Otočení koule
- prosince 2004
strana 1
Úvod.
V následujícím budeme uvažovat uzavřené plochy, jako je koule, torus a některé další. Jedná se o plochy v tom smyslu, jak její pochopí běžný člověk, tedy o objekty s dvěma rozměry, které zobrazujeme v eukleidovském prostoru tří rozměrů, R3, což je náš mentální prostor pro zobrazení. Tyto plochy mohou být reprezentovány různými způsoby. Pokud se neprotínají samy sebe, říkáme, že jsou
ponořené
(v R3). Pokud se protínají, hovoříme o
vloženích
a tento průnik se projeví přítomností
množiny samoprůniku
(self-intersection).
U našich ponoření předpokládáme, že tečný rovině se spojitě mění a že plocha je například bez singulárností jako by mohl být vrchol kužele. Naše plochy budou
pravidelné.
U vložení požadujeme, aby podél čar samoprůniku byly dvě tečné roviny na plochách, které se protínají, různé.
Svět geometrie, jak jej představuje matematik, je dosti odlišný od fyzického světa. Skutečnost, že plochy mohou procházet samy sebou, ho vůbec nevadí. Fyzický svět takovou věc neumožňuje. Ale je možné ji v metafyzickém světě. Například ve Svatém písmu se čte, že když mrtví vstoupí do života, budou mít „slavné tělo“. Mohou pak procházet cokoli a v principu dokonce i sami sebe. Když tedy přijde čas posledního soudního dne a vy jste v Římě jako slavné tělo, ztratíte se a hledáte Piazza Navona, může vás napadnout, že si pocestnou cestu zeptáte na druhého mrtvého, který má stejný vzhled jako vy. Představme si, že osoba, kterou jste zastavili, jde opačným směrem než ta místo. Ve běžném fyzickém prostoru by musel otočit tělo, aby ukázal prstem správný směr. Ale pokud se pohybuje jako slavné tělo, taková otáčka již není nutná. Může ukázat prstem na svůj pupík a procházet sám sebou. Když se jeho ruka objeví zezadu, zbude mu jen říct: „je to tudy“. Zatlačením paže skrz břicho vytvoří ve svém těle množinu samoprůniku složenou ze dvou kružnic, která zmizí, když se vrátí do normálního stavu.
Pokud člověk zavře ústa, připevní prádlo na nosní díry, aby je uzavřel, a zanedbáme ostatní přirozené otvory, jeho tělesná obálka má pak topologii koule S2. Představme si, že někdo vstal jako slavné tělo s uzavřenými přirozenými otvory. Víme, že může procházet sám sebou, tedy že jeho tělesná obálka může přejít z ponoření do vložení. Jedním z metafyzických problémů bylo zjistit, zda může být slavné tělo otočeno bez vzniku záhybů.
Malá poznámka na okraj. Kouzelníci znají „kouzelné kruhy“, které mohou navzájem pronikat „kouzelně“. Můžeme si představit, že bychom reprezentovali plochy pomocí něčeho jako „kouzelného mřížky“, kde dvě plochy, zobrazené zde černě a růžově, mohly procházet jedna druhou bez obtíží.
Kouzelná mřížka
V každém případě je třeba přiznat, že mezi matematikou a kouzlem není často velký rozdíl. Před dvaceti lety jsem vytvořil komiksy: Topologicon. Jsou nyní vyprodány a nedostupné, jen jako sběratelské předměty. Na jedné stránce bylo možné vidět toto:
Je velmi škoda, že nakladatelství Belin rozhodlo přestat s touto sbírkou. Musíme říct, že s výrobní cenou jen o trochu vyšší než jeden euro a prodáváním albumů za 13 eur (plus poštovné), prostřednictvím poštovního objednávání, přičemž zůstávala marže 12 eur, tedy zisk přesahující 92 procent ceny prodeje, to neodpovídá žádné zřejmé obchodní strategii, zejména když jde o černobílé.
