Model centrálního obrácení krychle
- prosinec 2001
Všichni jste viděli, jak se neustále otáčí podivný předmět v levé části úvodní stránky webu. O čem jde?
Když budu mít nějaký čas, na webu nainstaluji popis obrácení koule, jak jsem jej ilustroval v čísle ledna 1979 časopisu Pour la science, tedy už před... 22 lety. To vše by samozřejmě vyžadovalo mnoho detailů a úvodu. Co znamená obrátit kouli? Koule má pro běžného člověka jiný význam než pro matematika-geometra. Pro běžného člověka je to v trojrozměrném prostoru množina bodů, které mají od pevného bodu O vzdálenost R. Geometr bude i nadále nazývat „koulí“ objekt, který by odpovídal „deformované kouli“, nějaké „bramborě“. Pro přesnější pochopení těchto pojmů si zakupte CD Lanturlu s komiksem „Le Topologicon“. Matematik však jde ještě dál. Když je plocha označena jako „hladká“, může v každém jejím bodě definovat tečnou rovinu. To už umožňuje představit si nekonečně mnoho deformací „původní koule“ ve nekonečně mnoho „brambor“, a to i tehdy, když je plocha libovolné plochy. Nicméně v „fyzikálním světě“ se člověk, který deformuje tuto kouli, potká s nemožností, aby se koule prošla sama sebou. Pokud jsou procházení nebo dokonce dotyk zakázány, mluvíme pak o
vložení koule S2.
Matematik si však dovoluje všechno. Pro něj je koule „virtuální“ objekt, kde procházení ploch je možné. Následující obrázky ukazují kouli, která se „prošla sama sebou“. Tuto reprezentaci koule pak nazýváme
imergencí.
Imergence má množinu samoprůniků nebo
self-intersection
(zde jednoduchá kruhová křivka). Tečná rovina se musí spojitě měnit. Přesto, když se podíváte na výše uvedené obrázky, vidíte, že operace skutečně otočila část (vyjádřenou zelenou barvou) vnitřku koule ven. Pro dokončení takového obrácení by bylo třeba „zmáčknout“ tento druh ekvatorálního válcového tvaru. Vypadá to na první pohled problematicky. Toto zmáčknutí naruší spojitost tečné roviny. Operace by tedy zahrnovala krok, který
není imergencí.
Jednoho dne americký matematik Stephen Smale dokázal, že „koule S2 má pouze jednu třídu imergencí“. Důsledkem této záhadné věty bylo, že by bylo možné spojit posloupnost imergencí koule tak, aby přešla z „standardní koule“ do její „antipodální“ reprezentace, tedy do takové, kde všechny body byly nahrazeny jejich antipodálními body. Jinými slovy... obrácená koule, zpět na přední stranu. Raoul Bott byl Smaleovým šéfem. Ačkoli Smaleův důkaz byl čistě formální a nezvratný, nikdo neviděl, jak by se taková operace měla provést. Bott neustále říkal Smaleovi: „Ukažte mi, jak byste to provedl“, na což Smale sám svým známým výrazem odpovídal: „Nemám tušení.“ Smale později získal Fieldovu medaili, což je pro matematiku ekvivalent Nobelovy ceny. Na tomto místě se možná budete ptát, proč Nobel nikdy nevytvořil Nobelovu cenu pro matematiku. Odpověď je jednoduchá: jeho žena utekla s matematikem.
Věci zůstaly v tomto stavu po mnoho let, dokud americký matematik Anthony Phillips v roce 1967 v Scientific American nezveřejnil první verzi tohoto obrácení – strašně složitou. Druhá verze byla vynalezena na počátku sedmdesátých let francouzským matematikem (náhodou slepým) Bernardem Morinem. Já jsem byl první, kdo tuto posloupnost transformací nakreslil – jak jsem již řekl, bude předmětem příštího článku na webu, který je však poměrně rozsáhlý. V každém případě nás to přivádí k vedlejšímu závěru. Plochy mohou být reprezentovány
mnohoúhelníkově. Krychle nebo čtyřstěn mohou být považovány za mnohoúhelníkové reprezentace koule, protože tyto objekty mají stejnou
topologii.
