Analytické znázornění povrchu Boye
J.P. Petit a J. Souriau
.
Níže uvedená reprodukce poznámky z Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paříž, podepsané J.P. Petitem a J. Souriauem, pocházející z roku 1981.
Tento výzkum má svou historii. Až do vydání mého alba Topologicon vydávaného nakladatelstvím Belin v sérii Aventures d'Anselme Lanturlu v roce 1985 bylo v odborné literatuře poměrně málo znázornění povrchu Boye. Na různých místech se objevovaly fotografie modelů vyrobených buď z vápna, nebo z drátěného pletiva. Charles Pugh z katedry matematiky univerzity v Berkeley je největším světovým odborníkem na drátěné pletivo. Přesně tímto materiálem dokonce získal významnou finanční odměnu za výrobu modelů popisujících obrácení koule podle Bernarda Morina, které později Nelson Max digitalizoval a transformoval do filmu, který se rozšířil po celém světě v matematických odděleních.
Avšak považuji drátěné pletivo za poměrně nevážný materiál, zvláště pro tak vysokou vědeckou úroveň. Poznámkou plastika Max Sauze jsem se naučil technice měděného drátu, který je zároveň pružný i pevný, který Max svařoval s obratností, snažil se drát nezahřívat příliš, aby se v materiálu nevytvořily nepříjemné napětí.
Můj přítel Jacques Boulier, známý jako Vasselin, byl v té době profesorem na výtvarné škole v Aix-en-Provence. Jednou mi nabídl, aby nahradil jednoho z jeho kolegů, který odjel do zahraničí, což jsem udělal, a zároveň jsem vyučoval na poloviční úvazek spolu s Sauze. Zatímco jsem vymýšlel objekty, Max je svařoval. Naši studenti, kolem nás zvědavě kroužící, se snažili nás co nejlépe napodobit. V té době byla tato část výtvarné školy v Aix-en-Provence vlastně továrnou na výrobu matematických povrchů.
Pokud si to chcete zkusit, není to složité. Potřebujete válec měděného drátu, řekněme o průměru 1,5 mm, maximálně 2 mm, a kovové kleště. S tímto vyrobíte obě rodiny křivek, které tvoří jakýkoli povrch.
Problém spočívá v tom, aby se objekty správně tvarovaly. Pro tento účel je dobré mít možnost posouvat spojovací body, kde se protínají "meridiány" a "rovnoběžky". Dobré řešení spočívá v jednoduchém svázání obou kovových drátů běžným šicím provázkem. Je to dost pevné, aby objekt držel tvar, ale dost klouzavé, aby umožnilo deformace a úpravy.
Teprve když se domníváte, že objekt je matematicky v souladu s vašimi představami, můžete jej předat někomu, kdo svařuje stříbrem s obratností a umí to dělat bez přehřátí tyčí, což Max dokázal s dokonalou umělostí.
Jednoho dne jsem přinesl prototyp povrchu Boye, po tom, co jsem objevil, jak se měřidla a rovnoběžky mají navzájem uspořádat. Zdálo se, že lze docílit toho, aby měřidla vypadala jako výborně podobná rodina elips.
Max pečlivě zkopíroval objekt. Přišel jsem pak k Souriauovi. Jeho syn (který nikdy neměl trpělivost dokončit bakalářské studium fyziky) si hrál s Apple II svého otce. Řekl jsem mu:
-
Jérôme,
chceš mít vlastní publikaci z čisté matematiky? -
No proč ne?
Koho musím zabít, aby to bylo možné? -
Nikoho. Podívej se na tento objekt. Vezmi úhloměr, změř tyto elipsy a zkus nám vytvořit polovinu empirické znázornění tohoto povrchu.
-
Můžeme to zkusit, dej...
Dva dny nato bylo hotovo. Článek byl rychle přijat v Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paříž a publikován pod našimi jmény: J.P. Petit a J. Souriau.
Ale protože otec se jmenuje Jean-Marie a syn Jérôme, všichni matematici jsou přesvědčeni, že to byl společný výkon otce a mě.
Kresba povrchu na počítači pomocí malého programu BASIC o několika řádcích překvapila mnoho matematiků, kteří očekávali něco složitějšího. Situace měla nepříjemné následky. Matematik Bernard Morin měl v té době doktoranda, Apéryho, syna Apéryho-otce, autora nezapomenutelného věty, podle níž součet krychlí celých čísel je iracionální číslo. Mezi jiným...