Uvažujme kouli S2 ponořenou v R3. Předpokládáme, že její vnější strana je šedá a vnitřní má barvu staré růžové. Můžeme stisknout dva antipodální body, které si myslíme jako „severní pól“ a „jižní pól“, dokud se nedotknou v jednom bodě. To můžeme například udělat s knedlíkem. Když jde o matematický knedlík (nevíme, zda knedlíky vstávají jako slavné těla), po spojení polárních oblastí v jednom bodě mohou procházet samy sebou podél křivky samoprůniku, která má tvar kružnice. Už předem řekneme, že tato plocha utrpěla katastrofu typu Do.
Můžeme být nyní povzbuzeni k pokusu o otočení knedlíku, koule, pokračováním v operaci. Ale pak se objeví záhyb, který se rozpadne na nepříjemný záhyb nebo přesněji povrch obráceného záhybu (obrázek d).
Na konci padesátých let zůstávala zásadní otázka, zda lze otočit metafyzický knedlík bez vzniku záhybů, nevyřešená. V pravdě řečeno, všichni si mysleli, že je to naprosto nemožné. Ale v roce 1957 matematik Stephen Smale (který získal Fieldovu cenu, ale za jinou práci) dokázal, že různá vložení koule S2 v R3 tvoří jedinou množinu a že je vždy možné najít posloupnost spojitých deformací vložení (tzv. regulární homotopii), která umožní přejít z jednoho stavu do druhého. Důsledkem bylo, že bylo možné přejít pomocí spojité posloupnosti vložení z běžného ponoření koule S2 k antipodálnímu ponoření. Jednoduše řečeno: mělo být možné otočit kouli bez záhybů, za předpokladu, že se jí dovolí otočit sama sebou.
Smaleho šéf se jmenoval Raoul Bott. Ten se zeptal svého žáka, jak by měl postupovat, a Smale odpověděl, že nemá ani tušení, ale že jeho věta je naprosto neútočná. Smale vůbec neviděl do prostoru, ale to mu nevadilo (což je běžné u mnoha geometrů). A pokud chceme být upřímní, po dokončení své věty se smál zcela bezstarostně tomu, jak by se mohlo provést a okamžitě se zaměřil na jiný problém, nechávaje své kolegy matematiky v největší údivu. Myslím si, že není moc sympatické takto vytvořit problém a pak nechat lidi řešit jeho řešení deset let.
Je třeba říci, že je docela obtížné si představit vložení v hlavě. Přesto známe plochy, které nelze v R3 reprezentovat jinak. Například Kleinova lahve.
Kleinova lahve
Zobrazili jsme ji zde s mřížkovým systémem souřadnic tvořeným dvěma množinami uzavřených křivek, jako u toru. Můžeme tak mřížkovat Kleinovu láhev bez vytvoření singulárního bodu mřížky. Ale jak vidíme, tato plocha nutně prochází sama sebou podél uzavřené křivky, kružnice. Nelze proto ponořit Kleinovu láhev do R3. Zkoušel jsem to, nevyšlo to. Můžeme ji pouze vložit. Díky mému umění kreslení se přibližně podaří si tento objekt představit. Ale když šlo o otočení koule, museli jsme zvážit mnohem složitější konfigurace. Způsob jejich reprezentace nebyl vždy pohodlný. Někteří používali plastelínu. Když jste je viděli diskutovat na konferencích, často se odstoupili a otevřeli před svými kolegy krabice na boty nebo kloboukové krabice plné objektů, které byly více či méně děsivé. Výkres nahoře připomíná nejvhodnější způsob vytváření a manipulace těchto objektů: pomocí tzv. „měděného drátu“, slitiny, která je dostatečně pružná, aby se dala ohýbat bez obtíží, ale zároveň udržuje svou pružnost. Nejlepší způsob je tedy vytvořit body setkání čar (doporučujeme tyčky o průměru 2 mm) a pevně je upevnit pomocí drátových svorek. Výhodou je, že je můžete posouvat, alespoň do doby, než se rozhodnete, že objekt má definitivní tvar. Pak můžete posunutí odstranit pomocí malého kousku lepidla.
Ve skutečnosti je docela vzácné potřebovat Kleinovu láhev. Níže je fotografie té, kterou používám pro své osobní potřeby.
Tyto objekty, pokud máte nějaký cit pro tvary, jsou docela krásné. Když jsem byl profesorem sochařství na École des Beaux-Arts v Aix-en-Provence, nechal jsem vyrobit několik kusů. Ale předtím, než jsem se pustil do této techniky, bylo mnoho zkoušek, kdy jsme míchal měkký drát a karton, což dávalo výsledky s velmi pochybnou estetikou. Pamatuji si, že jednou jsem musel jet vlakem z Marseille do Paříže, abych předal mému milovanému příteli, matematikovi André Lichnérowiczovi několik ploch, které jsem úspěšně reprezentoval. Mezi nimi byla i plocha Boye, kde jsem umístil mapu zaměřenou na jediný pól. Nakonec vznikl úžasný objekt, který byl 20 let vystaven ve
pi
sále Palais de la Découverte v Paříži. Ale před rokem ředitelství muzea považovalo tuto plochu za zastaralou a nyní leží buď v sklepě nebo v podkroví. Doufám, že při přepravě nebyla zničena. Všechno to jen proto, abychom vysvětlili, že teď už nikde nemůžete vidět plochu Boye, kromě knih nebo na CD-ROMu, na kterém jsem zaznamenal svých 18 vědeckých komiksových listů ve formátu pdf, včetně Topologiconu.
Jak získat tento CD-ROM.
Ale vraťme se k cestě, kterou jsem podnikl z Marseille do Paříže. Už jsem byl zatížen dvěma kuframi a rozhodl jsem se vzít s sebou tři modely. Jediným řešením bylo je zavěsit kolem krku. Ale když jsem procházel nádražní halou a viděl, jak lidé na mě civí, pochopil jsem, že si myslí, že mám co do činění s bláznivým, který z nemocnice dostal povolení ven. Bylo zcela zbytečné se snažit jim to vysvětlit a musel jsem tento utrpení snést s maximální důstojností.
Zajímavé je, že lidé, kteří vytvářejí takové věci, jsou docela vzácní. V Americe byl matematik jménem Charles Pugh, který pracoval na oddělení matematiky univerzity v Berkeley. Budu mít příležitost o něm později mluvit. Pugh byl absolutně geniální s drátem pro slepice, ale já jsem si osobně vždycky radši vybral techniku měděného drátu.
Vraťme se k problému otočení koule. Prvním, kdo se mu podařilo poradit, byl geometr Anthony Phillips. V roce 1967 publikoval svou práci, tedy posloupnost obrázků v časopise Scientific American. Existuje několik způsobů otočení koule. Jedním je přivést každý bod koule do souhlasu s jeho antipodálním bodem. Pak nabývá tvar plochy Boye. Vždy jsem snil o tom, že bych našel společnost, která by mi pomohla vyrobit velkou sochu, která by zobrazovala zemský globus založený jako plocha Boye. Protože jsem nemohl objekt vytvořit, udělal jsem ilustraci na obálku Topologiconu:
Zemský globus přilepený na sebe jako plocha Boye
V takové konfiguraci, pokud vykopeš díru na severním pólu, okamžitě vystoupíš na jižním pólu, protože tyto dva body jsou antipodální. Francouz, který vykope díru ve svém sklepě, se ocitne v Nové Zélandi atd.
Verze nalezená Anthony Phillipsem spočívá ve znázornění toho, jak se koule konfiguruje jako dvoulistový pokryv plochy Boye, která je samozřejmě jednostranná. Pokud bychom měli kouzelný produkt,
traversine,
který by plochám dal schopnost procházet samy sebou, stačilo by spojit každý bod s jeho antipodálním bodem provázkem, který by se zúžil až na nulovou délku. Pokud nelze snadno znázornit tuto transformaci, můžeme se zaměřit na část koule, například její rovníkové okolí. To bylo provedeno v následujících animacích. Tato plocha s dvěma kruhovými hranami připomíná obvod kolečka bicyklu. Načrtnuli jsme tři paprsky spojující body diametrálně protilehlé. Když délku těchto paprsků zmenšíme na nulu, tato dvoustranná páska se převede na dvoulistový pokryv Möbiova pásu s třemi půlotočními otáčkami. Níže jsou dvě pomalé animace. Levá je pomalá, pravá rychlá.
