Jak převést plochu Cross Cap na plochu Boya (pravou nebo levou, podle výběru)
procházející romskou plochou Steineru.
Italština: Andrea Sambusetti, univerzita v Římě
- září - 25. října 2003
stránka 4
Představujeme model z jiného úhlu pohledu:
Tabulka 14: opakujeme stejnou operaci a vytváříme třetí „ucho“ křivky samoprůniku. V polyedrickém modelu má poslední tvar tři čtverce se společným vrcholem: bod trojnásobný
T.
Tabulka 15: otáčením objektu najdete polyedrickou verzi plochy Boya, kterou jsem představil na Topologiconu (kde můžete najít i plán montáže, který umožňuje ji postavit).
Poslední tabulka: snažil jsem se ilustrovat plochu Steineru, když se zakroutí a změní se na plochu Boya.
Vidíme, že, nakreslená „kruhově“, je to trochu obtížné pochopit. Náš oči jsou velmi neklidné, když se snaží pochopit objekt, pro který na jedné vizuální linii se překrývají více než dvě plochy. Z tohoto důvodu je zájem o polyedrický model, který umožňuje každému, pokud se pokusí postavit modelky sám, pochopit transformace považované za složité v geometrii. Poznamenejme mezi jiným, že podle vybraných dvojic vrcholových bodů získáme plochu Boya „pravou“ nebo „levou“ (úplně libovolné definice). Projektivní rovina se ponoří do prostoru prostřednictvím dvou „antiautomorfních“ zrcadlových reprezentací. Vidíme tedy, že lze přejít od pravé plochy Boya k levé ploše Boya prostřednictvím „středového“ modelu, což je romská plocha Steineru.
Bylo by určitě hezké, kdyby tyto obrázky byly publikovány v časopisech jako Pour la Science nebo La Recherche. Ale z dvanácti let mi je „zakázáno“ publikovat v těchto časopisech kvůli ufologickému deviaci. Děkuji, pane Hervé This a pane Philippe Boulanger. Ztratil jsem počet článků tohoto druhu, které jsem navrhl těmto časopisům a které mi byly laskavě odmítnuty. Nakonec se zvykne na svůj stav vyhnanství.
Aneddotický titul: existuje „cenu d'Alemberta“ určená pro odměnu autorů matematických popularizačních knih. Příběh mi byl vyprávěn členem komise, která rozhodovala, komu má být cena přidělena (jsou i otázky peněz za tím). Dialog:
-
Tak proč nám nevěnujeme cenu Petitovi? Napsal významné díla jako „Géométricon“, „Trou Noir“ a „Topologicon“.
-
Ano, ale neudělal jen to.
-
Na co narážíte?
-
Napsal také „Mur du Silence“.
-
Ach, no, pak...
Ano, „Mur du Silence“, vydaný v roce 1983, je album věnované MHD. A, jak každý z nás ví, tato korozivní věda má jako výhodu, nebo nevýhodu,
umožňuje letadlům létat rychlostí nadzvukovou bez výbuchu.
„Schovejte tuto vědu, abych ji neviděl“
Mám ve svých krabicích magnifickou verzi „převrácení krychle“, která není verze polyedrická varianty Morin. Celé moje dílo. Jednoho dne....
- října 2003
: Na těchto stránkách se nepřemáháme moc, pokud věřím počítadlu. Pondělí 13. října 2003 jsem měl přednášku na CMI (Centrum matematiky a informatiky Château-Gombert-Marseille) na pozvání Trotmana. V té době jsem mohl vytáhnout sbírku třiceti modelů z kartonu, z nichž jednoho dne můžete ochutnat první pokus, protože byly pořízeny Christophe Tardy.
Při přednášce se vytváří určitá atmosféra. V níže uvedeném obrázku je geometr, který vyjadřuje svou zmatenost.
Na pozadí část modelů, které jsem vystavil s pomocí mého dlouhodobého spolupracovníka, Borise Koleva, člena oddělení, také geometra. V určitém okamžiku jsem položil otázku:
- Kolik z vás už vidělo romskou plochu Steineru? Zvedněte ruku.
Nikdo ji nikdy neviděl. Připadalo mi tedy užitečné představit tento objekt s programem virtuální reality na notebooku, který jsem měl s sebou, program vytvořený s pomocí Christophe Tardy, inženýra, a Frédéric Descamp, Institut Laue Langevin v Grenoble (ILL). Zřejmě tato prezentace zmatená veřejnost, která není zvyklá vidět matematické plochy dělat koule.
Dvě kartonové tabulky, viditelné v popředí, umožnily představit celou řadu modelů v jejich logickém pořadí. Modré a žluté modely ilustrují, ve formě polyedrické, základní nástroj pro vytváření a rozklad dvojice vrcholových bodů. Nejvzdálenější bílý objekt je verze polyedrická plochy Cross Cap, která se nejprve přemění na verzi polyedrickou romské plochy Steineru, poté, o metr dál, podle vlastního výběru, na plochu Boya „pravou“ nebo „levou“.
Analýza modelů vytváří různé pozorování ve veřejnosti. Jeden z geometrů se ptá:
- Pokud je pravda, že sledováním modelů v tomto pořadí lze přejít od plochy Cross Cap k ploše Boya, zdá se, že sledováním opačného postupu lze přeměnit plochu Boya na plochu Cross Cap.
Odpovím ano. Ověřený, můj dotazník přidává:
- Takže, pokud se dostaneme ke stádiu romské plochy Steineru a zastavíme se, mělo by být možné se vrátit k ploše Boya, ale odrážející se od počáteční.
