Jak převést Cross Cap povrch na povrch Boya (pravý nebo levý, podle výběru)
procházející romským povrchem Steiner.
Italština: Andrea Sambusetti, univerzita v Římě
- září - 25. října 2003
stránka 2
Zde je "Cross Cap povrch" (tak, jak byste jej objevili ve virtuálních realitách). Má dva vrcholy, které jsou vrcholy čáry sebeprotínání. Můžete ji vytvořit stlačením balónku s kousky kovových závěsek. Ale můžete také vytvořit její polyedrické reprezentace. Ta níže nás bude zvlášť zajímat.
V tabulce 4 se nachází nejtěžší věc, kterou se naučit. Myslím si, že je nemožné, aby někdo pochopil tyto objekty jen podle obrázků. Vytvořte si modely. Jinými slovy, taháme vrchol
C 2
do "vnitřku povrchu" (což, mezi jiným, nemá žádný smysl, protože, jak jste jistě okamžitě poznali, Cross Cap povrch je jednostranný: nemá vnější a vnitřní stranu). Pokud to děláme dál, povrch se "sebeprotíná" a množina sebeprotínání se doplní, zhladíme trochu věci, křivkou ve tvaru osmičky. Vznikl, mezi jiným, trojný bod
T.
Povrch je lépe pochopitelný ve své polyedrické podobě a níže jsme zvětšili některé prvky, aby bylo vidět, co nás přivede k transformaci tohoto objektu na romský povrch Steiner (viz simulace virtuální realitě), jehož nejjednodušší polyedrická podoba spočívá v sestavení čtyř krychlí (zde je vidět jen tři).
Tabulka 5: polyedrická verze vlevo, kulatá vpravo. Šipka prochází bodem, který chceme "zúžit". Níže začátek zúžení.
Tabulka 6: zúžení je provedeno a vytváří singulární bod
B. Ve skutečnosti, protože zúžíme z obou stran (aby to bylo rychlejší), vzniknou dva singulární body
S1 a
S1, pak dva vrcholy. V tomto okamžiku, bez kartonu, nůžek a lepicího pásu, máte velké potíže.
Tabulka 7: zde jsme jen přesunuli různé vrcholy. Pokud je bod
C2 "zřetelný", jistě budete mít větší potíže identifikovat body
C 3 a C
4 jako vrcholy. Ačkoli jsou tam, na koncích čáry sebeprotínání. Nad bodem
C3 je prostě to, co jsem nazval "posicono", bod, ve kterém se koncentruje kladná křivost (bod, ve kterém se koncentruje záporná křivost, nazývám "negacono"). Pokud trochu změníme tento objekt, dostaneme polyedrickou podobu romského povrchu Steiner (vymyšleného Steinerem v Římě; viz jeho ilustrace ve virtuální realitě).
Takže hra je hotová. Existuje několik typů povrchů, podle pravidel, která si jedinec nastaví. Povrchy, které se nezasekávají, se nazývají "vložení" (sféry nebo toru v
R3). Když se však samy sebeprotínají, ale tečný rovina se spojitě mění bez degenerace, nazývají se
pohodlné vložení
. Například: lahve Klein ve své klasické reprezentaci. V
R 3 neexistuje reprezentace lahve Klein jako vložení: nutně se protíná. Pohodlná vložení mají množiny samotného sebeprotínání
bez vrcholů
. Tyto množiny jsou spojité křivky, ale mohou se křížit v dvojných nebo trojných bodech. Poznámka: koule lze realizovat jako pohodlné vložení (což není vložení), když se samotná křivka protíná. Je to skutečně způsob, jak ji obrátit (viz metoda A. Phillips, 1967, která má jako centrální krok dvojité pokrývání povrchu Boya; viz také B. Morin a J. P. Petit, 1979, kde je základním modelem Morinův model "s čtyřmi ušima", jehož polyedrickou reprezentaci jsem vymyslel před několika lety).
Náčrt tohoto objektu s papírem a nůžkami
Pokud rozšíříme pravidla hry a připustíme, že tyto objekty mohou mít i vrcholy, dostaneme
pohodlné vložení
(Cross Cap, romský povrch Steiner). Nevím, zda je slovo "pohodlné vložení" správné, ale protože jsem nenašel žádného matematika, který by mi to mohl vysvětlit, našel jsem to zábavné, vymyslet si něco, dočasně, až se někdo odborník objeví. Takže Cross Cap a romský povrch Steiner by mohly být pohodlná vložení "projektivního roviny".
Abych vám to řekl upřímně, po dvaceti pěti letech činnosti a mých zklamání v oblasti magnetohydrodynamiky jsem začal tyto práce, protože mi připadaly nejvzdálenější od jakékoliv vojenské aplikace. Ale, jak mi řekl můj starý přítel Mihn, slovo "pohodlné vložení" může vést k zmatku a může se zdát, že přes tato výzkumy se pokouším skrýt pokroky v oblasti ponorného pohonu.
Pravidlo "tvorby-rozpadu" párů vrcholů umožňuje přejít od jednoho pohodlného vložení k jinému a to jsme právě udělali, ukazujíc, že Cross Cap a romský povrch Steiner jsou dvě pohodlná vložení stejného objektu, známého jako
projektivní rovina.
Nepokoušejte se představit si "projektivní rovinu". Tento objekt lze pochopit pouze prostřednictvím různých reprezentací. Pokud jde o slovo "projektivní", není to nic jiného než jedno z tisíců vymyšlených matematiky, aby zmatené ty, kteří chtějí proniknout do jejich uzavřeného kruhu. Zanichelli vám v matematice nebude žádnou pomocí.
Zbývá nám tedy podívat se, jak přejít k povrchu Boya, což je pohodlné vložení projektivní roviny
Předchozí stránka
Další stránka
Zpět na index „Transformace Cross Cap do Boya“
Zpět na sekci Novinky
Zpět na sekci Průvodce
Zpět na Hlavní stránku
Počet návštěv od 25. října 2003