Jak převést křížovou plochu na Boyovu plochu (pravá nebo levá, podle výběru), přes Riemannovu plochu Steineru.
- září 2003
stránka 4
Nyní je model prezentován z jiného úhlu:
Platno 14: Opakujeme stejnou operaci a vytváříme třetí „ucho“ křivky se samooprůnikem. V polyedrické podobě má tato část tvar tří čtverců sdílejících společný vrchol: trojný bod
T.
Platno 15: Otáčením objektu najdete polyedrickou verzi Boyovy plochy, kterou jsem představil a inspiroval v Topologiconu (kde je k dispozici i rozstříhání pro její sestavení).
Poslední platno: Snažil jsem se zachytit plochu Steineru (čtvrtého stupně, zatímco Boyova je šestého) při jejím záhybu a přeměně na Boyovu plochu.
Vidíme, že „kruhovitý“ objekt vyžaduje značnou zkušenost k pochopení. Naše oko je velmi nepříjemně postaveno, když se snaží pochopit objekt, kde na jedné viditelné čáře překrývají více než dvě plochy. Proto má polyedrická podoba zásadní výhodu – umožňuje běžnému člověku pochopit transformace, které se v geometrii považují za složité, protože lidé sami vytvářejí modely. Zároveň si všimneme, že podle toho, které páry špičatých bodů zvolíme, získáme „pravou“ nebo „levou“ Boyovu plochu (tyto pojmy jsou naprosto libovolné). Projektivní rovina se vkládá dvěma „enantiomorfními“ reprezentacemi, zrcadlovými obrazy. Vidíme, že přes střední model – Riemannovu plochu Steineru – lze přejít z pravé Boyovy plochy na levou.
Bylo by určitě příjemné, kdyby takové obrázky byly publikovány v časopisech „Pour la Science“ nebo „La Recherche“. Ale už dvacet let jsem „zakázán ke vydávání“ v těchto časopisech kvůli „ovnijskému deviaci“. Děkuji, pánové Hervé This a Philippe Boulanger. Už si nevybírám, kolik podobných článků jsem poslal těmto časopisům a jak mi byly zdvořile vráceny. Nakonec se zvykne na své postavení exkomunikovaného.
Na závěr anekdoty: v Francii existuje „Alemberův cenu“ určená k ocenění autorů knih o popularizaci matematiky. Příběh mi vyprávěl člen komise, která rozhodovala, komu má cena patřit (na konci je i nějaký peníz). Dialog:
-
Ale konečně, nemohli bychom udělit cenu Petitovi? Napsal výborné knihy jako Géométricon, Černá díra a Topologicon.
-
Ano, ale psal i jiné knihy.
-
Na co tím myslíte?
-
Psal i Knihu ticha.
-
Ach, v tom případě...
Ano, Knihy ticha, vydaná v roce 83, je komiksová série věnovaná MHD. A jak každý ví, tato podezřelá věda má tu vlastnost – nebo zradu – umožnit letounům letět rychlostí přes zvuk bez „bouchnutí“.
Schovejte tuto vědu, abych ji neviděl
Mám ve svých zásobách krásnou verzi „obrácení krychle“, s nádherným středním modelem, který není polyedrickou verzí Morinovy varianty. Všechno je moje vlastní. Jednou z těchto dnů...
- října 2003
: Na těchto stránkách se nezdržují lidé, jak mi napovídá čítač. Dne 13. října 2003 jsem na výzvu Trotmana přednesl seminář v CMI (Centru matematiky a informatiky Château-Gombert-Marseille). Příležitostně jsem mohl umístit kolekci třiceti kartonových modelů, které si jednou brzy uvidíte – byly fotografovány Christophe Tardy.
Když přednášíte seminář, vznikne určitá atmosféra. Na následujícím obrázku geometr vyjadřuje své zmatení.
Na pozadí část modelů, které byly vystaveny. V určitém okamžiku jsem položil otázku:
- Kdo z vás už viděl Riemannovu plochu Steineru? Zvedněte ruku.
Nikdo to nikdy neviděl. Proto jsem se rozhodl představit objekt, ve skutečnosti virtuální, na notebooku, který jsem si přivezl – objekt vytvořen spolu s Christophe Tardy, inženýrem, a Frédéricem Descampem z Institut Laue Langevin v Grenoble (ILL). Zřejmě tato prezentace zmatená publikum, které málo zvyklé vidět matematické plochy, jak se volně točí.
Dva kartonové panely, viditelné na prvním místě, umožnily prezentovat řadu modelů v logickém pořadí. Modely „zelená a žlutá“ ilustrují v polyedrické podobě zásadní nástroj pro tvorbu nebo zánik páru špičatých bodů. Nejvzdálenější bílý objekt je polyedrická verze Cross Cap, která se nejprve promění v polyedrickou verzi Riemannovy plochy Steineru, o metr dál pak podle libosti v pravou nebo levou Boyovu plochu.
Analýza modelů vyvolala různé poznámky u publikum. Jeden z geometrů se zeptal:
- Pokud postupujeme podle modelů tímto směrem, můžeme přejít od Cross Cap k Boy, zdá se, že obráceným směrem bychom mohli přeměnit Boy na Cross Cap.