Souhlasím podruhé. Ale bohužel, nikdo se nehlásí, aby něco vysvětlil v tomto zvláštním světě, kde se umožňuje ponoření uzavřených ploch mít vrcholové body, které se vytvářejí nebo rozkládají v párech, jejichž soubor tvoří druh rozšíření světa ponoření. Slovo „summersion“ mi připadá vhodné. Pokud čtenář je schopen něco vysvětlit, je vítán.
Křivost koncentrovaná v vrcholovém bodě.
Vypočítáme ji sečtením úhlů ve vrcholu a porovnáním této sumy s výsledkem, který se získává v případě euklidovského roviny: 2
p
.
v horním levém rohu můžete vidět jednu z mnoha možných polyedrických reprezentací vrcholového bodu. „Rozmontováním“ plochy se dostaneme k součtu úhlů, který přesahuje hodnotu 2
p
o 2
a
. Z toho vyplývá, že koncentrovaná úhlová křivost kolem tohoto bodu C je - 2
a
. Pokud je úhel
a
roven
p
/2, pak záporná křivost je
-p
(obrázek v dolním levém rohu). Ve skutečnosti může křivost vrcholového bodu nabývat nekonečně mnoha hodnot. V dolním pravém rohu zdůrazňujeme součet úhlů a křivost se stane pak < -
p
(máme zvýšenou zápornou křivost).
Operací v opačném směru můžeme dosáhnout docela překvapivé situace: můžeme dosáhnout toho, že křivost (úhlová) koncentrovaná v C bude ... nula:
Nyní začneme od polyedrické reprezentace plochy Cross Cap, která obsahuje dva vrcholové body, každý s křivostí rovnou -
p
:
V tomto obrázku jsou osm „pozic“ odpovídajících hodnoty +
p
/2. Přidáme čtyři další „pozice“ s křivostí +
p
/4 a čtyři „negace“ s křivostí
- p
/4.
Plus dva vrcholové body s křivostí
- p
.
Celkem: 2
p D
ividendo hodnotu tohoto „celkového křivosti“ podle 2
p
najdeme hodnotu Eulerovy-Poincaréovy charakteristiky jakékoliv reprezentace roviny projektivní (nebo plochy Boya).
Během přednášky jsem zmínil umění a způsob, jakým lze permutovat dva vrcholové body plochy Cross Cap pomocí obrácení koule. Nevím, jestli jsem to někde umístil na svém webu. Je to takový chaos. Budu hledat, jinak to přidám. Je to zábavné. Fakt je, že tato operace se nelíbila jedné z osob přítomných na přednášce:
- Nevidím důvod, proč Petit používá tolik vybavení, aby dokázal symetrii, která spojuje dva vrcholové body plochy Cross Cap. Může to být mnohem jednodušší.
Nakreslil na tabuli obrázek zploštěné koule mezi dvěma pravítky, které se dotýkají a skutečně dávají množinu samoprůniku ve tvaru úsečky, jejíž konce jsou dva vrcholové body, jako plocha Cross Cap. Bohužel, a osoba v otázce si to všimla, to není plocha Cross Cap.
- Čert, co to tedy je? zeptal se někdo.
Je to jednoduše ponoření koule s dvěma vrcholovými body. Pokud se spojí do jednoho bodu, získáme čáru samoprůniku, která se stane kruhem. A získáme (v dolním pravém rohu) ponoření koule, které nám zbývá převést do jejího standardního vložení. Můžeme také poskytnout polyedrické znázornění této plochy:
Jde o dvoustrannou plochu, jejíž celková křivost je 2
p
.
Takže, můžeme se zábavně zabývat těmito „summersiony“. Zvažme ponoření toru získané otáčením symbolu „nekonečno“ kolem osy:
Technika spojení vrcholových bodů do jednoho bodu nám umožňuje rychle dosáhnout standardního vložení toru, jak je vysvětleno výše na obrázcích v pořadí.
Ale věci nejsou vždy tak jednoduché a zřejmé. Zvažme například zploštěnou kouli mezi dvěma úsečkami, které jsou tentokrát kratší než průměr. Získáme stále dva vrcholové body.
Protože tato plocha obsahuje Moebiovu pás, je jednostranná. Přidali jsme vedle její polyedrické znázornění, které umožňuje vypočítat její celkovou křivost. Zjistíme pak nulu. Pokud se nepletu, měla by být tedy Kleinova láhev. Obvykle známe pouze klasické ponoření, ve kterém je čára samoprůniku jednoduchý kruh. Ale existují jiné, jako tato. Uznávám, že jsem ještě nenalezl způsob, jak ji převést na obyčejnou Kleinovu láhev. Navíc nevím ani, zda tato „ponoření“ a klasické ponoření leží ve stejné třídě homotopie (pro kouli, například, je jen jedna). A priori to není jisté: torus může být ponořen do třírozměrného prostoru čtyřmi různými způsoby, které nelze převést jeden na druhý pomocí pravidelné homotopie. Dokud nezjistím, zda je to možné nebo ne, zabavil jsem se tím, že jsem ji převedl vytvořením dalších dvou vrcholových bodů, čímž jsem získal dvě Cross Cap spojené trubkou. Rozložením zjistíme, že Eulerova-Poincaréova charakteristika je nula.
Tato zvláštní plocha by měla přejít do jednoho z 4 možných ponoření Kleinovy láhve, ale které? V každém případě, zde je jedno, které jsem získal otáčením osmi kolem osy, zatímco on sám provádí poloviční otáčku kolem sebe:
Předchozí stránka
Návrat do indexu „Transformace Cross Cap do Boya“
Návrat do sekce Novinky
Návrat do sekce Průvodce
Návrat na Hlavní stránku
Počet návštěv od 25. listopadu 2004
:
