14
Centrální rozšíření Poincarého grupy.
Takové rozšíření je zmíněno v knize J.M. Souriaua, Structure des Systèmes Dynamiques. Jeho metoda geometrické kvantování mu umožňuje z dané grupy odvodit rovnice kvantové mechaniky. Například grupa Bargmanna, popisující nerelativistickou částici, vede k Schrödingerově rovnici, která je také nerelativistická.
Základem je Galileiho grupa. Jedná se o matici typu (5,5), konstruovanou následovně:
(152)
Rotace je závislá na třech parametrech – Eulerových úhlech. Rozměr grupy je tedy deset.
Použijeme následující označení:
(153)
(154)
přidružené k prostoročasu:
(155)
I když to může znít zvláštně, konstrukce koadjointní akce grupy na jejím prostoru hybností nevykazuje hmotnost m jako geometrický objekt. To lze provést pouze prostřednictvím netriviálního rozšíření této grupy – grupy Bargmanna (1960).
(156)
Přítomnost skaláru f zvyšuje rozměr této grupy o jednu: je jedenácti.
Tato grupa působí na prostoru pěti dimenzí – prostoročasu – plus jedna další dimenze z prostřednictvím akce:
(157)
Koadjointní akce grupy Bargmanna na její hybnost byla uvedena výše. Je zřejmé, že přidání skaláru f, které zvýší rozměr grupy o jednu, přidá novou složku hybnosti, která se bude identifikovat s hmotností m (která je přitom zachována: m' = m).
Vycházeje z grupy Bargmanna a používaje její metodu geometrické kvantování, může Souriau nyní odvodit nerelativistickou Schrödingerovu rovnici.
Relativistická kvantová rovnice je Klein-Gordonova rovnice. Bylo tedy logické hledat, z jaké grupy by mohla vycházet. Jedná se o centrální rozšíření:
(158)
„pe“ pro „rozšířená Poincarého grupa“. Zde jsme sestrojili Poincarého grupu z podgrupy ortochronního Lorentzova grupy Lo.
Prostor přidružený k této grupě je také pěti dimenzionální:
(159)
(t, x, y, z, z).
Toto rozšíření je jednodušší než Bargmannovo, ale ve skutečnosti jsou věci v relativistickém případě vždy jednodušší. Dokazujeme navíc, že mezi jedničkou a skalárem f v prvním řádku může být pouze řádková matice 0 = (0 0 0), tedy samé nuly.
Metoda geometrické kvantování pak vede k Klein-Gordonově rovnici. Pokud jde o akci grupy na její prostor hybností, získáme následující:
(160)
Jpe = {c, M, P} = {c, Jp}
Výpočet není složitý. Ve skutečnosti se úplně shoduje s výpočtem koadjointní akce Poincarého grupy na její hybnost.
Vypočítáme antiaukci:
(160b)
a vyjádříme invarianci skalárního součinu (duálnosti):
(160c)
Pokud se z tohoto výpočtu vytrhnete, bude to skvělý znak. Znamená to, že začínáte pronikat do této záplavy.
Vyskytuje se tedy skalár c, jehož jedinou funkcí je zachování. Co to znamená? Žádné vysvětlení. Jedná se prostě o „něco, co se zachovává“. Můžeme mu například přisoudit status elektrického náboje.
První myšlenka je provést takovéto rozšíření opakovaně:
(161)
Ukážeme později, že lze tuto operaci provádět nekonečněkrát a každým krokem se přidá další skalár:
(162)
Jpe = {c₁, c₂, c₃, ..., M, P}
Jpe = {c₁, c₂, c₃, ..., Jp}
s koadjointní akcí:
(163)
Považujeme pak určité diskrétní hodnoty složek hybnosti za náboje částice.
No, řekne čtenář, výborně, můžeme přidat například šest dalších řádků. Získáme tak invarianci skalárů, které můžeme identifikovat s:
(164)
c₁ = e (elektrický náboj)
c₂ = cB (baryonový náboj)
c₃ = cL (leptonový náboj)
c₄ = cₘ (muonový náboj)
c₅ = cₜ (tauonový náboj)
c₆ = v (gyromagnetický faktor)
Stačí zvážit grupu s příslušnou akcí, přidruženou k desetirozměrnému prostoru:
(165)
(x, y, z, t, z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆)
(166)
Znovu sestrojíme grupu kolem ortochronní podgrupy Lo Lorentzovy grupy:
Lo = Ln (neutrální komponenta)
» Ln (prostorová inverze).
Tato dvoukomponentní grupa pak jednoduše vytvoří šest skalárů, které doprovázejí částici bez interakce s čímkoliv. Hybnost se stane:
(167)
Jpe = {q, cB, cL, cₘ, cₜ, v, Jp}
kde Jp je „Poincarého část“. Ale to má omezený význam.
Návrat k podsekci „skupiny a fyzika“