Odpověděl jsem ano. Odvážněji pokračoval:
- Pokud na úrovni Riemannovy plochy Steineru zastavíme, je pak možné začít znovu směrem k Boyově ploše v zrcadlovém obrazu.
Znovu jsem souhlasil. Bohužel nikdo se nepřihlásil, aby vysvětlil tento zvláštní svět, kde uzavřené plochy s vkládáním mají špičaté body, které vznikají nebo mizí po párech, celkem tvořící rozšíření světa vkládání. Slovo „submersions“ mi připadá vhodné. Pokud by někdo našel vysvětlení, bylo by to vítáno.
Zaměřená křivost v špičatém bodě
Spočítáme ji sečtením úhlů ve vrcholu a porovnáním s eukleidovskou sumou: 2
p
.
V horním levém rohu je znázorněna jedna z mnoha polyedrických reprezentací špičatého bodu. „Demontáž“ objektu (vpravo) vede ke sumě přesahující eukleidovskou sumu 2
p
o hodnotu 2
a
. Z toho vyplývá, že úhlová křivost koncentrovaná kolem tohoto bodu C je –2
a
. Pokud je úhel a roven
p
/2, pak záporná křivost má hodnotu
c
(podobně vlevo dole). Ve skutečnosti může křivost koncentrovaná v špičatém bodě nabývat nekonečně mnoho hodnot. Vpravo dole zvýšíme úhlovou sumu a křivost pak bude < 2
a
. Zvýšíme zápornou křivost.
Při opačném postupu můžeme dosáhnout docela překvapivé situace: aby byla křivost (úhlová) koncentrovaná v bodě C… nulová:
Nyní můžeme začít s polyedrickou reprezentací Cross Cap se dvěma špičatými body, každý s zápornou křivostí rovnou
– p
:
Existuje osm „pozitivních bodů“ odpovídajících hodnotě +
p
/2. Přidejme čtyři další „pozitivní body“ s křivostí +
p
/4 a čtyři „negativní body“ s křivostí –
p /4. Připočtěme ještě dva špičaté body s křivostí
– p
.
Celkem: 2
p E
Při dělení celkové křivosti číslem 2 p získáme Eulerovu-Poincarého charakteristiku všech reprezentací projektivní roviny (jako je např. Boyova plocha).
Během mé přednášky jsem zmínil umění a způsob, jakým lze prohodit dva špičaté body Cross Cap pomocí obrácení koule. Nevím už, jestli jsem to někde na svém webu vložil. Je to taková zmatenost. Bude třeba hledat, jinak to tam někde dám. Je to docela zábavné. V každém případě tato prezentace nezaujala jednoho z účastníků semináře.
- Nevím, proč Petit používá takový nářadí k dokázání symetrie mezi dvěma špičatými body Cross Cap. Je to mnohem jednodušší.
A nakreslil na tabuli obrázek zploštělé koule, která je spojena dvěma tyčemi, které tvoří skutečně množinu samooprůniku ve tvaru úsečky ohraničené dvěma špičatými body, jak je tomu u Cross Cap. Bohužel a on to brzy pochopil, to není Cross Cap.
- Panebože, ale co to pak je? zeptal se někdo.
Je to jednoduše koule s dvěma špičatými body. Pokud je spojíme, vznikne samooprůnik ve tvaru jednoduchého kruhu. A vlevo dole (v řezu) získáme vkládání koule, které potom jen převedeme na její vložení. Dále můžeme přejít k polyedrické reprezentaci této plochy:
Je dvoustranná a křivost je 2
p
.
Můžeme se tedy dobře zábavit s těmito „submersions“. Zvolme např. vkládání toru, které spočívá v otočení symbolu „nekonečno“ nebo číslice „osm“ kolem osy.
Technika sloučení špičatých bodů nám umožní velmi rychle dosáhnout standardního vložení toru, jak ukazují další obrázky.
Někdy se však situace nevyvíjejí tak jednoduše a zřejmě. Např. vezmeme kouli, kterou stlačím mezi dvěma úsečkami, jejichž délka je tentokrát menší než průměr. Získáme opět dva špičaté body.
Protože do ní můžeme vepsat Möbiovu pásku, je tato plocha jednostranná. Její polyedrická reprezentace byla znázorněna, aby bylo možné spočítat celkovou křivost. Získáme nulu. Pokud se nemýlím, jedná se tedy o Kleinovu láhev. Obvykle známe jen nejklasickější vkládání, kde je čára samooprůniku jednoduchým kruhem. Existují ale i jiné, jako tato. Uznávám, že jsem stále neobjevil, jak převést tento objekt na vkládání Kleinovy láhve. Nevím ani, zda různá vkládání patří do stejného homotopického třídy (koule má jen jednu). Předpokládám, že ne, protože torus lze vložit čtyřmi různými způsoby, které nelze spojit regulární homotopií. Zatím jsem se bavil tím, že jsem přidal k této ploše dva další špičaté body a získal tak dvě Cross Cap spojené trubkou. Po jejich rozstříhání získáme Eulerovu-Poincarého charakteristiku rovnou nule.
Tato „zvláštní plocha“ by měla být schopna přejít do jedné z vkládání Kleinovy láhve. Které? V každém případě tady je jedna, která vznikla otáčením „osmky“ kolem osy a navíc jejím otočením o půl otáčky:
Předchozí stránka
Zpět na obsah „ Přeměna Cross Cap na Boy “