Na tomto místě se podívejte na můj komiks Le Topologicon. Navíc je zřejmé, že pokud je možné obrátit kouli, je možné obrátit i krychli. Transformace vynalezená Bernardem Morinem (kterou jsem ilustroval v článku ledna 1979 v Pour la science) prochází
centrálním modelem.
V této posloupnosti existuje symetrie. Takový model se nazývá „centrální model s čtyřmi ušima“. Opět předem napovídám. Ale stejně jako koule může být reprezentována mnohoúhelníkově, platí to i pro jednotlivé kroky těchto transformací. Předmět, který se otáčí na mé úvodní stránce, je tedy mnohoúhelníková verze centrálního modelu obrácení koule – model, který jsem vynalezl před deseti lety. Výhodou těchto mnohoúhelníkových modelů je, že je lze sestavit z rovinných ploch. Lze je dokonce seřadit podle výkresů. Podívejte se na následující obrázek (zde děkuji svému příteli Christophe Tardy, který vytvořil správně označené prvky).
Toto je obrázek, který by se vytiskl na malém formátu, nevhodném pro použití.
Pro tisk této figurky na list A4
je třeba provést čtyři kopie na silném papíru A4, dvě listy jednou barvou, dvě jinou barvou.
Jedná se o výkres, který vidíte zde v obecném pohledu. Pro tisk je však vhodnější přejít na stránku
výkres
. Vytiskněte ji. Pak si vezměte tento vytisknutý výkres na běžný papír z vaší tiskárny a jděte do kancelářského střediska, kde si necháte udělat čtyři identické kopie tohoto obrázku,
dvě na zeleném kartonu
a dvě na žlutém. Pomocí tohoto výkresu budete schopni sestavit centrální model obrácení krychle.
Na těchto vystřižených dílčích částech najdete páry písmen: a, b, c, d, e, f atd. Stačí provést záhyby tak, aby stejná písmena byla na sobě, a pak tyto stěny slepit průhledným lepidlem. Následující obrázky ukazují, jak sestavit jeden z čtyř dílčích prvků. Nejprve je třeba správně začít záhyb jednoho z čtyř prvků:
Zde jsou dva z těchto čtyř prvků, viděné z různých úhlů.
Tyto prvky se následně spojují tak, že vytvoří objekt s čtyřnásobnou symetrií nebo střídají zelené a žluté prvky. Chcete-li vidět toto v 3D, podívejte se na realizace pana Tardy ve „virtuální realitě“. Úplně sestavený centrální model je také k dispozici ve formátu „vrml“ v této sekci. Zde je tento objekt viděn z různých úhlů:
Není možné říct, že jedna pohled odpovídá „shora“ a druhá „zdola“, protože tyto označení by byly zcela libovolné. V levém pohledu odpovídá „střední bod“ „dvojitému bodu“ (kde se protínají dvě plochy) centrálního modelu Morinova, zatímco střední bod vpravo odpovídá „čtyřnásobnému bodu“ tohož modelu (kde se protínají čtyři plochy). Musel jsem pečlivě orientovat objekt, aby levý obrázek nevyvolával představu kříže gama. Jinak by tato mnohoúhelníková reprezentace centrálního modelu Morinova mohla být architektonicky velmi vhodná pro návrh budovy národní kultury socialistické.
Poslední pohled:
Poslední poznámka: Neexistuje „dobrá“ mnohoúhelníková reprezentace obrácení koule (nebo obrácení krychle). „Dobrá“ zde znamená posloupnost modelů dostatečně vysvětlujících, které lze snadno sestavit jako výkresy, podobně jako tento model. V této oblasti by měla být provedena studie, která je dostupná každému, možná i ne-matematikovi, plastikovi apod. Před více než dvaceti lety jsem byl učitelem sochařství na Akademii výtvarných umění v Aix-en-Provence, když jiště řídil můj výborný přítel Jacques Boullier. V těchto prostorách vznikla první meridiánová reprezentace povrchu Boy pomocí elips, klíč k konstrukci první implicitní rovnice Apéryho. Musím říct, že v té době jsem byl vždy překvapen imaginační geometrií studentů umění, která často převyšovala... geometrii samotných geometrů.
Počítadlo inicializováno 31. prosince 2001. Počet připojení
:
