechny tyto momenty udržují svou rovnoběžnost. To je "Panurge ve vesmíru". Dokud nezahřejeme kousek kovu nebo ho nezásáhneme, nakonec se nám nepřeruší tato krásná elektronová uspořádanost.
Magnetický moment antihmoty.
Konjugace náboje, spojená s transformací hmoty a antihmoty ve smyslu Diraca (později uvidíme, co to znamená), způsobí inverzi magnetického momentu kvůli inverzi gyromagnetického koeficientu, zatímco spin zůstává nezměněn.
Samozřejmě tato C-symetrie neovlivňuje ani energii, ani hybnost částice.
Čtyři složky Lorentzovy skupiny.
Jak už bylo uvedeno, prvek
L z Lorentzovy skupiny L je definován axiomaticky. Musí splňovat:
(135)
(136)
Každá matice
L splňující tuto definici patří do skupiny L. Jedná se o matici rozměru (4,4), která může například působit na:
(137)
tj. na prostoročas. Pak se můžeme ptát, zda tyto matice nejsou schopny provádět symetrie v tomto prostoru. Můžeme například změnit x na -x? Mohou matice být rozděleny do různých podmnožin, ty, které provádějí tuto operaci, a ty, které ji nezajišťují.
Už dávno (v angličtině: many beautiful candles ago), toto bylo prozkoumáno a ukázalo se, že Lorentzova skupina se skládá ve skutečnosti ze čtyř typů matic.
Ln - Ty, které neinvertují ani prostor, ani čas.
Ls - Ty, které invertují prostor.
Lt - Ty, které invertují čas.
Lst - Ty, které invertují oba.
Tyto množiny se nazývají
složky
skupiny. Lorentzova skupina tedy je skupina se čtyřmi složkami.
Okamžitě můžeme vytvořit čtyři matice, z nichž každá patří do uvedené podmnožiny:
(138)
A n = 1 (neutrální prvek) patří do
Ln: neinvertuje ani prostor ani čas.
A s
patří do Ls: invertuje prostor.
A t
patří do Lt: invertuje čas.
A st
patří do Lst: invertuje současně prostor i čas.
Aby maticová množina tvořila skupinu (v tomto případě podskupinu Lorentzovy skupiny), musí obsahovat neutrální prvek
1
v daném formátu (n,n), zde (4,4). Pouze matice z množiny Ln splňují tento požadavek. Tvoří
podskupinu Lorentzovy skupiny
. Protože tato množina obsahuje neutrální prvek skupiny, nazývá se také
neutrální složka skupiny
. Ostatní množiny matic nevytvářejí podskupiny (není to možné: neobsahují neutrální prvek).
Poznámka:
(139)
At = - A s A
st = - A n
Můžeme tedy zvážit množinu Lo = Ln
»
Ls, která je podskupinou Lorentzovy skupiny a nazývá se
orthochronní
[1]. Matice Lac = Lt
»
Lst nevytvářejí skupinu, ale množinu složek spojených s inverzí času, která se nazývá
antichronní
[12]. Celá Lorentzova skupina je:
(140)
L = Lo
»
Lac
Ale můžeme také poznamenat, že prvek:
(141)
m L
o, kde
m
= ± 1
pokrývá celou skupinu.
Návrat do podseznamu "skupiny a fyzika"