Italština: Andrea Sambusetti, univerzita v Římě
Klikněte sem
pro zobrazení modelu ve měřítku 1:1, který můžete vytisknout a vystřihnout.
Vytiskněte čtyři kopie na kartonu různých barev a můžete si sám postavit model podle pokynů k jeho sestavení.
Určitě jste viděli zvláštní objekt, který neustále rotuje na levé straně úvodní stránky tohoto webu. O čem jde?
Jednoho dne, až najdu čas, na tomto webu přidám popis obrácení koule, jak jsem jej ilustroval v čísle Pour la Science z ledna 1979, tedy... před 22 lety! To bude vyžadovat mnoho detailů a úvod. Co znamená „obrátit kouli“? Pro běžného člověka je koule jen množina bodů ve vesmíru vzdálených vzdálenost R od pevně daného bodu O. Geometr však bude i nadále nazývat „koulí“ i objekt, který odpovídá „deformované kouli“, například bramborě. Pro přesnější pochopení těchto pojmů si pořiďte CD Lanturlu s komiksem „Topologicon“. Matematik však jde ještě dál. Povrch se nazývá „pravidelný“, pokud v každém bodě lze definovat tečnou rovinu. To už umožňuje představit si nekonečně mnoho možných pravidelných deformací koule ve všech možných formách brambory, přičemž lze libovolně měnit plochu tohoto povrchu. Přesto v našem fyzickém vesmíru člověk, který by se pokoušel obrátit kouli (přesunout její vnitřní povrch ven), se potká s nemožností, aby se povrch prošel sám sebou. Při předpokladu, že povrch nesmí procházet sám sebou ani jen se dotýkat, matematik mluví o vložení koule S2. Matematik však vždy může všechno. Pro něj je koule „virtuální“ objekt, nehmotný, kde procházení ploch je možné. Posloupnost obrázků níže ukazuje kouli, která se prochází sám sebou. Takové znázornění, které umožňuje samoprocházení, se nazývá „vložení“.
Vložení tedy má množinu samoprůniků (zde jde o jednoduchou kruhovou křivku). Tečná rovina však musí být spojitá. Přesto, když se podíváte na obrázek nahoře, je zřejmé, že operace přesouvá část vnitřního povrchu (zobrazeného zeleně) ven. Pro dokončení obrácení by bylo třeba „stlačit“ tento druh „břicha“ na rovníku. Zdá se, že zde je problém: takové stlačení by narušilo spojitost tečné roviny a tato transformace by obsahovala krok, který není vložením.
Jednoho dne americký matematik Stephen Smale dokázal, že „koule S2 má jedinou třídu vložení“. Tato záhadná věta měla za následek, že by mělo být možné přejít prostřednictvím transformace, která obsahuje pouze skutečná vložení, od standardní koule k jejímu „antipodálnímu“ znázornění, kde každý bod je zaměněn s jeho antipodálním bodem: jinými slovy... obrácená koule. Raoul Bott byl Smaleho šéfem. I když formální důkaz tohoto faktu vypadal správně, nikdo nebyl schopen konkrétně provést operaci obrácení. Bott stále žádal Smalea: „Ukaž mi, jak bys postupoval“; Smale, známý svou přímou řečí, odpovídal: „Nemám tušení“. Smale později získal Fieldovu cenu, matematickou ekvivalent Nobelovy ceny. Kromě toho se možná ptáte, proč neexistuje Nobelova cena pro matematiku. Odpověď je jednoduchá: jeho manželka utekla s matematikem.