O tom jsem nevěděl. Naše pokrok Morina velmi znepokojil, zejména proto, že jsem mu tehdy naivně prohlásil, že tato metoda by měla umožnit popsat povrch se čtyřmi ušima, který ho učinil slavným, ten, který byl postaven s použitím jeho drátěného pletiva Pughem, později digitalizovaný Maxem atd.
Morin zvedl obočí:
- Ne, to je nemožné!
...
To si probereme později. Zatím jsem přesvědčen, že je to možné. Ale tato věta byla ekvivalentem slavného výroku, který Archimedes vykřikl římskému vojákovi, který ho rušil ve svých úvahách – Noli tangere circuleos meos!
V češtině "neotáčej mé kruhy!"
Zde to bylo spíše: "neotáčej mé elipsy!"
Později Apéry využil mou objev, že lze povrchu Boye přidat systém eliptických meridiánů, k vytvoření první implicitní rovnice objektu:
f(x,y,z) = 0
Morin, který byl zlostný, že se objevuji jako někdo, kdo ruší jeho vlastní matematické práce, nutil Apéryho, aby ve své disertační práci uvedl, že právě Sauze objevil myšlenku s elipsami. Max to nevyvracel, ale je to nesprávné. Důkaz je v mé skříni: model, který jsem přinesl Maxovi, aby jej upravil.
Nakonec je to všechno poměrně absurdní. Tato historka má ukázat, že matematici nejsou o nic chytřejší než fyzici.
Polytechnik Colonna, pionýr v oblasti počítačové grafiky, použil naše rovnice bez zmínění jejich původu. Existuje však zábavný detail: pokud vidíte na obrazovce obrázky povrchu Boye, a pokud jde o "naše", bude mít vždy tři drobné "záhyby" blízko pólu. Chyba v úpravě rovnic. Jérôme, syn Souriaua, to udělal rychle a poslední drobný záhyb v blízkosti pólu by byl vhodný. To se stále dá udělat, kdo chce.
Tato saga povrchu Boye je stále otevřená. Pro úplnost zmíním osobu: Carlo Bonomi, italský miliardář. Poznámkou jsem se seznámal během výpravy do Bermuda trojúhelníku (ale to je jiná příběh). Pluli jsme rychle na jeho luxusním yatchu, který byl tak nádherný, že se člověk zastavil. Hledali jsme pohřbenou pyramidu, o které zmínil Charles Berlitz v jedné z jeho knih. Pyramidu jsme nenašli a téměř jsme byli snědeni mnoha velkými šípy, které obývaly tyto oblasti. Pokud máte atlas, místo, kde měla být tato zatracená "Atlantská pyramida", je na jihozápadě útesu zvaného Cay Sal Balk, padesát mil jižně od Kuby.
Mezi potápěními a večeřemi z kaviaru jsem Bonomimu navrhl, aby založil intenzivní výrobu povrchů Boye. Nápad mu přišel líbivý a byla dále pokračována. Řekněme, že povrch Boye, který zdobí matematickou síň Palais de la Découverte v Paříži, byl placen Bonomim a vyroben Sauze. Finančník plánoval výstavu, při níž by se objekty vyráběly z hmotného zlata. Ale věc se neuskutečnila. Překvapený jeho dlouhým mlčením jsem zavolal jeho kancelář v Miláně. Bohužel, zapleten do skandálu loge P2, byl zatčen a jeho zájem o topologii trpěl nevratně.
Dvojlistové pokrytí povrchu Boye, které je obrazem projektivní roviny P2, je koule S2 (viz Topologicon). Pugh vytvořil toto pokrytí pomocí dvou vrstev drátěného pletiva, což je objekt všemi způsoby výjimečný, i když, jak jsem řekl, preferuji osobně měděný drát a znázornění meridiánů a rovnoběžek. Ale i v čisté matematice:
- De gustibus et coloribus non disputandum.
Před prezentací poznámky ještě jedna historka. Charles Pugh tedy vytvořil sedm modelů z drátěného pletiva, což mu přineslo významnou odměnu, popisující postupné kroky obrácení koule, o kterém bude řeč, až najdu pět minut, abych to uložil na web, a které byly zavěšeny na stropě jídelny katedry matematiky univerzity v Berkeley.
Matematici ze všech koutů světa tedy přicházeli na poutní cestu, aby se zbožně zírali na tuto výjimečnou posloupnost. Ale jedné noci byly modely ukradeny a nikdo neví, co se s nimi stalo, přestože byly naprosto nekupní. Kdo by přijal takovou transakci? Případně bohatý milovník umění, částečně estetik, částečně matematik, který by financoval operaci, aby je uložil do ocelové sklepy, aby mohl být jediný člověk, který může pozorovat osmou divotu světa, i když byla vyrobena z drátěného pletiva.
Pugh, i přes svou zručnost s materiálem, neměl odvahu začít novou sérii.
Jak jsme již řekli na začátku webu, život samotného Werner Boye zůstává záhadou. Po vynálezu povrchu, který měl spojit s jeho jménem, se vlastně zcela vypařil po odchodu z univerzity. I přes své úsilí nemohl Hilberth zjistit jeho stopu a nevíme ani, kde byl pohřben.
Vrátíme se k matematice. Pojďme se podívat na následující poznámku. Je poměrně snadno čitelná. Z rovnic 1 až 8 může každý probuděný student střední školy vytvořit velmi krásné obrázky a ověřit, že řezy odpovídají obrázku 5.
C.R. Acad. Sc. Paris, t. 293 (5. října 1981) Série 1 - 269
GEOMETRIE. – Analytické znázornění povrchu Boye. Poznámka Jean-Pierre Petit a Jérôme Souriau, předložená André Lichnérowiczem.
Představujeme analytické znázornění povrchu Boye, které umožňuje jeho vykreslení.
- ÚVOD.
Povrch vynalezený v roce 1901 matematikem Wernerem Boyem, žákem Hilbertha, je dobře znám matematikům. Může být klíčovým krokem při obrácení koule ([1] a [2]).
V roce 1979 (J.P.P.) jsem vytvořil model z kovového drátu, který ukazoval polohu, kterou měly zabrat meridiány povrchu. Druhá práce provedená v roce 1980 spolu sochařem Maxem Sauze umožnila znovu vytvořit druhý model, kde se křivky nacházely v rovinách a vypadaly poměrně podobně jako elipsy. Z takového modelu se zdálo možné vytvořit analytické znázornění povrchu s topologií povrchu Boye, jehož meridiány jsou elipsy procházející jediným pólem.
- JAK VYTVOŘIT POVRYH BOYE S POMOCÍ ELIPS.
Umístěme pól do počátku souřadnic. V tomto bodě bude povrch tečný k rovině (XOY). Bude tedy mít osu OZ jako osu tříosé symetrie (viz obrázek 1). Meridiány jsou tedy elipsy umístěné v rovinách Pm. Nechť OX1 je průsečík roviny Pm s rovinou XOY. Označme m úhel (OX, OX1). V této rovině Pm umístěme druhou osu OZ1 kolmou k OX1. Označme a úhel (OZ, OZ1).
Obr. 1 a Obr. 2
Prvním parametrem této analytické reprezentace bude úhel
m
. Budeme považovat úhel
a
za funkci
m
(časem definovanou). V rovině Pm nakreslíme nyní elipsu tečnou v bodě O k OX1 (viz obrázek 2). Osa této elipsy bude rovnoběžná s osami půlkruhů X1OZ1. Označme A(m) a B(m) hodnoty os této elipsy. Tato elipsa Em bude generována druhým volným parametrem
q
.
Shrnutí: získáme souřadnice X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) bodu na povrchu.
V této polovině empirické přístupu umožnily měření provedená (J.S.) na modelu přiblížení funkcí
a(m), A(m) a B(m). Povrch byl pak vykreslen na počítači "Apple-II" a získaly se řezy při Z = konst. Studium těchto řezů umožnilo určit topologickou identitu s povrchem Boye. Tento výsledek byl dosažen pouze za cenu numerické experimentace (J.S.), která umožnila odstranit nepříjemné dvojice singulárních bodů (vznik dvojic špičatých bodů).
Ukázalo se, že platí:
(1)
A(m) + 10 + 1,41 sin(6m – π/3) + 1,98 sin(3m – π/6)
(2)
B(m) + 10 + 1,41 sin(6m – π/3) – 1,98 sin(3m – π/6)
(3)
V souřadnicové soustavě X1 O Z1 jsou souřadnice středu elipsy Em:
(4)
(5)
Ve stejné soustavě jsou souřadnice bodu na elipse:
(6)
(7)
a souřadnice x, y, z jsou dány:
(8)