Tento Möbiův pás s třemi půlotočními otáčkami je „rovníkové okolí“ plochy Boye. Na tomto pásku se navíjí rovník koule.
„Rovník“ plochy Boye
Zatímco dva póly koule se spojují na jediném pólu plochy. Tato plocha, jako Kleinova lahve, nelze ponořit do R3. Může být pouze reprezentována jako vložení. Má pak množinu samoprůniku ve tvaru trojlisté spirály, jejíž koncové body připomínají „tympany“ tří „uší“. Následující obrázky obsahují některé prvky pro lepší „čtení“ této plochy. V případě potíží si získejte Topologicon.
Nahoře vlevo je plocha Boye. Protože je jednostranná, nelze použít dvě barvy. V
b
' množina samoprůniku, trojlistá, připomínající lopatky spirály ve
b
". Křivka se protíná v jednom bodě trojího průniku T. Následující obrázky mají pomoci čtenáři orientovat se.
Vše je dobré, aby ilustrovalo strukturu plochy: pásky, sestavení z přídavných dílů. Je zřejmé, že sochař by si s tímto skutečně fascinujícím objektem našel radost. Krátká poznámka k jeho historii. V roce 1901 student velkého německého matematika Hilberta, Werner Boy, před ním zmínil plochu, o které nikdo dříve nepřemýšlel. Prázdniny byly už skoro na konci. Hilbert řekl svému studentovi:
- Tento problém mi připadá zajímavý. Pokud chcete, vraťte se ke mně po návratu, budeme o tom diskutovat.
Prázdniny uplynuly, ale k návratu se Boy nevrátil. Po dvou měsících se Hilbert pokusil ho najít. Další studenty mu sdělily jeho adresu, takže se tam vypravil. Ale pokojská mu řekla, že mladý Werner Boy jí vrátil klíče před létem a už se nevrátil. Všechny hledání jejich nalezl bez výsledku, stejně jako hledání členů jeho rodiny. Zcela zmizel. Pokud se dostanete do Německa, nemusíte doufat, že uvidíte hrob tohoto slavného vynálezce: neexistuje.
Na posledním obrázku, dole vpravo, je plocha Boye znázorněna bíle a šedé a růžové barvy představují obě strany koule, která ji obklopuje. Body A a A' jsou na této kouli antipodální. Je zřejmé, jak lze tento dvoulistový pokryv plochy Boye použít k otočení koule. Představme si, že máme posloupnost transformací, regulární homotopii, která umožnila převést kouli růžovou venku, šedou uvnitř na tuto konfiguraci dole vpravo. Stačilo by pak vyměnit obě plochy (při jejich samoprůniku), například body A a A', a provést stejné transformace zpětně, abychom dosáhli antipodálního ponoření této koule, které teď ukazuje svou šedou barvu venku.
Podobně můžeme očekávat, že torus může být konfigurován jako dvoulistový pokryv ... Kleinovy lahve. Tady je výsledná konfigurace:
Dvousměrný pokryv Kleinovy lahve
Pokud se podaří konfigurovat torus touto cestou, stačí ještě jednou vyměnit sousední plochy umístěné na obou stranách Kleinovy lahve (nezobrazené zde), a pak provést operace opačným směrem, abychom dosáhli otočeného toru. Tento výsledek byl prezentován v čísle ledna 1979 časopisu Pour la Science v článku podepsaném B. Morin a J.P. Petit. Já jsem se staral o ilustrace, Morin o text. I když v tomto článku citoval mnoho lidí, zapomněl na mě, stejně jako zapomněl zmínit, že jsem byl autorem této části práce, uvedené na stranách 46 a 47. Ale takové věci se stávají, když spolupracujete úzce s kolegou. Víte, jak to je: jsme tak zvyklí na jeho přítomnost po léta a tak pečliví, abychom nikoho nezapomněli, že nakonec zapomeneme i na něj, jako by byl součástí nábytku. Pro podrobnosti byl tento výsledek publikován pod mým jménem ve Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris dne 20. listopadu 1978 pod názvem „Není triviální otočení toru“, článek byl představen akademikem André Lichnérowiczem.
Další strana