Věci zůstaly tak po dlouhou dobu, až americký matematik Anthony Phillips v roce 1967 v Scientific American publikoval první verzi tohoto obrácení, velmi složitou. Druhá verze byla vytvořena na počátku sedmdesátých let francouzským matematikem (nemocným) Bernardem Morinem. Já byl první, kdo nakreslil posloupnost transformací, která bude předmětem, jak jsem vám oznámil, příštího článku na tomto webu, a to velmi rozsáhlého. Nicméně všechno to nás přivádí k jedné úvaze. Povrchy lze znázornit v polyedrické podobě. Krychle nebo čtyřstěn mohou být považovány za polyedrické reprezentace koule v tom smyslu, že mají stejnou topologii. Na tomto bodě se obraťte na mé Topologicon. Navíc je zřejmé, že pokud je možné obrátit kouli, bude stejně možné obrátit i krychli. Transformace vynalezená Bernardem Morinem (kterou jsem ilustroval v článku z ledna 1979 v Pour la Science) prochází centrálním modelem. V této posloupnosti existuje symetrie. Nazývám ji „centrální model s čtyřmi ušima“. Předem vám to říkám. Nicméně, stejně jako koule lze znázornit polyedricky, stejně tak platí pro následující kroky této transformace. To, co se vám otáčí na mé úvodní stránce, je polyedrická verze centrálního modelu obrácení koule, který jsem vynalezl před deseti lety. Zajímavostí těchto polyedrických modelů je, že lze sestavit z rovinných ploch. Lze je také sestavit z papíru a nůžek. Podívejte se na následující obrázek (děkuji mezi závorkami mému příteli Christophe Tardy, který vytvořil prvky správné velikosti).
Velké
Je to náčrt sestavení, který máte zde v obecném pohledu. Pro tisk je však lepší přejít na stránku „dělení“. Vytiskněte ji. Poté, vybaveni tímto vytisknutým exemplářem na běžném papíru vaší tiskárny, vytiskněte čtyři identické kopie, dvě na zeleném kartonu bristolovém a dvě na žlutém. Budete schopni pomocí těchto vystříhaných listů sestavit centrální model obrácení krychle.
Na vystříhaných částech jsou páry písmen: a, b, c, d, e, f atd. Stačí přehnout list tak, aby se stejná písmena překryla, a pak plochy spojit páskou. Následující obrázky ukazují způsob sestavení jednoho z čtyř dílů. Nejprve je třeba začít přehýbat jeden z čtyř prvků:
Zde jsou dva z čtyř prvků, viděné z různých úhlů.
Tyto části se následně uspořádají tak, aby vznikl objekt se symetrií čtvrtého řádu, kde se střídají zelené a žluté části. Pro vidění v 3D se podívejte na realizaci Tardy v sekci „virtuální realita“. Centrální model je sestaven a také realizován ve formátu „vrml“ v této sekci. Zde je znázorněn z různých úhlů:
Není možné říci, že jeden pohled odpovídá „nahoře“ a druhý „dole“, protože tyto označení jsou naprosto libovolné. V levém obrázku odpovídá „středový“ bod „dvojitému bodu“ (kde se dvě plochy protínají) centrálního modelu Morin, zatímco středový bod vpravo odpovídá „čtyřnásobnému bodu“ toho samého modelu (kde se protínají čtyři plochy). Musel jsem objekt velmi pečlivě orientovat, aby levý obrázek nevyvolával dojem svastiky. Kromě toho, z hlediska architektonického, tato polyedrická reprezentace centrálního modelu Morin by mohla být skvělým projektem pro Národní kulturu sociálního státu.
Poslední poznámka: neexistuje dobrá polyedrická reprezentace obrácení koule (nebo krychle). „Dobrá“ znamená posloupnost modelů dostatečně explicitních, které lze popsat jako listy k vystříhání relativně snadno, jako je tento model. Bylo by vhodné provést studii v tomto směru, která by byla dostupná každému, i ne-matematikovi, například sochaři. Před více než dvaceti lety jsem byl učitelem sochařství na Ecole des Beaux-Arts v Aix-en-Provence, když byl ředitelem můj milý přítel Jacques Boullier. V těchto prostorách vznikla první jihovýchodní reprezentace povrchu Boy pomocí elips, klíčové pro sestavení první implicitní rovnice od Apéry. Musím říct, že už tehdy jsem byl překvapen geometrickou představivostí studentů umění, která často překonávala tu… geometrů.
Počítadlo nainstalováno 31. prosince 2001. Počet připojení:
Zpět na stránku Novinky
Úvodní stránka
Obrázky
